高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第3章_第5節(jié)_三角恒等變換（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第五節(jié)　三角恒等變換[考綱傳真]　1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3．會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．4．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)．課前3.TIF

1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝.1．公式T(α±β)的變形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．公式C2α的變形：(1)sin2α＝(1－cos 2α)；(2)cos2α＝(1＋cos 2α)．3．公式逆用：(1)sin＝cos；(2)sin＝cos；(3)sin＝cos.4．輔助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，特別的sin α±cos α＝sin；sin α±cos α＝2sin；sin α±cos α＝2sin.[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　)(2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小關(guān)系不確定．(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立．????????????? ????????????? (　　)(4)函數(shù)y＝3sin x＋4cos x的最大值為7. (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改編)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)A．－　　　B.　　　C．－　　　D.D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D.]3．(教材改編)已知cos α＝－，α是第三象限角，則cos的值為(　　)A. B．－ C. D．－A　[由cos α＝－，α是第三象限角知sin α＝－，則cos＝coscos α－sinsin α＝×－×＝.故選A.]4．已知sin(α－π)＝，則cos 2α＝________.　[由sin(α－π)＝，得sin α＝－，則cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.]5．(教材改編)－＝________.　[－＝＝＝tan 30°＝. ] 課堂3.TIF

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1．已知sin＝cos，則tan α＝(　　)A．－1　　　　B．0　　　　C.　　　　D．1A　[因?yàn)?/span>sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α.所以cos α＝sin α.所以tan α＝＝－1，故選A.]2．計(jì)算的值為(　　)A．－ B. C. D．－B　[＝＝＝＝.]3．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，則＝(　　)A. B. C. D.D　[由sin θ－cos θ＝－得sin＝，因?yàn)?/span>θ∈，所以0＜－θ＜，所以cos＝.＝＝＝＝2cos＝.]4．已知0＜θ＜π，則＝________.－cos θ　[原式＝＝＝.因?yàn)?/span>0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0.所以原式＝－cos θ.][規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 KT19+125.TIF

2．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．

三角函數(shù)式的求值?考法1　給值求值【例1】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝(　　)A. B. C．－ D．－(2)(2019·太原模擬)已知角α是銳角，若sin＝，則cos等于(　　)A. B.C. D.(3)若α，β是銳角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，則tan(α－β)＝________.(1)B　(2)A　(3)－　[(1)cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故選B.(2)由0＜α＜得－＜α－＜又sin＝，∴cos＝＝＝∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，故選A.(3)因?yàn)?/span>sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，兩式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，即2－2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝，因?yàn)?/span>α、β是銳角，且sin α－sin β＝－＜0，所以0＜α＜β＜.所以－＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－＝－.所以tan(α－β)＝＝－.]?考法2　給角求值【例2】　(1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________.(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.(1)　(2)1　[(1)由tan(20°＋40°)＝＝得tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝.(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°＝sin 50°×＝sin 50°×＝＝＝＝1.]?考法3　給值求角【例3】　(1)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　)A. B.C.或 D.或(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，則2α－β的值為________．(1)A　(2)－　[(1)∵α∈，∴2α∈.又sin 2α＝＞0，∴2α∈，∴cos 2α＝－且α∈.又β∈，∴β－α∈.∵sin(β－α)＝＞0，∴cos(β－α)＝－且β－α∈，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝.∵2α∈，β－α∈，∴α＋β∈，∴α＋β＝，故選A.(2)因?yàn)?/span>tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，所以0＜α＜，又因?yàn)?/span>tan 2α＝＝＝＞0，所以0＜2α＜，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因?yàn)?/span>tan β＝－＜0，所以＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－.][規(guī)律方法]　三角函數(shù)求值的三種情況?1?“給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應(yīng)仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求解.?2?“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.?3?“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.

(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)A.　　　B．－　　　C.　　　D．－(2)＝________.(3)(2019·長(zhǎng)春模擬)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β值是________．(1)A　(2)　(3)　[(1)由0＜α＜得＜＋α＜，又cos＝，∴sin＝，由－＜β＜0得＜－＜.又cos＝，∴sin＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.(2)原式＝＝＝.(3)∵α，β均為銳角，∴－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sin α＝，∴cos α＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.∴β＝.]

三角恒等變換的綜合應(yīng)用【例4】　(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．[解]　(1)由已知得f(x)＝－＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin.∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，∴當(dāng)2x－＝－，即x＝－時(shí)，f(x)有最小值，且f＝－，當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，f(x)有最大值，且f＝.所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－.[規(guī)律方法]　三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用解決此類問(wèn)題可先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y＝Asin?ωx＋φ?＋t或余弦型函數(shù)y＝Acos?ωx＋φ?＋t的形式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.

(2019·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值．[解]　(1)∵函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋＝sin＋，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為＝π.(2)若－＜α＜0，則2α＋∈，∴f(α)＝sin＋＝，∴sin＝，∴2α＋∈，∴cos＝＝，∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. 真題3.TIF

1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sinx＋＋cos的最大值為(　　)A.　　　B．1　　　C.　　　D.A　[法一：∵f(x)＝sin＋cos＝＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＝sin，∴當(dāng)x＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值.故選A.法二：∵＋＝，∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝sin≤.∴f(x)max＝，故選A.]2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　)A. B.C．－ D．－D　[因?yàn)?/span>cos＝，所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.] 2018-Ⅰ-11文.tif

3．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　)A. B.C. D．1B　[由題意知cos α>0.因?yàn)?/span>cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由題意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]4．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知tanα－＝，則tan α＝________.　[法一：因?yàn)?/span>tan α－＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.法二：因?yàn)?/span>tanα－＝，所以tan α＝tanα－＋＝＝＝.]5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為________．　[f(x)＝2cos x＋sin x＝，設(shè)sin α＝，cos α＝，則f(x)＝sin(x＋α)，∴函數(shù)f(x)＝2cos x＋sin x的最大值為.]

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