初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十一章三角形11.2 與三角形有關(guān)的角11.2.2 三角形的外角測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)重點(diǎn)】
1. 定義
三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
特別解讀
(1)位置：在三角形的外部.
(2)與相鄰內(nèi)角是鄰補(bǔ)角.
(3)三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，因此三角形共有六個(gè)外角，通常每一個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角．
2. 外角性質(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
常見應(yīng)用：
(1)已知一個(gè)外角及與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角中的一個(gè)，可求另一個(gè)；
(2)證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和或差；
(3)作為中間關(guān)系式證明兩個(gè)角相等.
3. 拓展性質(zhì)
(1)三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角；
(2)三角形的外角和等于360° .
【經(jīng)典例題】
【例1】如圖，△ABC的外角∠CAE的平分線AD交BC 的延長線于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度數(shù).
解題秘方：利用三角形外角的性質(zhì)，將∠ACD 轉(zhuǎn)化為∠B＋∠BAC 進(jìn)行求解.
【同步練習(xí)】
一、選擇題
1．如圖，下列關(guān)于△ABC的外角的說法正確的是( )
A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角

第1題圖第2題圖第3題圖
2．圖中∠1的大小等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．【2021·河池】如圖，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，則∠C的大小是( )
A．90° B．80° C．60° D．40°
4．若三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是( )
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．鈍角三角形或銳角三角形
5．【2021·內(nèi)江】如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為( )
A．55° B．75° C．80° D．105°

第5題圖第6題圖第7題圖
6．如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
7．【2021·煙臺(tái)】一副三角尺如圖放置，兩三角尺的斜邊互相平行，每個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)都在另一個(gè)三角尺的斜邊上，圖中∠α的度數(shù)為( )
A．45° B．60° C．75° D．85°
8．【2021·宜昌】如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，則∠AFD的度數(shù)是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°

第8題圖第9題圖第10題圖
9．如圖是四條互相不平行的直線l1，l2，l3，l4所截出的七個(gè)角，關(guān)于這七個(gè)角的度數(shù)關(guān)系，下列結(jié)論中正確的是( )
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠7
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
10．【2021·陜西】如圖，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，則∠1的大小為( )
A．60° B．70°C．75° D．85°
11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△BCD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若∠A＝22°，則∠BDC等于 ( )
A．44° B．60° C．67°D．77°

第11題圖第16題圖第17題圖
12．在一個(gè)三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這三個(gè)外角中，最多有( )個(gè)銳角．
A．1 B．2 C．3 D．不能確定
二、填空題
13．三角形的一邊與另一邊的________組成的角，叫做三角形的外角；三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有_____個(gè)外角，且這兩個(gè)外角________．
14．三角形的外角等于與它________的兩個(gè)內(nèi)角的和，因此它________與它不相鄰的任一內(nèi)角．
15．在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的度數(shù)和(稱為三角形的外角和)是________．
16．如圖，△CEF的外角為________________．
17．如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3＝________度．
18．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1∶2∶3，則三角形三個(gè)外角之比為 .
19．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
三、解答題
20．一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最少有幾個(gè)鈍角？最多有幾個(gè)直角？最多有幾個(gè)銳角？
21．如圖，已知D是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠ACD＝83° .
(1)求∠B的度數(shù)；
(2)若∠D＝42 °，求∠AFE的度數(shù).
22．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在CA的延長線上，EF∥AD.求：
(1)∠BAF的度數(shù)；
(2)∠F的度數(shù)．
23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF為△ABC的角平分線．
(1)若∠ABC＝α，則∠ADE＝ (用含α的式子表示)；
(2)探究∠AFB與∠ADE之間的數(shù)量關(guān)系．
24．【2021·重慶一中期末】如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點(diǎn)E.
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠E的度數(shù)；
(2)若∠A＝60°，求∠E的度數(shù)；
(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
25．探究：正五角星形的每個(gè)角均相等，小明為了計(jì)算每個(gè)角的度數(shù)，畫出了如圖①所示的正五角星形，每個(gè)角均相等，并寫出了如下不完整的計(jì)算過程，請(qǐng)你將過程補(bǔ)充完整．
解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，∠AGF＝∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝________°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________°.
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝________°.
拓展：如圖②，小明改變了這個(gè)五角星形的五個(gè)角的度數(shù)，使它們均不相等，請(qǐng)你幫助小明求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和．
應(yīng)用：如圖③，小明將圖②中的點(diǎn)A落在BE上，點(diǎn)C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，則∠CAD＋∠ACE＋∠E＝________°.
參考答案
【經(jīng)典例題】
【例1】如圖，△ABC的外角∠CAE的平分線AD交BC 的延長線于D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度數(shù).
解題秘方：利用三角形外角的性質(zhì)，將∠ACD 轉(zhuǎn)化為∠B＋∠BAC 進(jìn)行求解.
解：∵ AD是∠CAE的平分線，∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.
∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.
∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，
∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.
【同步練習(xí)】
一、選擇題
1．如圖，下列關(guān)于△ABC的外角的說法正確的是( D )
A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角

第1題圖第2題圖第3題圖
2．圖中∠1的大小等于( D )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．【2021·河池】如圖，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，則∠C的大小是( B )
A．90° B．80° C．60° D．40°
4．若三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是( C )
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．鈍角三角形或銳角三角形
5．【2021·內(nèi)江】如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3的度數(shù)為( C )
A．55° B．75° C．80° D．105°

第5題圖第6題圖第7題圖
6．如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是( B )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
7．【2021·煙臺(tái)】一副三角尺如圖放置，兩三角尺的斜邊互相平行，每個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)都在另一個(gè)三角尺的斜邊上，圖中∠α的度數(shù)為( C )
A．45° B．60° C．75° D．85°
8．【2021·宜昌】如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，則∠AFD的度數(shù)是( A )
A．15° B．30° C．45° D．60°

第8題圖第9題圖第10題圖
9．如圖是四條互相不平行的直線l1，l2，l3，l4所截出的七個(gè)角，關(guān)于這七個(gè)角的度數(shù)關(guān)系，下列結(jié)論中正確的是( B )
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠7
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
10．【2021·陜西】如圖，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，則∠1的大小為( B )
A．60° B．70°C．75° D．85°
11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△BCD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若∠A＝22°，則∠BDC等于 ( C )
A．44° B．60° C．67°D．77°

第11題圖第16題圖第17題圖
12．在一個(gè)三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這三個(gè)外角中，最多有( A )個(gè)銳角．
A．1 B．2 C．3 D．不能確定
二、填空題
13．三角形的一邊與另一邊的________組成的角，叫做三角形的外角；三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有_____個(gè)外角，且這兩個(gè)外角________．
【答案】延長線兩相等
14．三角形的外角等于與它________的兩個(gè)內(nèi)角的和，因此它________與它不相鄰的任一內(nèi)角．
【答案】不相鄰等于
15．在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的度數(shù)和(稱為三角形的外角和)是________．
【答案】360°
16．如圖，△CEF的外角為________________．
【答案】∠AFC，∠BEF
17．如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，則∠3＝________度．
【解析】∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.
又∵∠2＝35°，
∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.
【答案】80
18．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1∶2∶3，則三角形三個(gè)外角之比為 .
【答案】5∶4∶3
19．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
【答案】180°
三、解答題
20．一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最少有幾個(gè)鈍角？最多有幾個(gè)直角？最多有幾個(gè)銳角？
解：一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，最少有兩個(gè)鈍角，最多有一個(gè)直角，最多有一個(gè)銳角．
21．如圖，已知D是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠ACD＝83° .
(1)求∠B的度數(shù)；
解：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
(2)若∠D＝42 °，求∠AFE的度數(shù).
∵∠AFE是△BDF的一個(gè)外角，∠B＝48°，
∠D＝42°，
∴∠AFE＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.
22．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在CA的延長線上，EF∥AD.求：
(1)∠BAF的度數(shù)；
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，∠B＝40°，
∠C＝70°，
∴∠BAF＝110°.
(2)∠F的度數(shù)．
解：∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°.
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC＝35°.
∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°.
23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF為△ABC的角平分線．
(1)若∠ABC＝α，則∠ADE＝ (用含α的式子表示)；
【答案】α
(2)探究∠AFB與∠ADE之間的數(shù)量關(guān)系．
解：∵∠ADE＝90°－∠A，
∠ABC＝90°－∠A，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠AFB＝∠C＋∠CBF＝90°＋eq \f(1,2)∠ABC，
∴∠AFB＝90°＋eq \f(1,2)∠ADE.
24．【2021·重慶一中期末】如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點(diǎn)E.
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠E的度數(shù)；
解：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝180°－∠ACB＝120°.
∵BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，
∴∠EBC＝eq \f(1,2)∠CBA＝25°，∠ECM＝eq \f(1,2)∠ACM＝60°，
∵∠ECM＝∠EBC＋∠E，
∴∠E＝∠ECM－∠EBC＝60°－25°＝35°.
(2)若∠A＝60°，求∠E的度數(shù)；
解：∵∠ACM＝∠CBA＋∠A，CE是外角∠ACM的平分線，
∴∠ECM＝eq \f(1,2)∠ACM＝eq \f(1,2) (∠CBA＋∠A)．
又∵∠ECM＝∠EBC＋∠E，BE是∠ABC的平分線，
∴∠E＝∠ECM－∠EBC＝eq \f(1,2) (∠CBA＋∠A)－eq \f(1,2)∠CBA＝eq \f(1,2) ∠A＝30°.
(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出∠E與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
解：∠E＝eq \f(1,2)∠A.
25．探究：正五角星形的每個(gè)角均相等，小明為了計(jì)算每個(gè)角的度數(shù)，畫出了如圖①所示的正五角星形，每個(gè)角均相等，并寫出了如下不完整的計(jì)算過程，請(qǐng)你將過程補(bǔ)充完整．
解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，∠AGF＝∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝________°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________°.
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝________°.
【答案】180 180 36
拓展：如圖②，小明改變了這個(gè)五角星形的五個(gè)角的度數(shù)，使它們均不相等，請(qǐng)你幫助小明求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和．
解：∵∠AFG＝∠C＋∠E，
∠AGF＝∠B＋∠D，
∴∠AFG＋∠AGF＝∠C＋∠E＋∠B＋∠D.
∵∠A＋∠AFG＋∠AGF＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
應(yīng)用：如圖③，小明將圖②中的點(diǎn)A落在BE上，點(diǎn)C落在BD上，若∠B＝∠D＝36°，則∠CAD＋∠ACE＋∠E＝________°.
【答案】108

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