?第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和
[考綱傳真]　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.
2．等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1.
(2)前n項和公式：
Sn＝
3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a.
(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
(5)當q≠－1時，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列．

1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件．
2．若q≠0，q≠1，則Sn＝k－kqn(k≠0)是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時k＝.
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． (　　)
(2)G為a，b的等比中項?G2＝ab. (　　)
(3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　)
(4)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．(教材改編)等比數(shù)列{an}中，a3＝12，a4＝18，則a6等于(　　)
A．27　　　　B．36　　　　C.　　　　D．54
C　[公比q＝＝＝，則a6＝a4q2＝18×2＝.]
3．(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為__________．
27,81　[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.]
4．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1＝________.
4　[由題意知
消去a1得＋q＝，
解得q＝或q＝2.
又0＜q＜1，故q＝，此時a1＝4.]
5．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝__________.
6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]


等比數(shù)列基本量的運算
1．(2019·太原模擬)已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S3＝3a3，則S5＝(　　)
A．1　　　　B．5　　　　C.　　　　D.
D　[由S3＝3a3得a1＋a2＝2a3，
∴1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1(舍)．
∴S5＝＝×＝，故選D.]
2．(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________.
32　[設(shè){an}的首項為a1，公比為q，則
解得
所以a8＝×27＝25＝32.]
3．(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.
[解]　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
[規(guī)律方法]　解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想
方程的思想
等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解.
分類討論
的思想
等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝(1－qn)(q＜1)或Sn＝(qn－1)(q＞1).


等比數(shù)列的判定與證明

【例1】　(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求{an}的通項公式．
[解]　(1)由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[規(guī)律方法]　等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.
(2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.
(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列.
說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.
(2016·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，
于是an＝.
(2)由(1)得Sn＝1－.
由S5＝得1－5＝，即＝.
解得λ＝－1.


等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

?考法1　等比數(shù)列項的性質(zhì)
【例2】　(1)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝________.
(1)50　(2)31　[(1)因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)
＝10ln e5＝50ln e＝50.
(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31.]
?考法2　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
【例3】　(1)等比數(shù)列{an}中，前n項和為48，前2n項和為60，則其前3n項和為________．
(2)數(shù)列{an}是一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和是偶數(shù)項之和的4倍，前三項之積為64，則此數(shù)列的通項公式an＝________.
(1)63　(2)12×　[(1)法一：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
因為S2n≠2Sn，所以q≠1，由前n項和公式得

②÷①，得1＋qn＝，所以qn＝.③
將③代入①，得＝64.
所以S3n＝＝64×＝63.
法二：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
因為{an}為等比數(shù)列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
法三：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
因為S2n＝Sn＋qnSn，所以qn＝＝，
所以S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋2×48＝63.
(2)設(shè)此數(shù)列{an}的公比為q，
由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，所以S奇＝3S偶，所以q＝＝.
又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64，
所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12，
所以an＝a1qn－1＝12×.]
[規(guī)律方法]　應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的兩個關(guān)鍵點
(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度.
(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.
(1)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且a5·a7＝4a，a2＝1，則a1＝(　　)
A. B. C. D．2
(2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
(1)B　(2)B　[(1)a5·a7＝a＝4a，
∴a6＝2a4，則＝q2＝2.
∴q＝，從而a1＝＝，故選B.
(2)S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝4＋8＋16＋32＝60.]

等差、等比數(shù)列的綜合問題
【例4】　(1)已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是(　　)
A. B.
C. D.
A　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝＝＝＝＝，故選A.]
(2)(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
①求{an}的通項公式；
②求ea1＋ea2＋…＋ean.
[解]?、僭O(shè){an}的公差為d.
因為a2＋a3＝5ln 2，
所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
②因為ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以數(shù)列{ean}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)．
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，涉及的知識面很寬，題目的變化也很多，但是萬變不離其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，合理調(diào)用相關(guān)知識，就不難解決這類問題.
在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題意
有
解得d＝1或d＝0(舍去)，
∴an＝1＋(n－1)＝n.
(2)由(1)得an＝n，
∴bn＝2n，∴＝2，
∴{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴Tn＝＝2n＋1－2.

1．(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　)
A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D.
C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故選C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
將a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故選C.]
2．(2014·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝(　　)
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C. D.
A　[由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．]
3．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________.
－8　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，
∴a1(1＋q)＝－1， ①
a1(1－q2)＝－3. ②
②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.
∴a1＝1，
∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]
4．(2017·全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式；
(2)若T3＝21，求S3.
[解]　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，
則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ②
聯(lián)立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通項公式為bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
當q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21.
當q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6.

相關(guān)教案

新高考數(shù)學一輪復習講練教案6.3 等比數(shù)列及其前n項和（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習講練教案6.3 等比數(shù)列及其前n項和（含解析），共18頁。

高考數(shù)學一輪復習教案 第5章_第2節(jié)_等差數(shù)列及其前n項和（含答案解析）：

這是一份高考數(shù)學一輪復習教案 第5章_第2節(jié)_等差數(shù)列及其前n項和（含答案解析），共11頁。

高中數(shù)學高考第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 教案：

這是一份高中數(shù)學高考第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 教案，共11頁。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

人教版新課標A必修52.5 等比數(shù)列的前n項和第1課時教案設(shè)計

人教版新課標A必修52.5 等比數(shù)列的前n項和第1課時教案設(shè)計
人教版新課標A必修5第二章 數(shù)列2.5 等比數(shù)列的前n項和教學設(shè)計

人教版新課標A必修5第二章 數(shù)列2.5 等比數(shù)列的前n項和教學設(shè)計
2022年新高考數(shù)學一輪復習考點練：6.3《等比數(shù)列及其前n項和》 (含答案詳解)教案

2022年新高考數(shù)學一輪復習考點練：6.3《等比數(shù)列及其前n項和》 (含答案詳解)教案
高三數(shù)學人教版a版數(shù)學（理）高考一輪復習教案：5.3 等比數(shù)列及其前n項和 word版含答案

高三數(shù)學人教版a版數(shù)學（理）高考一輪復習教案：5.3 等比數(shù)列及其前n項和 word版含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部