??直線和圓的方程（公式、定理、結(jié)論圖表）



一．直線的傾斜角
1.傾斜角的定義
（1）當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
（2）當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.
2.直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α0.
十八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一般方程為.平
面內(nèi)一點(diǎn)到圓心的距離為.
位置關(guān)系
判斷方法
幾何法
代數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)方程）
代數(shù)法（一般方程）
點(diǎn)在圓上



點(diǎn)在圓外



點(diǎn)在圓內(nèi)



十九．與圓有關(guān)的最值問題
1.與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題
類型
方法
圓外一定點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)距離的最值
最大值：；最小值：（為該定點(diǎn)到圓心的距離）
圓上一動(dòng)點(diǎn)到圓外一定直線距離的最值
最大值：；最小值：（為圓心到直線的距離）
過園內(nèi)一定點(diǎn)的弦的最值
最大值：直徑；最小值：與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦




2.與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題
類型
代數(shù)表達(dá)
方法
截距式
求形如的最值
轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題
斜率式
求形如的最值
轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題
距離式
求形如的最值
轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題
【注意】截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得最值.同時(shí)，需要注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在.
二十．直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖示
幾何法
代數(shù)法
相切


（為圓心到直線的距離）

相交


（為圓心到直線的距離）

相離


（為圓心到直線的距離）

二十一．相切→求切線方程
過定點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為：
與圓的位置關(guān)系
切線條數(shù)
切線方程（方法）
在圓上
1條

在圓外
2條
【分兩種情況討論】：
1.斜率存在，設(shè)為點(diǎn)斜式，再通過或求出斜率即可；
2.斜率不存在.
【說明】：若情況1有一解，則情況2必有一解；若情況1有兩解，則情況2必?zé)o解.

二十二．相交→求弦長(zhǎng)
弦長(zhǎng)公式：直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（為圓心到直線的距離）.
二十三．圓與圓的位置關(guān)系
兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系及其判斷方法為：
位置關(guān)系
圖示
幾何法
公切線條數(shù)
外離


四條
外切


三條
相交


兩條
內(nèi)切


一條
內(nèi)含


無
二十四．兩圓的公共弦
1.公共弦方程：將兩圓的方程作差，所得到的直線方程就是兩圓的公共弦方程.
2.公共弦長(zhǎng)：取其中一個(gè)圓，利用圓的弦長(zhǎng)公式即可求出.
二十五、直線與圓的綜合應(yīng)用的一般步驟：
步驟
具體內(nèi)容
第一步
設(shè)直線方程，注意討論直線斜率是否存在
第二步
聯(lián)立直線與圓方程消元化簡(jiǎn)
第三步
根據(jù)韋達(dá)定理寫出兩根之和與兩根之積
第四步
根據(jù)題中所給的條件，帶入韋達(dá)定理

一.具有某種共同屬性的一類直線的集合，我們稱之為直線系，這一屬性可通過直線系方程體現(xiàn)出來，它們的變化存在于參數(shù)之中，常見的直線系有：
(1)過已知點(diǎn)P(x0，y0)的直線系y－y0＝k(x－x0)(k為參數(shù))．
(2)斜率為k的平行直線系方程y＝kx＋b(b為參數(shù))．
(3)與已知直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，λ≠C)．
(4)與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))．
(5)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為參數(shù))(但不包含直線A2x＋B2y＋C2＝0)．
典例1：已知正方形中心為點(diǎn)M(－1,0)，一條邊所在直線的方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程．
[思路點(diǎn)撥]　已知正方形的中心坐標(biāo)和一條邊所在直線的方程，由正方形的性質(zhì)——中心到各邊的距離相等，用待定系數(shù)法列方程求解．
[解析]　正方形中心到直線x＋3y－5＝0的距離d＝＝
設(shè)與直線x＋3y－5＝0平行的直線方程為x＋3y＋C1＝0.
由正方形的性質(zhì)，得＝，
解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.
所以與直線x＋3y－5＝0相對(duì)的邊所在的直線方程為x＋3y＋7＝0.
設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的邊所在的直線方程為3x－y＋C2＝0.由題意，得
＝，
解得C2＝9或C2＝－3.
所以另兩邊所在直線的方程為3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.
二.利用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為：
第一步：選擇圓的方程的某一形式；
第二步：由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)；
第三步：解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))；
第四步：代入圓的方程．
注：解題時(shí)充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運(yùn)算量，例如：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦；兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分兩圓的公共弦；兩圓相切時(shí)，連心線過切點(diǎn)等．
典例2：已知圓的半徑為，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長(zhǎng)為4，求圓的方程．
[思路點(diǎn)撥]　利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列式求解．
[解析]　法一：設(shè)圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
因?yàn)閳A心在直線y＝2x上，所以b＝2a.①
由方程組
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦長(zhǎng)公式得·＝4，
化簡(jiǎn)得(a－b)2＝4.②
解①②組成的方程組，
得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10，
則圓心為(a，b)，半徑r＝，
圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離d＝.
由半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑組成的直角三角形得
d2＋2＝r2，即＋8＝10，
所以(a－b)2＝4.
又因?yàn)閎＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
三、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1.求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意斜率不存在的切線．
2．求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)時(shí)，通常考慮由弦心距垂線段作為直角邊的直角三角形，利用勾股定理來解決問題．
典例3：已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過M點(diǎn)的圓的切線方程；
(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，求a的值．
[思路點(diǎn)撥]　(1)分斜率存在與不存在兩種情況討論．
(2)構(gòu)造直角三角形求解．
[解析]　(1)圓心C(1,2)，半徑r＝2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.
由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)，直線與圓相切．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由題意知＝2，解得k＝.
∴圓的切線方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故過M點(diǎn)的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為，
∴2＋2＝4，
解得a＝－.
四、最值與范圍
“數(shù)形結(jié)合”是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何上的“形”結(jié)合起來認(rèn)識(shí)問題、理解問題并解決問題的思維方法，是人們一種普遍思維習(xí)慣在數(shù)學(xué)上的具體表現(xiàn)．?dāng)?shù)形結(jié)合一般包括兩個(gè)方面，即以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”．形如u＝的最值問題，可借助于圖形分析轉(zhuǎn)化為直線斜率的最值問題；形如t＝ax＋by的最值問題，可借助圖形分析轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可借助于圖形分析轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離平方的最值問題．
典例4：已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝，則代數(shù)式的取值范圍為________．
解析：　(1)如圖所示y＝化為x2＋y2＝3(y≥0)，表示的圖形為半圓弧，的幾何意義為定點(diǎn)A(－3，－1)與半圓弧上任意一點(diǎn)M(x，y)的連線的斜率．

利用數(shù)形結(jié)合法可知kAB≤≤kAC.
又B(，0)，kAB＝＝，設(shè)直線AC的方程為y＋1＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－1＝0.
∵直線AC與半圓相切，
∴＝，即3k2－3k－1＝0，解得k＝或(舍去)．
∴kAC＝.∴≤≤.
答案：　

























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