?第五節(jié) 三角函數(shù)的應用
一、單選題（共15題）
1．如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC高度應該設計為（　　）

A． 米 B．米 C．米 D．米
答案：D
解析：解答：如圖，延長OD，BC交于點P．

∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC?cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴ ，
∴PB=米，
∴BC=PB-PC=米．
故選：D．
分析: 出現(xiàn)有直角的四邊形時，應構(gòu)造相應的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相減即可求得BC長
2.如圖，為安全起見，萌萌擬加長滑梯，將其傾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的長為3m，點D、B、C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是（　　）

A．2 B． C． D．
答案：C
解析：解答: 假設AC=x，
∴BC=x，∵滑梯AB的長為3m，
∴2x2=9，
解得：x=
∵∠D=30°，
∴2AC=AD，
∴AD=3
故選C．
分析: 根據(jù)∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的長，再利用在直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半求出即可。
3.如圖，AC是電線桿AB的一根拉線，測得BC的長為6米，∠ACB=50°，則拉線AC的長為（　?。?br />
A． B． C．6cos50° D．
答案：D
解析：解答: ∵BC=6米，∠ACB=50°，
∴cos50°=，
∴AC= （米）；
故選D．
分析: 此題考查了解直角三角形，解決此類問題的關鍵是找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決
4.如圖，要測量B點到河岸AD的距離，在A點測得∠BAD=30°，在C點測得∠BCD=60°，又測得AC=100米，則B點到河岸AD的距離為（　?。?br />
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
答案:C
解析：解答: 過B作BM⊥AD，
∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=CB=100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC=90°，
∴∠CBM=30°，
∴CM= BC=50米，
∴BM=CM=50米，
故選：B．
分析: 過B作BM⊥AD，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關系可得∠ABC=30°，再根據(jù)等角對等邊可得BC=AC，然后再計算出∠CBM的度數(shù)，進而得到CM長，最后利用勾股定理可得答案
5. 如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（　?。?br />
A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米
答案:A
解析：解答: 設CD=x，則AD=2x，
由勾股定理可得，AC=＝x，
∵AC=3米，
∴x=3，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD==8米，
∴BC=8-3=5米．
故選A．
分析: 設CD=x，則AD=2x，根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而求出CD、AC的長，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長，即可求出BC的長
6. 如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1：2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為（　?。?br />
A．5m B．m C．4m D．2m
答案:D
解析：解答: ∵AB=10米，tanA=

∴設BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2
∴AC=4，BC=2米．
故選D．
分析: 可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長
7. 如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，如果顧客乘地鐵從點B到點C上升的高度為5m，則電梯BC的長是（　?。?br />
A．5cm B．5cm C．10m D．m
答案:C
解析：解答：如圖所示：過點C作CE⊥AB延長線于點E，

∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
∵從點B到點C上升的高度為5m，
∴電梯BC的長是10m．
故選：C．
分析: 根據(jù)直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，進而得出即可
8. 一斜坡長為米，高度為1米，那么坡比為（　　）
A．1：3 B．1： C．1： D．1：
答案:A
解析：解答: ∵一斜坡長為米，高度為1米，
∴坡的水平寬度為：3m，
∴坡比為：
故選：A．
分析: 直接利用坡度的定義，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，進而得出答案
9.如圖，一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6米，壩高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角為30度，則壩底AD的長度為（　?。?br />
A．56米 B．66米 C．（56+20）米 D．（50+20）米
答案:C
解析：解答: 作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點E，F(xiàn)，則四邊形BCFE是矩形，
由題意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i為1：2.5，
在Rt△ABE中，
∵
∴AE=50米，
在Rt△CFD中，
∵∠D=30°，
∴DF=CFcot∠D=20米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=（56+20）米．
故選C．
分析: 過梯形上底的兩個頂點向下底引垂線，得到兩個直角三角形和一個矩形，利用相應的性質(zhì)求解即可
10.如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度為1：0.6，現(xiàn)測得放水前的水面寬EF為1.2米，當水閘放水后，水渠內(nèi)水面寬GH為2.1米．求放水后水面上升的高度是（　?。?br />
A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75
答案:D
解析：解答: 如圖；過點E作EM⊥GH于點M，

∵水渠的橫斷面是等腰梯形，
∴GM= ×（GH-EF）= ×（2.1-1.2）=0.45，
∵斜坡AD的坡度為1：0.6，
∴EM：GM=1：0.6，
∴EM：0.45=1：0.6，
∴EM=0.75，
故選：D．
分析: 先過點E作EM⊥GH于點M，根據(jù)水渠的橫斷面是等腰梯形，求出GM，再根據(jù)斜坡AD的坡度為1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入計算即可
11.如圖，在坡角為30°的斜坡上要栽兩棵樹，要求它們之間的水平距離AC為6m，則這兩棵樹之間的坡面AB的長為（　?。?br />
A．12m B．3m C．4m D．12m
答案:C
解析：解答: 如圖，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，
∴AB= （m）．
故選C．
分析: AB是Rt△ABC的斜邊，這個直角三角形中，已知一邊和一銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出AB的長．
12.如圖，市政府準備修建一座高AB=6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為，則坡面AC的長度為（　?。﹎．

A．10 B．8 C．6 D．6
答案:A
解析：解答: ∵天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為 ，
∴sinC=，
則
解得：AC=10，
則坡面AC的長度為10m．
故選：A．
分析: 此題主要考查了解直角三角形的應用，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵
13. 攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC=10m，則坡面AB的長度是（　?。?br />
A．15m B．20m C．10m D．20m
答案:D
解析：解答：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：

∴AC=BC÷tanA=10m，
∴AB==20m．
故選：D．
分析: 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過解直角三角形即可求出斜面AB的長．
14.如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，則壩底AD的長度為（　　）

A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
答案: D
解析：解答：∵壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，

∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故選：D．
分析: 根據(jù)坡比求得AE的長，已知CB=10m，即可求得AD．
15.身高相同的三個小朋友甲、乙、丙放風箏，他們放出的線長分別為300m，250m，200m；線與地面所成的角度分別為30°，45°，60°（假設風箏線是拉直的），則三人所放的風箏（　?。?br /> A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
答案:D
解析：解答：甲放的高度為：300×sin30°=150米．
乙放的高度為：250×sin45°=125≈176.75米．
丙放的高度為：200×sin60°=100≈173.2米．
所以乙的最高．
故選D．
分析: 利用所給角的正弦值求出每個小朋友放的風箏高度，比較即可
二、填空題（共5題）
16.如圖，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山頂B，如果AB=2000米，則他實際上升了_____________米．

答案: 1000
解析：解答: 過點B作BC⊥水平面于點C，
在Rt△ABC中，
∵AB=2000米，∠A=30°，
∴BC=ABsin30°=2000× =1000．
故答案為：1000
分析: 過點B作BC⊥水平面于點C，在Rt△ABC中，根據(jù)AB=2000米，∠A=30°，求出BC的長度即可
17.如圖，在坡度為1：3的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是_________米（結(jié)果保留根號）

答案:
解析：解答: 如圖，
Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，AC=6，
∴BC=AC?tanA=6× =2．
根據(jù)勾股定理，得：AB=
=即斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是米．
分析：在由每兩棵樹構(gòu)建的直角三角形中，已知了水平寬為6米，根據(jù)坡度可求出坡面的鉛直高度，進而可根據(jù)勾股定理求得坡面長，即相鄰兩樹間的坡面距離．
18.河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：則AB的長為_______

答案: 12米
解析：解答: ∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：
∴BC：AC=1：
∴AC=?BC=6（米），
∴AB=
故答案為12米．
分析: 在Rt△ABC中，根據(jù)坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通過解直角三角形即可求出斜面AB的長
19.如圖，當小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米時，小杰實際上升高度AC=_________米．（可以用根號表示）

答案：
解析：解答：∵坡度i=1：5，
∴AC與BC的比為1：5，
設AC為x，則BC為5x，
∴x2+（5x）2=262，
∵x＞0，
∴x=
故答案為：
分析: 由坡度易得AC與BC的比為1：5，設出相應未知數(shù)，利用勾股定理可得AC的長度．
20.如圖是石景山當代商場地下廣場到地面廣場的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示地下廣場、地面廣場電梯口處的水平線．已知∠ABC=135°，BC的長約是6m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是_________．

答案：6m
解析：解答：作CF⊥AB的延長線于F，∵∠ABC=135°，

∴∠CBF=180°-135°=45°，
∴CF=BC?sin45°=6×=6．
故答案為6．
分析: 作CF⊥AB的延長線于F，求出∠CBF=45°，然后利用三角函數(shù)求出CF的長即可．
三、解答題（共5題）
21. 兩棵樹種在傾角為24°36′的斜坡上，它們的坡面距離是4米，求它們之間的水平距離（可用計算器計算，精確到0.1米）
答案：3.6米．
解析：解答: 由題意得cos24°36′ =0.909，
解得：水平距離≈3.6米．
故答案為：3.6．
分析: 傾角為24°36′，即坡角為24°36′，利用余弦關系可求出它們之間的水平距離．
22.如圖所示，一水庫迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα

答案:
解析：解答：過A作AC⊥BC于C，
∵AB的坡度i=1：3，
∴tanα=
設AC=x，BC=3x，
根據(jù)勾股定理可得：AB=
則sinα=AC 故答案為：
分析：本題考查了坡度坡角的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理的應用及坡角的定義
23.如圖，如果某個斜坡AB的長度為10米，且該斜坡最高點A到地面BC的鉛垂高度為8米，求該斜坡的坡比

答案：
解析：解答：
【解答】解：∵某個斜坡AB的長度為10米，且該斜坡最高點A到地面BC的鉛垂高度為8米，∴水平距離BC= =6（m），
則該斜坡的坡比是：
故答案為：
分析: 直接利用坡度的定義，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，進而得出答案．
24.如圖，斜坡AC的坡度（坡高比水平距離）為1：，AC=10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB=14米．求旗桿BC的高度

答案：6米




解析： 解答：延長BC交AD于E點，則CE⊥AD．

在Rt△AEC中，AC=10，由坡度為1：，可知：∠CAE=30°，
∴CE=AC?sin30°=10× =5，
AE=AC?cos30°=10×=5
在Rt△ABE中，BE=
∵BE=BC+CE，
∴BC=BE-CE=11-5=6（米）．
答：旗桿的高度為6米．
故答案為6米．
分析: 如果延長BC交AD于E點，則CE⊥AD，要求旗桿BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的長度．直角三角形ACE中有坡度，由AC的長，那么就可求出AE的長，然后求出BE、CE的高度，根據(jù)BC=BE-CE，即可得出結(jié)果
25.小明乘滑草車沿坡比為1：2.4的斜坡下滑130米，求他下降的高度
答案：50米
解析：解答：坡比為1：2.4，

∴BC：AC=1：2.4，
設BC=x，AC=2.4x，
則AB=
∵AB=130米，
∴x=50，
則BC=x=50（米）．
故答案為：50．
分析: 根據(jù)斜坡的坡比為1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，設BC=x，AC=2.4x，根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)題意可知AB=130米，求出x的值，繼而可求得BC的值．


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5 三角函數(shù)的應用

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