?第六節(jié) 利用三角函數(shù)測高
一、單選題（共15題）
1．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點A處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長是（　?。?br />
A．2海里 B．2sin55°海里
C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
答案：C
解析：解答：如圖，由題意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．

∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．
故選C．
分析: 首先由方向角的定義及已知條件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP?cos∠A=2cos55°海里
2.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔60海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（　?。?br />
A．30海里 B．30海里 C．60海里 D．30海里
答案：A
解析：解答: 過點P作PC⊥AB于點C．

在Rt△PAC中，∵PA=60海里，∠PAC=30°，
∴CP=AP=30海里．
在Rt△PBC中，∵PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=30海里．
即海輪所在的B處與燈塔P的距離為30海里．
故選：A．
分析: 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線
3.如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km、從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（　?。?br />
A．4km B．（2+）km C．2km D．（4-）km
答案：B
解析：解答: 在CD上取一點E，使BD=DE，

可得：∠EBD=45°，AD=DC，
∵從B測得船C在北偏東22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC，
∵AB=2，
∴EC=BE=2，
∴BD=ED=
∴DC=2+
故選：B．
分析: 根據(jù)題意在CD上取一點E，使BD=DE，進(jìn)而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案
4.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（　　）

A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
答案:A
解析：解答: 過點P作PC⊥AB于點C，

由題意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP=AP=40（海里），
則PB= =40（海里）．
故選：A．
分析: 過點P作垂直于AB的輔助線PC，利三角函數(shù)解三角形，即可得出答案
5.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為（　?。?br />
A．4km B．2km C．2km D．（+1）km
答案:C
解析：解答: 如圖，過點A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD= OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB=AD=2
即該船航行的距離（即AB的長）為2km．
故選：C．
分析: 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵
6.如圖，杭州市郊外一景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路a經(jīng)過兩個景點A，B，景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點C，經(jīng)測量景點C位于景點A的北偏東60°方向，又位于景點B的北偏東30°方向，且景點A、B相距200m，則景點B、C相距的路程為（　　）

A．100 B．200 C．100 D．200
答案:B
解析：解答: 如圖，由題意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠C=30°，
∴BC=AB=200m，
即景點B、C相距的路程為200m．
故選B．
分析: 先根據(jù)方向角的定義得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠C=180°-∠CAB-∠ABC=30°，則∠CAB=∠C=30°，根據(jù)等角對等邊求出BC=AB=200m
7.如圖，C、D分別是一個湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個村莊，CD=6km，且D位于C的北偏東30°方向上，則AB的長為（　?。?br />
A．2km B．3km C．km D．3km
答案:B
解析：解答：過C作CE⊥BD于E，則CE=AB．

直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，
則CE=CD?cos30°=3=AB．
所以AB=3（km）．
故選B．
分析: 過C作CE⊥BD于E，根據(jù)題意及三角函數(shù)可求得CE的長，從而得到AB的長
8. 如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為（　?。┖＠铮?br />
A．40+40 B．80 C．40+20 D．80
答案:A
解析：解答: 根據(jù)題意得：PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°，
∵在Rt△PAC中，AC=PC=PA?cos45°=40×=40（海里），
在Rt△PBC中，BC= （海里），
∴AB=C+BC=40+40（海里）．
故選A．
分析: 首先由題意可得：PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°，然后分別在Rt△PAC中與Rt△PBC中，利用三角函數(shù)的知識分別求得AC與BC的長，繼而求得答案
9.小軍從A地沿北偏西60°方向走10m到B地，再從B地向正南方向走20m到C地，此時小軍離A地（　?。?br /> A．5m B．10m C．15m D．10m
答案:D
解析：解答: 如圖所示：在Rt△ABD和Rt△CDA中，

∵AD=AB?sin60°=5（m）；
BD=AB?cos60°=5，
∴CD=15．
∴AC= =10（m）．
故選：D．
分析: 根據(jù)三角函數(shù)分別求AD，BD的長，從而得到CD的長．再利用勾股定理求AC的長即可
10.某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于P的北偏東30°方向，且相距50海里．客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達(dá)B處，那么tan∠BAP=（　?。?br /> A． B． C． D．

答案:A
解析：解答: ∵燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距50海里．
∴AP=50，
∵客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行 小時到達(dá)B處，
∴∠APB=90°，BP=60× =40，
∴tan∠BAP=
故選A．
分析: 根據(jù)題意作出圖形后知道北偏東30°與北偏西60°成直角，利用正切的定義求值即可
11.在一次夏令營活動中，小霞同學(xué)從營地A點出發(fā)，要到距離A點10千米的C地去，先沿北偏東70°方向走了8千米到達(dá)B地，然后再從B地走了6千米到達(dá)目的地C，此時小霞在B地的（　?。?br /> A．北偏東20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上

答案:B
解析：解答: 如圖，

∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC為直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B點在A的北偏東70°方向，
∴∠1=90°-70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C點在B的北偏西20°的方向上．
故選B．
分析: 本題考查了解直角三角形有關(guān)方向角的問題：在每點處畫上東南西北，然后利用平行線的性質(zhì)和解直角三角形求角．也考查了勾股定理的逆定理
12.海中有一個小島A，它的周圍a海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東75°方向上，航行12海里到達(dá)D點，這是測得小島A在北偏東60°方向上．若漁船不改變航線繼續(xù)向東航行而沒有觸礁危險，則a的最大值為（　?。?br />
A．5 B．6 C．6 D．8
答案:B
解析：解答: 作AC⊥BD于點C．

∠ABD=90°-75°=15°，
∵∠ADC=90°-60°=30°，
∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12（海里），
在直角△ADC中，AC=AD= ×12=6（海里）．
故a的最大值是6海里．
分析: 漁船不改變航線繼續(xù)向東航行而沒有觸礁危險，則C到航線的距離就是a的最大值，作AC⊥BD，根據(jù)方向角的定義即可求得AD的長度，然后在直角△ACD中，求得AC的長
13.如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=（　?。┟祝?br />
A．250 B．500 C．250 D．500
答案:C
解析：解答：∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-30°=60°．
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB，
∴∠PAB=∠APB=30°．
∴PB=AB．
在直角△PBC中，PC=PB?sin60°=500×=250
故選C．
分析:容易判斷△ABP是等腰三角形，AB=BP；在直角△BCP中，利用三角函數(shù)即可求得PC的長
14.溫州市處于東南沿海，夏季經(jīng)常遭受臺風(fēng)襲擊．一次，溫州氣象局測得臺風(fēng)中心在溫州市A的正西方向300千米的B處（如圖），以每小時10千米的速度向東偏南30°的BC方向移動，并檢測到臺風(fēng)中心在移動過程中，溫州市A將受到影響，且距臺風(fēng)中心200千米的范圍是受臺風(fēng)嚴(yán)重影響的區(qū)域．則影響溫州市A的時間會持續(xù)多長？（　?。?br />
A．5 B．6 C．8 D．10
答案: D
解析：解答：過點A作AD⊥BC于D，由題意得AB=300，∠ABD=30°，

則AD= AB=150（km），
設(shè)臺風(fēng)中心距A點200km處，剛好處在BC上的E，F(xiàn)兩點則，
在Rt△ADE中，AE=200，AD=150，
則DE==50
從而可得：EF=2DE=100，
故A鎮(zhèn)受臺風(fēng)嚴(yán)重影響的時間為=10（h）．
故選D．
分析: 首先過A作作AD⊥BC于D，求得AD的長；設(shè)臺風(fēng)中心距A點200km處，剛好處在BC上的E，F(xiàn)兩點則，在直角三角形中，求得ED，DF的長，已知速度，則可以求得受影響的時間
15.如圖，甲、乙兩船同時從港口O出發(fā)，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知兩船的航行速度相同，如果1小時后甲、乙兩船分別到達(dá)點A、B處，那么點B位于點A的（　?。?br />
A． 南偏西40° B．南偏西30° C．南偏西20° D．南偏西10°
答案:C
解析：解答：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，兩船的航行速度相同，

∴AO=BO，∠BOA=80°，∠OAD=30°
∴∠BAO=∠ABO=50°，
∴∠BAD=∠BAO-∠OAD=50°-30°=20°，
∴點B位于點A的南偏西20°的方向上，
故選C．
分析: 由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度數(shù)，由兩船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度數(shù)，得出點B位于點A的方向
二、填空題（共5題）
16.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為__________km

答案:
解析：解答: 如圖，過點A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD= OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB=AD=2km．
即該船航行的距離（即AB的長）為2km．
故答案為2km．
分析: 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵
17.如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里．那么該船繼續(xù)航行__________海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置

答案:
解析：解答: 如圖，過M作東西方向的垂線，設(shè)垂足為N．

易知：∠MAN=90°=30°．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，
∴AN=AM?cos∠MAN=100×=海里．
故該船繼續(xù)航行
海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置．
故答案為
分析：過M作東西方向的垂線，設(shè)垂足為N．由題易可得∠MAN=30°，在Rt△MAN中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AN的長即可
18.在我們生活中通常用兩種方法來確定物體的位置．如小島A在碼頭O的南偏東60°方向的14千米處，若以碼頭O為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸的正方向，正北方向為y軸的正方向，1千米為單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，則小島A也可表示成____________
答案: （7，-7）．
解析：解答: 過點A作AC⊥x軸于C．

在直角△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米，
則AC=OA=7千米，OC=7千米．
因而小島A所在位置的坐標(biāo)是（7，-7）．
故答案為：（7，-7）．
分析: 過點A作AC⊥x軸于C，根據(jù)已知可求得小島A的坐標(biāo)
19.如圖，有A、B兩艘船在大海中航行，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻這兩艘船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有另一艘船C，那么此時船C與船B的距離是_______海里．（結(jié)果保留根號）

答案：20
解析：解答：過點B作BD⊥AC于D．

由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°．
在Rt△ABD中，AD=BD=AB?sin∠BAD=20×=10（海里），
在Rt△BCD中，BC=BD
sin∠BCD
= （海里），
故答案為20海里．
分析: 首先過點B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識求解即可求得答案
20.一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行60海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東30°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，海警船到達(dá)事故船C處所需的時間大約為_________小時（用根號表示）．

答案：
解析：解答：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．

在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，
∴CD= AC=30海里．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴BC=
∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：20÷40=（小時）．
故答案為
分析: 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵
三、解答題（共5題）
21.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）

答案：
解析：解答: 如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E=∠F=90°，攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF．

在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故攔截點D處到公路的距離是（500+500）米．
分析: 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義，進(jìn)而作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵
22.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東53°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．
（1）在圖中畫出點B，并求出B處與燈塔P的距離（結(jié)果取整數(shù)）；
答案:解答：（1）如圖，作PC⊥AB于C，

在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，
∴PC=PA?sin∠PAC=100×0.80=80，
在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=1.41×80≈113，
即B處與燈塔P的距離約為113海里；

(2)用方向和距離描述燈塔P相對于B處的位置．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）
答案:113海里
解析：（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，
∴燈塔P位于B處北偏西45°方向，且距離B處約113海里
分析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，直角三角形，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識．解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線求出即可．
23.如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時勻速航行，在A處觀測到燈塔C在北偏西60°方向上，航行1小時到達(dá)B處，此時觀察到燈塔C在北偏西30°方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

答案：17
解析：解答：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，

AB=20×1=20（海里），
∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°-∠CAF=30°，
∴∠C=180°-∠CBA-∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=BA=20（海里），
∠CBD=90°-∠CBE=60°，
∴CD=BC?sin∠CBD=20×≈17（海里）．
分析: 過點C作CD⊥AB于點D，則若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置為CD的長度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可
24.如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個碼頭，A在B的正東方向，一艘小船從A碼頭沿它的北偏西60°的方向行駛了20海里到達(dá)點P處，此時從B碼頭測得小船在它的北偏東45°的方向．求此時小船到B碼頭的距離（即BP的長）和A、B兩個碼頭間的距離（結(jié)果都保留根號）．

答案：見解答
解析： 解答：如圖：

過P作PM⊥AB于M，
則∠PMB=∠PMA=90°，
∵∠PBM=90°-45°=45°，∠PAM=90°-60°=30°，AP=20海里，
∴PM= AP=10海里，AM=cos30°AP=10海里，
∴∠BPM=∠PBM=45°，
∴PM=BM=10海里，
∴AB=AM+BM=（10+10）海里，
∴BP=PM =10海里，
即小船到B碼頭的距離是10海里，A、B兩個碼頭間的距離是（10+10）海里．
分析: 過P作PM⊥AB于M，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM，即可求出BM、BP
25.如圖，要測量A點到河岸BC的距離，在B點測得A點在B點的北偏東30°方向上，在C點測得A點在C點的北偏西45°方向上，又測得BC=150m．求A點到河岸BC的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

答案：95
解析：解答：過點A作AD⊥BC于點D，設(shè)AD=xm．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=AD?tan30°=
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，
∴CD=AD=x．
∵BD+CD=BC，
∴+x=150，
∴x=75（3-）≈95．
即A點到河岸BC的距離約為95m．
分析: 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，有公共直角邊的可利用這條邊進(jìn)行求解


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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級下冊電子課本

6 利用三角函數(shù)測高

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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