2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話(huà)都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第05講 橢圓及其性質(zhì)
目錄
知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：
注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．
知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
【解題方法總結(jié)】
（1）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線(xiàn)被橢圓所截得的線(xiàn)段稱(chēng)為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為．
①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線(xiàn)
①橢圓上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是；
②過(guò)橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線(xiàn)的切點(diǎn)弦方程是；
③橢圓 與直線(xiàn) 相切的條件是．
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】由題可知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為，，
故，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
例2．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵拋物線(xiàn)焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，∴橢圓焦點(diǎn)在軸，
設(shè)橢圓方程為，（），
則由焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)知，，∴，
∴，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
例3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
變式1．（2023·浙江紹興·紹興一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點(diǎn)，過(guò)E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線(xiàn)交E于點(diǎn)B.若直線(xiàn)AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)C，如圖所示：
由題意知：，直線(xiàn)AB的斜率為，即，
所以，.
由橢圓的性質(zhì)知：，，則，所以，，
則，故直線(xiàn)AB的方程為.
聯(lián)立，解得：或，
所以，故，
則，解得：.
又，所以，即，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】橢圓的離心率為，
設(shè)所求橢圓方程為，
則，從而，，
又，∴，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為： .
變式3．（2023·北京·高二北大附中?？计谀┡c雙曲線(xiàn)有相同焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】即，焦點(diǎn)為，
橢圓長(zhǎng)軸，即，故短半軸，故橢圓方程為.
故答案為：.
變式4．（2023·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交E于P，Q兩點(diǎn)，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】連接，因?yàn)椋?br>所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
又，所以四邊形為矩形，
設(shè)
則由題意得，解得，
則，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為：.
變式5．（2023·山東青島·高二青島二中校考期中）過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為，，
將點(diǎn)代入，，
整理可得：，
解得或（舍，
所以橢圓的方程為：，
故答案為：．
變式6．（2023·浙江麗水·高三校考期中）我們把焦點(diǎn)在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”.若橢圓，則以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的相似橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】∵橢圓E的離心率為，
且設(shè)橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，
∴橢圓F的，即橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過(guò)F2的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)（異于M、N），的周長(zhǎng)為，且直線(xiàn)AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】由的周長(zhǎng)為,可知,解得 ,
由直線(xiàn)AM與AN的斜率之積為,可得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為：
變式8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)所求橢圓方程為：(，，)將和的坐標(biāo)代入方程得：
，解得，
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.
注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.
②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.
題型二：橢圓方程的充要條件
例4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若是任意實(shí)數(shù)，方程表示的曲線(xiàn)不可能是（ ）
A．圓B．拋物線(xiàn)C．橢圓D．雙曲線(xiàn)
【答案】B
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由得，方程表示圓，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)是第一象限角時(shí)，，不會(huì)是拋物線(xiàn)方程；
當(dāng)是第二象限角時(shí)，，不會(huì)是拋物線(xiàn)方程；
當(dāng)是第三象限角時(shí)，，不成立，不會(huì)是拋物線(xiàn)方程；
當(dāng)是第四象限角時(shí)，，不會(huì)是拋物線(xiàn)方程；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸正半軸上時(shí)，，，得，不是拋物線(xiàn)方程；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸正半軸上時(shí)，，，得，不是拋物線(xiàn)方程；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸負(fù)半軸上時(shí)，，，得不成立；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸負(fù)半軸上時(shí)，，，得不成立；故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由，得，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，得，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，故D正確；
故選：B.
例5．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考三模）已知，則方程所表示的曲線(xiàn)為，則以下命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
B．當(dāng)曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)時(shí)，的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示一條直線(xiàn)
D．存在，使得曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)
【答案】A
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，
表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，A正確；
對(duì)于B，若曲線(xiàn)表示雙曲線(xiàn)，則，解得：或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)，即，
即曲線(xiàn)表示兩條直線(xiàn)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則，解集為，
不存在，使得曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，D錯(cuò)誤.
故選：A.
例6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：
甲：可以是圓的方程； 乙：可以是拋物線(xiàn)的方程；
丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ?。嚎梢允请p曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
其中，真命題有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解析】因?yàn)榉匠蹋渲校?br>所以當(dāng)時(shí)，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；
當(dāng)時(shí)，方程為，即是拋物線(xiàn)的方程，故方程可以是拋物線(xiàn)的方程；
當(dāng)時(shí)，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若方程為雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
所以真命題有3個(gè).
故選：C.
變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“，”是“方程表示的曲線(xiàn)為橢圓”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是,
顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，
故“，”是“方程表示的曲線(xiàn)為橢圓”的既不充分也不必要條件，
[解法二]
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足“，”，此時(shí)題中方程可化為：,表示的曲線(xiàn)是圓而不是橢圓，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足“，”，只是題中方程可化為：,表示中心在原點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為1，半短軸為的橢圓，
故：“，”是“方程表示的曲線(xiàn)為橢圓”的既不充分也不必要條件，
故選：
變式10．（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線(xiàn)，則“”是“曲線(xiàn)C是橢圓”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若曲線(xiàn)是橢圓，則有：
解得：，且
故“”是“曲線(xiàn)C是橢圓”的必要不充分條件
故選：C
變式11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，則曲線(xiàn)：不可能是（ ）
A．拋物線(xiàn)B．雙曲線(xiàn)C．圓D．橢圓
【答案】A
【解析】對(duì)A：因?yàn)榍€(xiàn)C的方程中都是二次項(xiàng)，所以根據(jù)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征曲線(xiàn)C不可能是拋物線(xiàn)，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)B：當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)C：當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C為圓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)D：當(dāng)且時(shí)，曲線(xiàn)C為橢圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
變式12．（2023·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）“”是方程“表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條
【答案】B
【解析】若方程表示橢圓，則有
因此且，
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：B
【解題方法總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線(xiàn)方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題
例7．（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【解析】因?yàn)?
所以四邊形是平行四邊形.
所以.
由橢圓的定義得.
所以.
故選：C
例8．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】記的周長(zhǎng)為l，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r．易知．
由于，故．
設(shè)的內(nèi)切圓面積為，則，
于是選項(xiàng)A符合題意．
故選：A.
例9．（2023·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為4，則（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，
的周長(zhǎng)為，解得，
故選：D
變式13．（2023·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【解析】因?yàn)榈碾x心率為，且，所以，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.
故選：C
變式14．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為，的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意，得，，，則直線(xiàn)的方程為，
所以點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離①．
由的周長(zhǎng)為16，得，即a+c=8②，
聯(lián)立①②，解得③．
因?yàn)?，所以④?br>聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，
故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.
故選：B．
變式15．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】橢圓中，，由及橢圓定義得，
因此為等腰三角形，底邊上的高，
所以的面積為.
故選：D
變式16．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 ，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以，
所以，則當(dāng)最大時(shí)，面積最大，
此時(shí)點(diǎn)位于橢圓的上下端點(diǎn)，
則，因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：C.
變式17．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】由橢圓，得，，.
設(shè)，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故選：C.
變式18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】方法一：因?yàn)?，所以?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)椋裕蓹E圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線(xiàn)定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
變式20．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若橢圓的離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【解析】
如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，
則
設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，
∴
不妨設(shè)，則，
∴，
因?yàn)闄E圓的離心率為，
∴，
故選：A.
變式21．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
【答案】C
【解析】據(jù)題意，四邊形是矩形，設(shè)，，
則有，，由此可得，
所以的面積是，
又的面積與的面積相等，所以的面積等于9.
故選：C．
變式22．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┰O(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且．若的面積為2，則（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】設(shè)，，由，的面積為2，
可得，∴①
由離心率為，可得，代入①式，可得.
故選：B.
變式23．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，則
設(shè)關(guān)于平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，
由橢圓對(duì)稱(chēng)性及角平分線(xiàn)性質(zhì)可知P，，Q三點(diǎn)共線(xiàn)且
又因?yàn)?，所以是正三角形?br>設(shè)，
由橢圓定義可得，，
又，
所以，
所以，即，，
所以的面積.
故選：C.
變式24．（2023·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題可知，焦距，則，又橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于4，
即，所以，
在中，，
由余弦定理得：，
整理得，所以，則，故的面積.
故選：D.
變式25．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榈慕瞧椒志€(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，
所以，
所以由正弦定理得，，
又因?yàn)椋?br>所以，即，不妨設(shè)，如圖：
則，解得，
所以，
由題意，，所以，
故選：D
【解題方法總結(jié)】
焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問(wèn)題常用定義，即.
題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題
例10．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．64B．16C．8D．4
【答案】B
【解析】，
因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，
當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)與的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為．
所以的最大值為16．
故選：B．
例11．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即，故最大值為.
故選：C
例12．（2023·河南·高三期末）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，
點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的性質(zhì)可知，
因?yàn)榉謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn)，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)是的角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，
所以，
又，則,
所以，
則，，
又因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，
所以為的中位線(xiàn)，
即，
當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為6，
當(dāng)點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為2，
當(dāng)點(diǎn)在橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，，
又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，
則的取值范圍為，
結(jié)合函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的取值范圍是，
故選：A.
變式26．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
故選：C.
變式27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若橢圓C：，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為（ ）
A．3B．2＋
C．2D．＋1
【答案】A
【解析】由題意知，距離的最大值為；
故選：A.
變式28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】B
【解析】設(shè)圓的圓心為，則，
設(shè)，則，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，
所以．
故選：B．
【解題方法總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
題型五：橢圓上兩線(xiàn)段的和差最值問(wèn)題
例13．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】C
【解析】點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)，如圖．
記題中代數(shù)式為M，則，
等號(hào)當(dāng)點(diǎn)E，A，P依次共線(xiàn)時(shí)取得．
因此所求最小值為．
故選：C.
例14．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】A
【解析】
設(shè)橢圓的半焦距為，則，，
如圖，連接，則，
而，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)且在中間時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為.
故選：A.
例15．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M：上一點(diǎn)，則PQ＋PF的最大值為（ ）
A．3B．6
C．D．
【答案】D
【解析】圓M：的圓心為，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，如下圖，由橢圓的定義知，，
所以，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)取等，
，，，.
故選：D．
變式29．（2023·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量滿(mǎn)足，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，則，且，
不妨設(shè)，則，
由，即，
故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，
∴，
則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
即，故.
故選：D.
變式30．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)部，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓，得，
由橢圓的定義可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)是射線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．
故選：C.
變式31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.
則橢圓的焦點(diǎn)為.
又,，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)取等號(hào).
此時(shí)最大值為.
故選：C.
變式32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】橢圓上的點(diǎn)P滿(mǎn)足，
當(dāng)點(diǎn)P為的延長(zhǎng)線(xiàn)與C的交點(diǎn)時(shí)，
達(dá)到最大值，最大值為．
故選：B
變式33．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓外一點(diǎn)A(5，6)，l為橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到l的距離為d，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，可知其坐標(biāo)為F(－3，0)，根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義有：＝e＝，即，所以，可知當(dāng)P、F、A三點(diǎn)共線(xiàn)且P在線(xiàn)段AF上時(shí)，最小，最小值＝10．故的最小值為10．
故選：B．
變式34．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，可得，
所以，
如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)（點(diǎn)在線(xiàn)段上）時(shí)，
此時(shí)取得最小值，
又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．
故選：A．
【解題方法總結(jié)】
在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義．求解最值問(wèn)題的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)上，要思考并用上圓錐曲線(xiàn)的定義，往往問(wèn)題能迎刃而解．
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
例16．（2023·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個(gè)橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動(dòng)木條的處鉆一個(gè)小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動(dòng)，可以放松移動(dòng)以保證與的長(zhǎng)度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動(dòng)時(shí)，處筆尖就畫(huà)出一個(gè)橢圓.已知，且在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意知與的長(zhǎng)度不變，已知，
設(shè)，則，
當(dāng)滑動(dòng)到位置處時(shí)，點(diǎn)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，則短半軸長(zhǎng)，
當(dāng)在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，
故離心率為.
故選：D.
例17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，則即所以橢圓的圓心率的取值范圍是.
故選：A.
例18．（2023·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，P，Q為C上兩點(diǎn)，，若，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，.
在中得：，即.
因此，，，
在中得：，故，所以.
故選：D
變式35．（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)與軸截面垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線(xiàn)是圓或橢圓，當(dāng)此交線(xiàn)是橢圓時(shí)，其離心率的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)與接近平行時(shí)，交線(xiàn)接近是一個(gè)圓，離心率接近0；
當(dāng)時(shí)，交線(xiàn)是一個(gè)長(zhǎng)軸最大的橢圓，
此時(shí)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，解得，
又短半軸長(zhǎng)為，則焦距的一半為，
所以離心率，
所以離心率的取值范圍是.
故選：A
變式36．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】連接，設(shè)，則，，，
在中，即，
，，，
，，
在中，，即，
，，又，.
故選：C.
變式37．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，，若四邊形的周長(zhǎng)等于，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br>即，所以點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，
又因點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，
所以且，且，
所以四邊形的周長(zhǎng)為，
又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以，
所以，即，
故橢圓C的離心率為.
故選：C.
變式38．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎狹，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓C上異于的點(diǎn)，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意知M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，
故
,
由橢圓的范圍可知，
故的最大值為，則，
即橢圓C的離心率是，
故選：C
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
變式39．（2023·四川綿陽(yáng)·高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓?的左、右焦點(diǎn)分別為?，焦距為?，若直線(xiàn)?與橢圓?的一個(gè)交點(diǎn)為?在?軸上方，滿(mǎn)足?，則該橢圓的 離心率為（ ）
A．?B．?
C．?D．?
【答案】A
【解析】由直線(xiàn)可知：過(guò)定點(diǎn)，斜率，即，
則，解得，
又因?yàn)?，可得?br>結(jié)合橢圓的定義可得，整理得.
故選：A.
變式40．（2023·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若E上的點(diǎn)P滿(mǎn)足軸，，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則直線(xiàn)：，由，得，即，
而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的離心率為.
故選：A
變式41．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn).延長(zhǎng)，交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，，，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，
因?yàn)?所以，所以可得四邊形為矩形，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，由橢圓的定義可知，
，，
在中，，即，整理可得：，
所以可得，
在△中，，即，
所以離心率，
故選：A
變式42．（2023·河南開(kāi)封·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓，，分別是的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意作出圖形，如下圖所示：
可知：，，，
在中可得：，
在中可得：，
所以
化簡(jiǎn)得：
因?yàn)?，所以①?br>又，所以①整理可得：，
即，解得，
又，所以，
故選：C.
變式43．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，
設(shè)△的面積為，的面積為，因?yàn)椋?br>所以，即①，
設(shè)直線(xiàn)，則聯(lián)立橢圓方程與直線(xiàn)，
可得，
所以②，③，
聯(lián)立①②③得，，整理得，所以．
故選：D
變式44．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，，因?yàn)?，所以?br>所以，因?yàn)椋裕?br>所以，因?yàn)椋?br>所以，解得.
故選：D.
變式45．（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)，，且．若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，故四邊形為平行四邊形，
設(shè)，，則，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故選：A
方向3：利用最大頂角滿(mǎn)足
變式46．（2023·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，
，
點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，
又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，
該圓內(nèi)含于橢圓，即，，
，．
故選：A．
變式47．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，易知，，則，
故點(diǎn)的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，
由圖可知，即，可得，又因?yàn)?，故?br>故答案為：．
變式48．（2023·北京豐臺(tái)二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
【答案】
【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知
橢圓的離心率最小值為
根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知
故答案為：
變式49．（2023·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由橢圓的定義可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，
所以，，解得：.
故答案為：
方向4：坐標(biāo)法
變式50．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過(guò)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，
由題意可得：，則，
因?yàn)?，則，解得，
即，且點(diǎn)在橢圓上，
則，整理得，解得，即.
故選：A.
變式51．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，由，
消去，得，
注意到，則.于是，
同理，. 因此.
的傾斜角為，∴直線(xiàn)的斜率，
根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得.
由，可得，故.
．
故選：A
變式52．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的下焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，所以，
把代入橢圓得，化簡(jiǎn)得，
則橢圓的離心率為.
故選：C.
變式53．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，因?yàn)?，?br>所以，，
由題意知當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，可得，即，則．
故選：B．
變式54．（2023·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)所作直線(xiàn)的傾斜角為，所以該直線(xiàn)斜率為，
所以直線(xiàn)方程可寫(xiě)為，聯(lián)立方程，
可得，，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
即，所以，聯(lián)立，
可得，.
故選：C
變式55．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)校考二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)做傾斜角為的直線(xiàn)斜率，
直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程，
可得，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
因?yàn)?，即，所以?br>所以，
即，所以，聯(lián)立，
可得，.
故選：C.
變式56．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，離心率為，又點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，則（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，
所以，，橢圓方程為，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)共線(xiàn)，
因?yàn)?，則，
設(shè)，由橢圓的定義得，
又因?yàn)?，?br>所以，解得，即，
所以在上、下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，
則，
聯(lián)立，解得或，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：C．
變式57．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線(xiàn)上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知：，，，直線(xiàn)的方程為：，
由，點(diǎn)在第三象限，，則，
代入直線(xiàn)方程中得整理得，
則，∴橢圓的離心率.
故選：B.
變式58．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓O，過(guò)點(diǎn)作圓O的兩切線(xiàn)互相垂直，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，在圓O外，兩條切線(xiàn)的斜率必存在，
令一條切線(xiàn)為，另一條切線(xiàn)為，
所以，，則，可得，
所以.
故選：D
變式59．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，
令，解得，即.
設(shè)，又，，，
由可得：，解得，
又在橢圓上，即，
整理得，解得.
故選：A
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
變式60．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線(xiàn)與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為平行四邊形．
設(shè)，則．
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故選：B.
變式61．（2023·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)、分別為橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由題意可知，，
設(shè)，
則，
則,，
∴在中，由余弦定理得.
故選：A
變式62．（2023·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，
在中，，
由橢圓定義可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以橢圓離心率.
故選：D.
變式63．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得線(xiàn)段與直線(xiàn)垂直垂足為Q，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)C的右焦點(diǎn)為，線(xiàn)段與直線(xiàn)垂直，
所以的斜率為，所以，
設(shè)，則，故，
在中，由余弦定理得，，
所以
所以，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以橢圓C的離心率為.
故選:A．
變式64．（2023·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)交于 ，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分別取，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，，，，
由以及橢圓的對(duì)稱(chēng)性及幾何知識(shí)可得，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則四邊形是平行四邊形，
所以，，
又，所以，所以是等邊三角形，
又的周長(zhǎng)為，
所以，，
中，由余弦定理，
得，整理得，
所以，
故選：B.
變式65．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
設(shè)，由題意知,，
由余弦定理得,，
由橢圓定義知，則離心率.
故選:C.
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
變式66．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
變式67．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.
因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，所以，即，
整理得，所以，解得.故選D.
變式68．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線(xiàn)，．若兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
變式69．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質(zhì)，知，
所以且，
所以且，
即且，
結(jié)合，可解得．
故答案為：.
變式70．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線(xiàn)，．若兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
方向7：利用基本不等式
變式71．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿(mǎn)足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設(shè)，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
變式72．（2023·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)直線(xiàn)，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，
則，，因?yàn)椋?br>所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
變式73．（2023·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線(xiàn)l，若直線(xiàn)l上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
∵直線(xiàn)l上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
變式74．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
【答案】；
【解析】設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，如圖，連接，
根據(jù)橢圓和直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得四邊形為平行四邊形，
又因?yàn)椋?
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，
又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，?
故答案為：.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
變式75．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
變式76．（2023·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，
則由橢圓的定義可得，
，由題意可得，
，
，，
則該橢圓的離心率的取值范圍是，，
故答案為：，．
變式77．（2023·河南·信陽(yáng)高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，則.
故答案為
變式78．（2023·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿(mǎn)足為等腰三角形，因此由對(duì)稱(chēng)性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，
設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，
若，則，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，則，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．
綜上，的范圍是．
法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿(mǎn)足條件的；
②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿(mǎn)足為等腰三角形即可，則或
當(dāng)時(shí)，則，即，則，
當(dāng)時(shí)，則有，則，
綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.
故選：A.
變式79．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點(diǎn)，則，且，
又，，
則
由于，所以，
于是可得，，所以橢圓C的離心率.
故選：B.
變式80．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓C：的左?右焦點(diǎn)，B是橢圓C的上頂點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且C的焦距大于短軸長(zhǎng)，若的最大值是的最小值的倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】依題意得，
設(shè)，則，
由題意知，故，
又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，為，
又的最大值是的最小值的倍，
所以，即，
又，所以，得或.
又不滿(mǎn)足，滿(mǎn)足，所以，
故選：D.
方向9：利用橢圓第三定義．
變式81．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設(shè)，
由點(diǎn)P在橢圓上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
變式82．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線(xiàn)，斜率之積的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
由直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以且，
由題意知：，兩式相減得：
，
即，
又，
由橢圓的離心率的取值范圍是，
即，
所以，
即，
故選：D.
變式83．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同．③M是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線(xiàn)左右焦點(diǎn)，若，則或1．④直線(xiàn)與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)（與P，Q不重合），已知直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【解析】①若方程表示橢圓，則，解得或，故①錯(cuò)誤；
②雙曲線(xiàn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，不相同，故②錯(cuò)誤；
③雙曲線(xiàn)中，
因?yàn)镸是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線(xiàn)左右焦點(diǎn)，
所以由雙曲線(xiàn)的定義得，若，則或1，
而雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，所以舍去，所以，故③錯(cuò)誤；
④設(shè)，因?yàn)锳是橢圓上任一點(diǎn)，所以，所以，
又因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，所以設(shè)，，所以，
因?yàn)橹本€(xiàn)AP與直線(xiàn)AQ的斜率之積為，
所以，
所以，所以，又，所以，故④正確；
綜上，錯(cuò)誤的有3個(gè).
故選：B.
變式84．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，直線(xiàn)的斜率為，設(shè)，則，且，
由兩式相減得：，于是，
解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，
所以橢圓的離心率.
故選：A
變式85．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).若直線(xiàn)的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，可設(shè)，則，
所以，可得，
又因?yàn)?，即?br>代入可得，所以離心率為.
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.
題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題
例19．（2023·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線(xiàn) 的一個(gè)焦點(diǎn)是，橢圓 的焦距等于 ，則 ．
【答案】5
【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)是，
所以，得，
又橢圓 的焦距等于，
所以，得.
故答案為：5
例20．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則 .
【答案】4
【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，
橢圓的右焦點(diǎn)為：，
所以，解得：.
故答案為：.
例21．（2023·浙江嘉興·校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，若橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)，且為等腰直角三角形，則 .
【答案】8
【解析】橢圓，故，為等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案為：
變式86．（2023·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之積為，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，，
所以，，
所以，即，
所以，
由，可知，
所以，即.
所以的取值范圍為.
故答案為：.
變式87．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，最大，
因?yàn)闄E圓方程為，
所以，，
此時(shí)，，
滿(mǎn)足，
所以為等腰直角三角形，所以．
故答案為：
變式88．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）AB是平面上長(zhǎng)度為4的一條線(xiàn)段，P是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，M是AB的中點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題設(shè)，，則P的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，
若，，則P的軌跡方程為.
所以的范圍為，即.
故答案為：
變式89．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱(chēng)為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .

【答案】
【解析】過(guò)切點(diǎn)E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，設(shè)球分別與圓錐的同一條母線(xiàn)切于A，B兩點(diǎn)，
有，過(guò)作于點(diǎn)C，則四邊形是矩形，
于是，，又，從而，
設(shè)直線(xiàn)AB與平面的交點(diǎn)為P，則有，，
所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).
故答案為：
變式90．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對(duì)接，需要經(jīng)過(guò)多次變軌．某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到地面的距離為，近地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為 （用，，R表示）．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，
由題意可知，，
所以．
所以，所以．
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
題型八：利用第一定義求解軌跡
例22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線(xiàn)和的交點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】（）．
【解析】設(shè)，
因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，
設(shè)直線(xiàn)和的交點(diǎn)為，
因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，
兩式相乘得，（）,
因?yàn)?，所以，即?br>所以，整理得（），
所以直線(xiàn)和的交點(diǎn)的軌跡方程（）.
故答案為：（）.
例23．（2023·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
【答案】
【解析】設(shè)動(dòng)圓P的圓心為，半徑為，
由題意得，
所以，
所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，
則，即，，則，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，
故答案為：
例24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿(mǎn)足，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
【答案】.
【解析】設(shè)點(diǎn)，
由得點(diǎn)，而點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，
于是得，整理得：，
所以點(diǎn)M的軌跡方程是.
故答案為:
變式91．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線(xiàn)l：x=8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 ；
【答案】
【解析】設(shè)，則，
由·=0，得，
即，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)P在橢圓上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．
故答案為：
變式92．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，
所以，所以圓心的軌跡為橢圓.
其中，，故，
因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故圓心軌跡方程為：.
故答案為：.
變式93．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn).線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 .
【答案】．
【解析】由題意，在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，則，
所以，又，
所以在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，
，，，則，
所以軌跡方程為．
故答案為：．
變式94．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)的方程為_(kāi)___________.
【答案】()．
【解析】由圓，圓得到，半徑，，半徑，
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，∵圓在圓內(nèi)，∴動(dòng)圓只能在內(nèi)與圓內(nèi)切，不能是在動(dòng)圓內(nèi)，即：，
∵動(dòng)圓與圓外切，∴，∵動(dòng)圓與圓內(nèi)切，∴，
∴，即到和到的距離之和為定值，
∴是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，
又圓過(guò)點(diǎn)，橢圓也過(guò)點(diǎn)，而點(diǎn)顯然不在圓上，
所以所求軌跡方程為：.
故答案為：.
變式95．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F1向∠F1AF2的外角平分線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是________．
【答案】x2＋y2＝4
【解析】
由題意，延長(zhǎng)F1D，F(xiàn)2A并交于點(diǎn)B，易證Rt△ABD≌Rt△AF1D，則|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O為F1F2的中點(diǎn)，連接OD，則OD∥F2B，從而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x2＋y2＝4.
故答案為：
變式96．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖，已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，|CP|=2，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】由題意結(jié)合切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，，，
所以，
所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（不在x軸上），
且該橢圓滿(mǎn)足，，所以，
所以該橢圓方程為.
故答案為：.
變式97．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）一動(dòng)圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】由題意，圓：的圓心為，半徑為，
圓：的圓心為，半徑為，
設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，
動(dòng)圓與圓：內(nèi)切，與圓：外切，
所以，，
所以，
所以的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，
所以，
橢圓的方程為.
故答案為：．
變式98．（2023·遼寧·沈陽(yáng)二中高三階段練習(xí)（理））一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】設(shè)動(dòng)圓半徑為，根據(jù)題意知：，，故.
故軌跡為橢圓，，，故，故軌跡方程為：.
故答案為：.
變式99．（2023·江西宜春·高三階段練習(xí)（文））已知定點(diǎn),直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)______．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為
變式100．（2023·廣東湛江·一模（理））已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓內(nèi)切于圓，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，切點(diǎn)為，連，，則三點(diǎn)共線(xiàn)，且，
取關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)有．且當(dāng)在時(shí)也滿(mǎn)足題意.
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓．其中，，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：．
【解題方法總結(jié)】
常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線(xiàn)的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿(mǎn)足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷． 焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿(mǎn)足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線(xiàn)的定義，把曲線(xiàn)和滿(mǎn)足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線(xiàn)定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
1．（2023?甲卷）已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，，
為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，
設(shè)，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得
．
可得．
故選：．
2．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)橢圓，的離心率分別為，．若，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由橢圓可得，，，
橢圓的離心率為，
，，，
，
或（舍去）．
故選：．
3．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】記直線(xiàn)與軸交于，
橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，，
由△面積是△的2倍，可得，
，解得或，
或，或，
聯(lián)立可得，，
直線(xiàn)與相交，所以△，解得，
不符合題意，
故．
故選：．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率）．
（3）掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
2023年I卷II卷第5題，5分
2023年北京卷第19題，15分
2023年甲卷（理）第12題，5分
2022年甲卷（理）第10題，5分
橢圓是圓雉曲線(xiàn)的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，尤其是對(duì)離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)．
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)
對(duì)稱(chēng)性
關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率
準(zhǔn)線(xiàn)方程
點(diǎn)和橢圓
的關(guān)系
切線(xiàn)方程
（為切點(diǎn)）
（為切點(diǎn)）
對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程
焦點(diǎn)三角形面積
①，（為短軸的端點(diǎn)）
②
③
焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是
焦半徑
左焦半徑：
又焦半徑：
上焦半徑：
下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑
過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）
弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，
則弦長(zhǎng)
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
，
，
焦距
范圍
，
，
對(duì)稱(chēng)性
關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
頂點(diǎn)
，
，
軸
長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)
離心率
（注：離心率越小越圓，越大越扁）

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