1.理解并掌握三角形的外角的概念，且能夠在復(fù)雜圖形中找出外角．2.掌握三角形的外角性質(zhì)及三角形的外角和的探究．（重點(diǎn)）3.熟練掌握并運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)解決問(wèn)題.（難點(diǎn)）
2.∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線（∠1和∠2互補(bǔ)），具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的性質(zhì)： .
1.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 .
練一練1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，則∠B= .2.如圖，延長(zhǎng)△ABC的邊BC至點(diǎn)D，那么該延長(zhǎng)線CD與相鄰的邊AC可形成∠ACD，則∠ACD+∠ACB= .
定義：如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，
∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，是△ABC的邊AC與另一邊BC的延長(zhǎng)線CD組成的角.
像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.
例1 （1）如圖，延長(zhǎng)CB到D,延長(zhǎng)AB到E,則∠CBE △ABC的一個(gè)外角，∠DBE △ABC的外角，∠DBE △ABC的外角.（填“是”或“不是”）
（2）畫一畫：畫出△ABC的所有外角，你一共能畫出幾個(gè)呢?
（3）∠ABD與∠CBE是什么關(guān)系？
（3）∠EFC既是△ 的外角，也是△ 的外角.
（2）∠ACD既是△ 的外角，也是△ 的內(nèi)角；
如圖.（1）∠BED既是△ 的外角，也是△ 的內(nèi)角；
思考 如圖，已知在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，則∠ACD= °，∠A+∠B= °.
由此可得，∠ACD ∠A+∠B .
問(wèn)題 如圖 . （1）△ABC的三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系？
∠ACD與∠ACB互補(bǔ)，即∠ACD+∠ACB=180°.
（2）△ABC的外角∠ACD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？
∠A+∠B+∠ACB=180°.
（3）△ABC的外角∠ACD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？
由（1）知，∠A+∠B+∠ACB=180°.
由（2）知，∠ACD+∠ACB=180°.
幾何表達(dá)形式：∵ ∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
1.（2020?湘潭）如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，則∠A=（　?。〢．40°B．50°C．55°D．60°
【變式】如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠B=35°，∠E=25°，則∠ACD的度數(shù)為（　?。〢．100°B．110°C．120°D．130°
【解析】∵∠ECD是△BCE的一個(gè)外角，∴∠ECD=∠B+∠E=35°+25°=60°.∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD=120°.故選C．
例2 如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？
解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2.所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3).由∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2×180°=360 °.
解法二：如圖，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②，∠ACD +∠3=180 ° ③，則①+ ②+ ③，得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °.又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
又知 ∠BAE+ ∠FAM+∠EAM=360 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360°.
我們可以得到什么結(jié)論？
解法三：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM∥BD，則
∠ACD=∠EAM， ∠CBF=∠FAM.
注意：三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)處各有兩個(gè)外角，三角形的外角和不是指六個(gè)外角的總和，而是說(shuō)在三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，三個(gè)不同頂點(diǎn)處的外角和叫做三角形的外角和.
如圖，∠1=140°，∠2=100°，則∠3=（　　）A．100°B．120°C．130°D．140°
【解析】∵∠1=140°，∠2=100°，∴∠3=360°-140°-100°=120°，故選B．
角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長(zhǎng)線
三角形的外角和等于360 °
三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
1.如圖，點(diǎn)B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點(diǎn)D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是（　?。〢．∠BCFB．∠CBEC．∠DBCD．∠BDF
2.如圖，已知直線 AB∥CD，∠C=80°，∠A=40°,則∠E=（　?。〢．80°B．30°C．40°D．60°
【解析】∵AB∥CD，∠C=80°，∴∠EFB=∠C=80°.∵∠EFB是△AEF的外角，∴∠EFB=∠A+∠E.又∵∠A=40°,∴80°=40°+∠E.∴∠E=40°．故選C．
3.已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2：3：4，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為（　?。〢．90° B．110° C．100° D．120°
【解析】設(shè)三個(gè)外角的度數(shù)分別為2k，3k，4k.根據(jù)三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°.解得k=40°.所以最小的外角為2k=80°，則最大的內(nèi)角為180°-80°=100°．故選C．
4.（2021?陜西）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，則∠1的大小為（　　）A．60°B．70°C．75°D．85°
【解析】∵∠1＝180°-（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），∴∠1＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故選B．
5.如圖，求y的值為 ．
【解析】根據(jù)題意可知，（x+70）°=x°+（x+10）°.解得x=60.∴y°=180°-（x+70）°=180°-130°=50°.故答案為50．
6.如圖，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，則∠ADB的度數(shù)是 °．
【解析】∵∠AEB是△ACE的一個(gè)外角，∴∠AEB=∠A+∠C=20°+50°=70°.∵∠ADB是△DEB的一個(gè)外角，∴∠ADB=∠AEB+∠B=70°+30°=100°.故答案為100°．
【變式】如圖，若∠A=60°，∠BDC=140°，∠C=32°，則∠B= .
則∠BDC=∠B+∠BED，∠BED=∠C+∠A，∴∠BDC=∠B+∠C+∠A，即140°=∠B+32°+60°，解得∠B=48°.故答案為48°．
【解析】解法一：如圖，延長(zhǎng)CD，交AB于點(diǎn)E.
∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD.∴∠1+∠2=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.又∵∠1+∠2=∠BDC=140°，∠BAD+∠CAD=∠CAB=60°，∠C=32°，∴140°=∠B+32°+60°.解得∠B=48°．故答案為48°．
【解析】解法二：如圖，連接AD并延長(zhǎng)，則
7.如圖，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線．（1）求證：∠A=2∠E；
證明：（1）根據(jù)外角性質(zhì)可知∠ACD=∠ABC+∠A，∠2=∠1+∠E，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠2-∠1.∵CE是外角∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線，∴∠ACD=2∠2，∠ABC=2∠1.∴∠A=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠E.
證明：（2）由（1）可知,∠A=2∠E.∵∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE，∴2∠E=2∠ABE，即∠E=∠ABE.∴AB∥CE.
（2）若∠A=∠ABC，求證：AB∥CE．

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11.2.2 三角形的外角

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