??圓錐曲線的方程（公式、定理、結(jié)論圖表）



一、橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個(gè)問題
(1)定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．
(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓．
①若，M的軌跡為線段；
②若，M的軌跡無圖形
二、橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形


標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范圍
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長
長軸長＝，短軸長＝
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝
對(duì)稱性
對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)
離心率
e＝(00)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)橢圓的定義：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值，為bc.
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得



由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形內(nèi)切圓的半徑）

(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．
(5)在橢圓C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，最大.
四、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：
點(diǎn)P在橢圓上?＋＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?＋1.
五、直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：
聯(lián)立消y得一元二次方程．
當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；
當(dāng)Δ0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性質(zhì)
圖形


焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或 x≥a，y∈
y≤－a或 y≥a，x∈
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長：；
虛軸：線段B1B2，長：；
半實(shí)軸長：，半虛軸長：
離心率
e＝∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±x
y＝±x
九、雙曲線的焦點(diǎn)三角形
雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．
以雙曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)雙曲線的定義：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得



由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
十、直線與雙曲線的位置關(guān)系
1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
(2)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(3)Δ0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖象




性質(zhì)
焦點(diǎn)
F
F
F
F
準(zhǔn)線
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
對(duì)稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
O(0,0)
離心率
e＝1
開口方向
向右
向左
向上
向下
十三、直線與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，那么線段AB叫做焦點(diǎn)弦，

如圖：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直線AB的傾斜角)．
(4)＋＝為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))．
（5）求弦長問題的方法
①一般弦長：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|.
②焦點(diǎn)弦長：設(shè)過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.

1．軌跡類型：方程＋＝1，當(dāng)m＝n>0時(shí)表示圓；當(dāng)m>n>0或n>m>0時(shí)表示橢圓；當(dāng)mn0)焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)E，準(zhǔn)線為l.
(1)焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (隨焦點(diǎn)位置變動(dòng)而改變)；
②焦點(diǎn)弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α為直線AB的傾斜角)；③＋＝；
(2)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (隨焦點(diǎn)動(dòng)而變)； 圖4
(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)H．

一、“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用
應(yīng)用一：在求軌跡方程時(shí)，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；
應(yīng)用二：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí)，常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決；
應(yīng)用三：在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí)，常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決．
提醒：應(yīng)用定義解題時(shí)注意圓錐曲線定義中的限制條件．
典例1：(1)一動(dòng)圓與兩圓：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為(　　)
A．拋物線　　　　　B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．橢圓
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________．
解析：(1)x2＋y2＝1是圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，x2＋y2－6x＋5＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，是圓心為A(3,0)，半徑為2的圓．設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，動(dòng)圓半徑為r，
則?|PA|－|PO|＝1＜|AO|＝3，符合雙曲線的定義，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支．
(2)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，因?yàn)锳B過F1且A，B在橢圓上，如圖所示，

則△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又離心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
答案：(1)C　(2)＋＝1
二、求圓錐曲線方程的一般步驟
一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟．
(1)定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置．
(2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大?。?br /> 典例2：(1)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　)
A.＋＝1　　　B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________．
解析：(1)由題意得，解得，
則b2＝a2－c2＝3，故橢圓方程為＋＝1.
(2)由題意得，解得，則b2＝c2－a2＝3，
因此雙曲線方程為x2－＝1.
答案：(1)D　(2)x2－＝1
三、圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用
1.圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要包括范圍、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長短軸(橢圓)、實(shí)虛軸(雙曲線)、漸近線(雙曲線)、離心率和準(zhǔn)線(拋物線)．
2．橢圓的離心率，雙曲線的離心率和漸近線，拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，都是常考的性質(zhì)，要熟練掌握．
典例3： (1)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x
(2)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
解析：(1)由橢圓的離心率e＝＝，可知＝＝，∴＝，
故雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
(2)由題意可得＝，即c＝a.又左焦點(diǎn)F(－c,0)，P(0,4)，
則直線PF的方程為＝，化簡即得y＝x＋4.

結(jié)合已知條件和圖象易知直線PF與y＝x平行，
則＝，即4a＝bc，故解得
故雙曲線方程為－＝1.
答案：(1)A　(2)B
四、直線與圓錐曲線相交，經(jīng)常出現(xiàn)弦長、中點(diǎn)弦問題．
(1)處理弦長問題，一般將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得方程組，化為一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|，其中k為直線AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(2)處理中點(diǎn)弦問題，一般有兩種思路，思路一：聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求；思路二：利用“點(diǎn)差法”．
典例4：已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1)，離心率為，過點(diǎn)B(0，－2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為F2.
(1)求橢圓的方程；
(2)求△CDF2的面積．
解：(1)由題意知b＝1，＝，且a2＝c2＋b2，解得a＝，c＝1，
易得橢圓方程為＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直線BF1的方程為y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)為C(x1，y1)，D(x2，y2)，則
∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝·＝，
又點(diǎn)F2到直線BF1的距離d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
五、圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題
(1)定值問題的常見類型及解題策略
①求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．
②求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．
③求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．
(2)定點(diǎn)問題的兩種解法
①引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．
②特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．
典例5：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；
(2)如果·＝－4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
(1)解：由題意：拋物線焦點(diǎn)為(1,0)，
設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)證明：設(shè)l：x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直線l過定點(diǎn)(2,0)．
∴若·＝－4，則直線l必過一定點(diǎn)(2,0)．
六、最值問題的常用解法有兩種
(1)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)再求這個(gè)函數(shù)的最值．求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、換元法、均值不等式法、單調(diào)性法．
(2)幾何法：若題目的條件與結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用幾何圖形性質(zhì)來解決．
典例6：已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線x2＝－4y的焦點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)A(1，)在該橢圓上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，當(dāng)△ABC面積為最大值時(shí)，求直線l的方程．
解：(1)由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0，－)，
故設(shè)橢圓方程為＋＝1.將點(diǎn)A(1，)代入方程得＋＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)，故所求橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線BC的方程為y＝x＋m，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入橢圓方程并化簡得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，可得m2

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