??空間向量與立體幾何（公式、定理、結(jié)論圖表）



1.空間向量基本概念
空間向量：在空間,我們把具有大小和方向的量叫作空間向量.
長(zhǎng)度（模）：空間向量的大小叫作空間向量的長(zhǎng)度或模,記為或.
零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫作零向量,記為.
單位向量：模為1的向量叫作單位向量.
相反向量：與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,記為.
共線向量（平行向量）：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.規(guī)定:零向量與任意向量平行.
相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.
2.空間向量的線性運(yùn)算
空間向量的線性運(yùn)算包括加法、減法和數(shù)乘,其定義、畫法、運(yùn)算律等均與平面向量相同.
3.共線、共面向量基本定理
（1）直線的方向向量：在直線上取非零向量,與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量.
（2）共線向量基本定理：
對(duì)任意兩個(gè)空間向量（）， 的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.
（3）共面向量：
如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合,那么稱向量平行于直線.
如果直線平行于平面或在平面內(nèi),那么稱向量平行于平面.
平行于同一個(gè)平面的向量,叫作共面向量.
（4）共面向量基本定理:如果兩個(gè)向量 ,不共線,那么向量與向量,共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使.
4.空間向量的數(shù)量積
（1）向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量,,在空間任取一點(diǎn),作,則叫作向量,的夾角,記作.如果,那么向量互相垂直,記作.
（2）數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量,則叫作的數(shù)量積,記作.
即 .
（3）數(shù)量積的性質(zhì)：
.
（4）空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律：
(交換律): （分配律).
推論：， .
（5）向量的投影向量：
向量在向量上的投影向量：
向量在平面內(nèi)的投影向量與向量的夾角就是向量所在直線與平面所成的角.
5.空間向量基本定理
如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任意一個(gè)空間向量.存在唯一的有序?qū)崝?shù)組.使得
.
6.基底與正交分解
(1)基底:如果三個(gè)向量不共面,那么我們把叫作空間的一個(gè)基底,都叫作基向量.
(2)正交分解:
如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?且長(zhǎng)度都為1.那么這個(gè)基底叫作單位正交基底，常用表示.把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫作把空間向量進(jìn)行正交分解.
7.空間直角坐標(biāo)系
在空間選定點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底 .
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸:軸.軸、軸,它們都叫作坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,叫作原點(diǎn)，都叫作坐標(biāo)向量,通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面.
空間直角坐標(biāo)系通常使用的都是右手直角坐標(biāo)系.
8.空間向量的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中為坐標(biāo)向量.給定任一向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使.有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).記作.也叫點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).記作.
9.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)，則：
（1），
（2），
（3）.
10.空間向量平行、垂直、模長(zhǎng)、夾角的坐標(biāo)表示
（1），
（2） ，
（3） ，
（4） .
11.空間兩點(diǎn)間的距離公式
設(shè)，則 .
12.平面的法向量：直線，取直線的方向向量，稱為平面的法向量.
13.空間中直線、平面的平行
（1）線線平行:若分別為直線的方向向量,則使得 .
（2）線面平行:設(shè)直線的方向向量,是平面的法向量,，則 .
法2:在平面內(nèi)取一個(gè)非零向量,若存在實(shí)數(shù),使得,且，則.
法3:在平面內(nèi)取兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù)，使得,且,則
（3）面面平行:設(shè)分別是平面的法向量，則，使得.
14. 空間中直線、平面的垂直
（1）線線垂直:若分別為直線的方向向量,則.
（2）線面垂直: 設(shè)直線的方向向量, 是平面的法向量,則，使得.
法2: 在平面內(nèi)取兩個(gè)不共線向量,若.則.
（3）面面垂直: 設(shè)分別是平面的法向量，則.
15.用空間向量研究距離、夾角問題
（1）點(diǎn)到直線的距離：已知是直線上任意兩點(diǎn), 是外一點(diǎn)，，則點(diǎn)到直線的距離為.
(2)求點(diǎn)到平面的距離
已知平面的法向量為 , 是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為.
（3）直線與直線的夾角
若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
(4)直線與平面的夾角
設(shè)是直線的方向向量,是平面的法向量,直線與平面的夾角為.則.
（5）平面與平面的夾角
平面與平面的夾角：兩個(gè)平面相交形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于的二面角稱為這兩個(gè)平面的夾角.
若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.

1．空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．
2．利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．
(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．
3.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.
(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
4.利用空間向量證明或求解立體幾何問題時(shí)，首先要選擇基底或建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證).
5.求點(diǎn)到平面的距離的四步驟

6.用坐標(biāo)法求異面直線所成角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)；
(3)利用向量的夾角公式計(jì)算兩條直線的方向向量的夾角；
(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角．
7.利用向量法求兩平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；
(3)求兩個(gè)法向量的夾角；
(4)法向量夾角或其補(bǔ)角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)
典例1：多選題
（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（????）
A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面
【答案】BD
【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；
對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；
對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】
易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．
典例2：如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．

(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；
（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，
所以點(diǎn)A到平面的距離為；
（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)椋?
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）得，所以，，所以，
則,所以的中點(diǎn)，
則，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
可取，
則，
所以二面角的正弦值為.
典例3：已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；
【詳解】（1）[方法一]：幾何法
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，

過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，
易證，則．
又因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以?br /> [方法二] 【最優(yōu)解】：向量法
因?yàn)槿庵侵比庵?，底面?br /> ，，，又，平面．所以兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

，．
由題設(shè)（）．
因?yàn)椋?br /> 所以，所以．
[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以?br /> （2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br /> 所以，即．
令，則
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br /> 設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當(dāng)時(shí)，取最小值為，
此時(shí)取最大值為．
所以，此時(shí)．
[方法二] ：幾何法
如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．

作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．
設(shè)，過作交于點(diǎn)G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
則，
所以，當(dāng)時(shí)，．
[方法三]：投影法
如圖，聯(lián)結(jié)，

在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．
設(shè)，在中，．
在中，，過D作的平行線交于點(diǎn)Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡(jiǎn)單，可以開拓學(xué)生的思維.
第二問：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學(xué)生的思維．
典例4：如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)與平面所成的角的正弦值為

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br /> 所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫妫?，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br /> 因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，所?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.






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