?第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和
[考綱傳真]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．

1．等差數(shù)列的有關概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項．
2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋＝.
3．等差數(shù)列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}和{a2n＋1}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(7)等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系
Sn＝n2＋n.

1．等差數(shù)列前n項和的最值
在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所有正項之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即所有負項之和最?。?br /> 2．兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則有＝.
3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列．
[基礎自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　)
(2)等差數(shù)列{an}的單調性是由公差d決定的． (　　)
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　　)
(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改編)等差數(shù)列11,8,5，…，中－49是它的第幾項(　　)
A．第19項　　　　　　　　 B．第20項
C．第21項 D．第22項
C　[由題意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故選C.]
3．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　)
A．－1　　　　B．0 C．1　　　　D．6
B　[a2，a4，a6成等差數(shù)列，則a6＝0，故選B.]
4．小于20的所有正奇數(shù)的和為________．
100　[小于20的正奇數(shù)組成首項為1，末項為19的等差數(shù)列，共有10項，因此它們的和S10＝＝100.]
5．(教材改編)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________.
－1　[由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，則a5＝－1.]


等差數(shù)列基本量的運算

1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，則a2 018的值是(　　)
A．4 039　　　B．4 038　　　C．2 019　　　D．2 038
A　[設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知
解得
所以a2 018＝5＋2017×2＝4 039，故選A.]
2．(2019·武漢模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
C　[由題意知
解得故選C.]
3．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有一女子擅長織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．則該女子最后一天織布的尺數(shù)為(　　)
A．18 B．20 C．21 D．25
C　[用an表示第n天織布的尺數(shù)，由題意知，
數(shù)列{an}是首項為5，項數(shù)為30的等差數(shù)列．
所以＝390，
即＝390，解得a30＝21，故選C.]
4．設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________.
－72　[設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
由已知，得
解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列運算問題的通性通法
(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解.
(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.


等差數(shù)列的判定與證明
【例1】　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由．
[解]　(1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－
＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝n－，
則an＝1＋＝1＋.
設f(x)＝1＋，
則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)．
所以當n＝3時，an取得最小值－1，
當n＝4時，an取得最大值3.
[拓展探究]　本例中，若將條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項公式．
[解]　由已知可得
＝＋1，
即－＝1，又a1＝，
∴是以＝為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，
∴an＝n2－n.
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列的四個判定方法
(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù).
(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(2019·貴州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．
[解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4，
則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得
＝2，即－＝2，
所以數(shù)列是首項為＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．
則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.

等差數(shù)列性質的應用

?考法1　等差數(shù)列項的性質的應用
【例2】　(1)(2019·長沙模擬)數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5等于(　　)
A．9　　　　B．10　　　　C．11　　　　D．12
(2)(2019·銀川模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為(　　)
A．8 B．12 C．6 D．4
(1)D　(2)A　[(1)數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.
(2)由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8.
又d≠0，所以等差數(shù)列{an}是單調數(shù)列，由am＝8，知m＝8，故選A.]
?考法2　等差數(shù)列前n項和的性質
【例3】　(1)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 019＝________.
(1)B　(2)8 076　[(1)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故選B.
(2)由等差數(shù)列的性質可得也為等差數(shù)列．
設其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，
∴S2 019＝8 076.]
[規(guī)律方法]　應用等差數(shù)列的性質應注意兩點
(1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質.
(2)掌握等差數(shù)列的性質，悉心研究每個性質的使用條件及應用方法，認真分析項數(shù)、序號、項的值的特征，這是解題的突破口.
(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________.
(2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若am＝10，S2m－1＝110，則m＝________.
(3)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則＝________.
(1)60　(2)6　(3)　[(1)由題意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列．
則2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
即40＝10＋(S30－30)，
解得S30＝60.
(2)S2m－1＝＝＝110，解得m＝6.
(3)＝＝＝
＝＝＝.]


等差數(shù)列的前n項和及其最值

【例4】　(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當Sn最大時，n的值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
C　[(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得a7＋a8＝0.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大．
法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質，知當n＝7時Sn最大．
法三：根據(jù)a1＝13，S3＝S11，知這個數(shù)列的公差不等于零，且這個數(shù)列的和是先遞增后遞減．根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對稱性，可得只有當n＝＝7時，Sn取得最大值．]
(2)已知等差數(shù)列{an}的前三項和為－3，前三項的積為8.
①求等差數(shù)列{an}的通項公式；
②若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.
[解]?、僭O等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
由題意得
解得或
所以由等差數(shù)列通項公式可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
②當an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列；
當an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件．
故|an|＝|3n－7|＝
記數(shù)列{3n－7}的前n項和為Sn，則Sn＝＝n2－n.
當n≤2時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n，
當n≥3時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10，
綜上知：Tn＝
[規(guī)律方法]　求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法
(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．
(2)鄰項變號法：
①當a1>0，d

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