1.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.2.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.（難點）3.能靈活運用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決問題.（重點）
什么是多邊形的內(nèi)角？什么是多邊形的外角？
多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
（2）長方形和正方形的內(nèi)角和是多少度？
三角形內(nèi)角和是180°.
用量角器量出四個內(nèi)角的大小，發(fā)現(xiàn)四邊形的四個內(nèi)角和為360°.
（3）請大家任意畫一個四邊形，這個四邊形的內(nèi)角和是多少度？是否與長方形和正方形的內(nèi)角和相等？你是怎么得到內(nèi)角和的度數(shù)的？
如圖，求四邊形ABCD的內(nèi)角和.
分析：如果四邊形內(nèi)角和是360°，我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°，利用三角形內(nèi)角和定理來證明任意一個四邊形的內(nèi)角和為360°，可將四邊形分成兩個三角形.
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=∠D+（∠2+∠1）+∠B+（∠3+∠4）=（∠D+∠2+∠4）+（∠B+∠1+∠3）=360°，即四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°.
解：如圖，連接對角線AC，則四邊形被分為△ABC和△ACD，
在△ACD中，∠D+∠2+∠4=180°，在△ABC中，∠B+∠1+∠3=180°.
類比四邊形內(nèi)角和的推導(dǎo)方法，請嘗試探究五邊形和六邊形的內(nèi)角和.
從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以作出 條對角線，它們將五邊形分成了 個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°× .從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以作出 條對角線，它們將六邊形分成了 個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°× .
通過以上的探究，我們發(fā)現(xiàn)：從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作出（n-3）條對角線，它們將n邊形分成了（n-2）個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.
分割成5個三角形，∴內(nèi)角和為180°×5-周角 =180°×5-180°×2 = 180°×3= 540°.
分割成4個三角形，∴內(nèi)角和為180°×4-平角=180°×4-180°×1 = 180°×3 = 540°.
分割成4個三角形，∴內(nèi)角和為180°×4-三角形內(nèi)角和 =180°×4-180°×1 = 180°×3 =540°.
例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那么另外一組對角有什么關(guān)系？
解：如圖，若在四邊形ABCD中，∠A和∠C互補，則∠A+∠C=180°. ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠D=360 °-（∠A+∠C）=180°.
因為正多邊形的每個內(nèi)角相等，所以用內(nèi)角和除以內(nèi)角的個數(shù)（n）即可得到正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù).
1.將一個多邊形的邊數(shù)增加1，它的內(nèi)角和將（　?。〢．增加90°B．增加180°C．增加360°D．保持不變
【解析】設(shè)原多邊形邊數(shù)是n，則n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，邊數(shù)增加1后，新多邊形的內(nèi)角和是（n+1-2）?180°．∵（n+1-2）?180°-（n-2）?180°=180°．∴它的內(nèi)角和增加180°．故選B．
2.（2021春?婁底期中）一個正多邊形的內(nèi)角和為1800°，求它的邊數(shù)和每個內(nèi)角的度數(shù)．
解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）?180°=1800°.解得n=12．1800°÷12=150°.故這個正多邊形的邊數(shù)為12；每個內(nèi)角的度數(shù)150°．
分析：（1）任何一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？
任意一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角等于180°.
分析：（2）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？（3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？
1個外角加上與它相鄰的內(nèi)角等于180°，所以6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角等于180°×6.
上述總和（即六邊形的內(nèi)角和加外角和）為180°×6，六邊形的內(nèi)角和為180°×4，則六邊形的外角和為180°×6-180°×4=360°.
n個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角為180°×n，n邊形的內(nèi)角和為180°×（n-2），n邊形的外角和為180°×n-180°×（n-2）=360°.
多邊形的外角和為定值，與邊數(shù)無關(guān)
我們也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°.
因為正多邊形的每個外角相等，所以用外角和（360°）除以內(nèi)角的個數(shù)（n）即可得到正多邊形每個外角的度數(shù).
（2021?鹽城）若一個多邊形的每個外角均為40°，則這個多邊形的邊數(shù)為 　?。?br/>【解析】∵一個多邊形的每一個外角均為40°，且多邊形的外角和等于360°，∴這個多邊形的邊數(shù)是360°÷40°=9.
（n-2）×180°（n為≥3的整數(shù)）
多邊形的外角和等于360°（與邊數(shù)無關(guān)）
【解析】 設(shè)多邊形為n邊形，依題意有（n-2）?180°=720°，解得n=6．該多邊形為六邊形，故選D．
2.（2021揚州模擬）若某多邊形的邊數(shù)增加1，則這個多邊形的外角和（　　）A．增加180°B．增加360°C．減少180°D．不變
【解析】任意多邊形的外角和都是360°，與它的邊數(shù)無關(guān).
3.（2021春?西湖區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B比∠D大60°，則∠B的度數(shù)為（　　）A．70°B．80°C．120°D．130°
【解析】 ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=160°，∴∠B+∠D=200°.∵∠B-∠D=60°，∴2∠B=260°.解得∠B=130°．故選D．
4.（2021廣州一模）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)6米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)6米，又向左轉(zhuǎn)45°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（　?。┟祝瓵．60 B．72 C．48 D．36
【解析】 根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45=8次才會回到原點，所以一共走了8×6=48（米）．故選C．
5.（2021上海徐匯區(qū)二模）如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)不可能是（　　）A．180°B．270°C．360°D．540°
【解析】一個多邊形剪掉一個角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，也可能加1，∴新多邊形的邊數(shù)可能是3，4，5.∴內(nèi)角和分別為（3-2）×180°=180°；（4-2）×180°=360°；（5-2）×180°=540°.∴所得多邊形內(nèi)角和的度數(shù)可能是180°，360°，540°，不可能是270°．故選B．
6.（2021北京通州區(qū)一模）如圖中的平面圖形由多條直線組成，計算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= °．
7.一個多邊形的邊數(shù)由5增加到11，則內(nèi)角和增加的度數(shù)是 °．
方法二：多邊形的邊數(shù)由5增加到11，邊數(shù)增加了6,.∵多邊形每增加一條邊，其內(nèi)角和就會增加180°.∴內(nèi)角和增加的度數(shù)是6×180°=1080°．故答案為1080°．
【解析】方法一：五邊形的內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°，十一邊形的內(nèi)角和為（11-2）×180°=1620°.∴內(nèi)角和增加的度數(shù)是1620°-540°=1080°．故答案為1080°．
8.（2021南京一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，過點B作AB的垂線交CD于點F，則∠C-∠1= °．
9.已知正多邊形的一個內(nèi)角為144°，求該正多邊形的內(nèi)角和.
解：根據(jù)題意，得（n-2)×180°=144°n，解得n=10.∴這個正多邊形的邊數(shù)是10．∴該正多邊形的內(nèi)角和為（10-2)×180°=14400°.

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11.3.2 多邊形的內(nèi)角和

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