??導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（公式、定理、結(jié)論圖表）



一.導(dǎo)數(shù)定義：在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記作
二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。
注意兩種情況：
1.曲線在點(diǎn)處切線：性質(zhì)：。相應(yīng)的切線方程是：
2.曲線過(guò)點(diǎn)處切線：先設(shè)切點(diǎn)，切點(diǎn)為 ,則斜率k=，切點(diǎn) 在曲線上，切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得關(guān)于a,b的方程組，解方程組來(lái)確定切點(diǎn)，最后求斜率k=，確定切線方程。
三.常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧ 。
四.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：
（1） (2)
（3）（4）
五.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：
1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，
①該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；
②該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；
注意：當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。
③在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；
④在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；
2.利用導(dǎo)數(shù)求極值：
（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近所有的點(diǎn)，都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值。記作＝，如果對(duì)附近所有的點(diǎn)，都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值。記作＝。極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。
（2）求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的極值的步驟：（i）求導(dǎo)數(shù)；（ii）求方程的根；（iii）檢查在方程的根的左右的符號(hào)：“左正右負(fù)”在處取極大值；“左負(fù)右正”在處取極小值。
特別提醒：
①是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不僅是＝0，＝0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。
②給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒(méi)有用完，這一點(diǎn)一定要切記！
3.利用導(dǎo)數(shù)求最值：比較端點(diǎn)值和極值
（1）定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”。
（2）求函數(shù)在[]上的最大值與最小值的步驟：
①求函數(shù)在（）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
②將的各極值與，比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小
值。

1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明確“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的曲線y＝f (x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線y＝f (x)的切線方程”的異同點(diǎn)．
2．圍繞著切點(diǎn)有三個(gè)等量關(guān)系：切點(diǎn)(x0，y0)，則k＝f ′(x0)，y0＝f (x0)，(x0，y0)滿(mǎn)足切線方程，在求解參數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常用到．
3．利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時(shí)，要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f′(x)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)求解.
求解參數(shù)范圍的步驟為：
(1)對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x)；
(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；
(3)驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí)，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值.
4.求連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上的最值的方法
(1)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f (a)與f (b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；
(2)若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出[a，b]上的極值，再與f (a)，f (b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
5．已知函數(shù)的極值(最值)情況求參數(shù)的值(取值范圍)的方法
根據(jù)極值和最值的關(guān)系，與最值有關(guān)的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題．
已知f (x)在某點(diǎn)x0處有極值，求參數(shù)的值(取值范圍)時(shí)，應(yīng)逆向考慮，可先將參數(shù)當(dāng)作常數(shù)，按照求極值的一般方法求解，再依據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列等式(不等式)求解．
6.．解決優(yōu)化問(wèn)題的步驟
(1)要分析問(wèn)題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域.
(2)要通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.
(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問(wèn)題的解是否滿(mǎn)足實(shí)際意義.
典例1：已知函數(shù)f (x)＝x3＋x－16.
(1)求曲線y＝f (x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程；
(2)直線l為曲線y＝f (x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)如果曲線y＝f (x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．
【解析】　(1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f (x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f ′(2)＝13.
∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
則直線l的斜率為f ′(x0)＝3x＋1，
∴直線l的方程為
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直線l過(guò)點(diǎn)(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．
(3)∵切線與直線y＝－＋3垂直，
∴切線的斜率k＝4.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，
則f ′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴或
即切點(diǎn)為(1，－14)或(－1，－18)．
切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
典例2：已知函數(shù)f (x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點(diǎn)P(1，0)且在點(diǎn)P處的切線與直線3x＋y＝0平行．
(1)求函數(shù)f (x)的解析式；
(2)求函數(shù)f (x)在區(qū)間[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
【解析】　(1)因?yàn)閒 ′(x)＝3x2＋2ax，曲線在P(1，0)處的切線斜率為f ′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函數(shù)過(guò)(1，0)點(diǎn)，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f (x)＝x3－3x2＋2.
(2)由(1)得f (x)＝x3－3x2＋2，
得f ′(x)＝3x2－6x.
由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上，f ′(x)＜0，f (x)在[0，t]上是減函數(shù)，所以f (x)max＝f (0)＝2，f (x)min＝f (t)＝t3－3t2＋2.
②當(dāng)2＜t＜3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f (x)的變化情況如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f ′(x)
0
－
0
＋

f (x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f (x)min＝f (2)＝－2，f (x)max為f (0)與f (t)中較大的一個(gè)．
f (t)－f (0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f (x)max＝f (0)＝2.
典例3：如圖，曲線AH是一條居民平時(shí)散步的小道，小道兩旁是空地，當(dāng)?shù)卣疄榱素S富居民的業(yè)余生活，要在小道兩旁規(guī)劃出兩塊地來(lái)修建休閑活動(dòng)場(chǎng)所，已知空地ABCD和規(guī)劃的兩塊用地(陰影區(qū)域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直線為x軸，A為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則曲線AH的方程為y＝a，記AM＝t，規(guī)劃的兩塊用地的面積之和為S(單位：米)．

(1)求S關(guān)于t的函數(shù)S(t)；
(2)求S的最大值．
【解析】　(1)根據(jù)所建平面直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)H(144，120)，所以120＝a，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t，10)，所以S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S(t)＝t·(150－10)＋(144－t)·10＝150t－20t·＋1 440·(0＜t＜144)．
(2)令m＝，則S＝150m2－20m3＋1 440m(0＜m＜12)，
所以S′＝300 m－60m2＋1 440＝－60(m＋3)(m－8)，S′＝0?m＝8負(fù)值舍去；S′＞0?0＜m＜8；S′＜0?8＜m＜12；
所以函數(shù)S在區(qū)間(0，8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(8，12)上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)m＝8時(shí)，S取得最大值，為10 880平方米．
答：S的最大值為10 880平方米．
典例4：已知函數(shù)f (x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R.
(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】　(1)f (x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，當(dāng)a＝e時(shí)，f (x)＝xex－eln x－ex，
f ′(x)＝，令f ′(x)＞0，解得x＞1，令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴f (x)在(0，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．
(2)令t＝ln x＋x，則t＝ln x＋x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且t∈R，
∴f (x)＝xex－a(ln x＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at.
∴f (x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g(t)＝et－at在t∈R上有兩個(gè)零點(diǎn)．
①當(dāng)a＝0時(shí)，g(t)＝et在R上遞增，且g(t)＞0，故g(t)無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上單調(diào)遞增，
又g(0)＝1＞0，g＝e－1＜0，故g(t)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞0時(shí)，由g′(t)＝et－a＝0，可知t∈(－∞，ln a)時(shí)，g′(t)＜0，g(t)為減函數(shù)；t∈(ln a，＋∞)時(shí)，g′(t)＞0，g(t)為增函數(shù)，∴g(t)在t＝ln a時(shí)有唯一的一個(gè)極小值g(ln a)＝a(1－ln a)．
若0＜a＜e，則g(t)min＝g(ln a)＝a(1－ln a)＞0，g(t)無(wú)零點(diǎn)；若a＝e，則g(t)min＝0，g(t)只有一個(gè)零點(diǎn)；若a＞e，則g(t)min＝g(ln a)＝a(1－ln a)＜0，而g(0)＝1＞0，由于f (x)＝在x＞e時(shí)為減函數(shù)，可知當(dāng)a＞e時(shí)，ea＞ae＞a2.
從而g(a)＝ea－a2＞0，
∴f (x)在(0，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知：當(dāng)a＞e時(shí)，f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即所求a的取值范圍是(e，＋∞)．















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