?正方形同步練習(xí)
一、選擇題
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．①② B．②③ C．①③ D．②④
答案：B
解答：由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，故A選項(xiàng)正確；由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，故C選項(xiàng)正確；由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，故D選項(xiàng)正確；故選B．
分析：要判定是正方形，則需要能判定它既是菱形又是矩形．
2．下列說法中，正確的是（　　）
A．相等的角一定是對頂角
B．四個(gè)角都相等的四邊形一定是正方形
C．平行四邊形的對角線互相平分
D．矩形的對角線一定垂直
答案：C
解答：相等的角一定是對頂角錯(cuò)誤，例如，角平分線分成的兩個(gè)角相等，但不是對頂角，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；四個(gè)角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；平行四邊形的對角線互相平分正確，故C選項(xiàng)正確；矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
分析：根據(jù)對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．
3．下列命題中是假命題的是（　?。?br /> A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B．一組對邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．一組鄰邊相等的矩形是正方形
答案：B
解答：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故A正確；一組對邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，故B錯(cuò)誤；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C正確；一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D正確．
分析：本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細(xì)心．
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（　?。?br /> ①當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形；③當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形．
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
答案：A
解答：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形，故①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2＋AO2，AD2＝DO2＋AO2，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，故②正確；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可知③正確；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是矩形，不是正方形，故④錯(cuò)誤；故不正確的有1個(gè)，故選A．

分析：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷①正確；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷②正確；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可判斷③正確；根據(jù)
對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出④錯(cuò)誤．
5．四邊形ABCD的對角線AC＝BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（　?。?br /> A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四邊形
答案：A
解答：如圖所示：∵分別過A、B、C、D作對角線的平行線，∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，∵對角線AC＝BD，AC⊥BD，∴∠NAO＝∠AOD＝∠N＝90°，EN＝NM＝FM＝EF，∴四邊形EFMN是正方形．

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得出∠NAO＝∠AOD＝∠N＝90°，EN＝NM＝FM＝EF，進(jìn)而判斷即可．
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明（　?。?br /> A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
答案：B
解答：根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形即A與題意不符；根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形即B與題意相符；一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形即C與題意不符；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形ABCD是正方形即D與題意不符；故選B．
分析：根據(jù)正方形的判定對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而得到最后的答案．
7．下列命題中，真命題是（　?。?br /> A．對角線相等的四邊形是矩形
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
答案：C
解答：兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故C選項(xiàng)正確；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以選C．
分析：本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定，解答此題時(shí)，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系．
8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（　?。?br />
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
答案：D
解答：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形；當(dāng)BC＝AC時(shí)，∵∠ACB＝90°，則∠A＝45，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)CF⊥BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)BD＝DF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)AC＝BF時(shí)，無法得出菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)D符合題意．
分析：根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE＝EC，BF＝FC進(jìn)而得出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進(jìn)而分別分析得出即可．
9．下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．有一個(gè)角為直角的菱形是正方形
B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形
C．對角線相等的菱形是正方形
D．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
答案：D
解答：有一個(gè)角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，則該菱形是正方形，故A選項(xiàng)說法正確；有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，則該矩形為正方形，故本B項(xiàng)說法正確；對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為正方形，故C選項(xiàng)說法正確；對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤．
分析：正方形集矩形、菱形的性質(zhì)于一身，是特殊的平行四邊形．
10．在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H，這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．無窮多個(gè)
答案：D
解答：無窮多個(gè)．如圖正方形ABCD：AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，則EH＝HG＝GF＝FE，另外，很容易得四個(gè)角均為90°，則四邊形EHGF為正方形．

分析：在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、F、G、H，若能證明四邊形EFGH為正方形，則說明可以得到無窮個(gè)正方形．
11．如圖，四邊形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四邊形ABCD面積為16，則DE的長為（　?。?br />
A．3 B．2 C．4 D．8
答案：C
解答：過點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長線于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠CDF＋∠EDC＝90°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四邊形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．

分析：本題運(yùn)用割補(bǔ)法，或者旋轉(zhuǎn)法將四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為正方形，根據(jù)面積保持不變，求出正方形的邊長．
12．△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為（　?。?br /> A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm
C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
答案：A
解答：連接OA，OB，OC，則△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF，又∵∠C＝90°，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)∴四邊形OECD是正方形，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為CD長，∴AB＝8－CD＋6－CD＝－2CD＋14，又根據(jù)勾股定理可得：AB＝10，即－2CD＋14＝10，∴CD＝2，即點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為2cm．

分析：本題主要考查垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩段的距離相等的性質(zhì)與邊的和差關(guān)系．
13．如圖，在一個(gè)大正方形內(nèi)，放入三個(gè)面積相等的小正方形紙片，這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，且未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，則大正方形的面積是（單位：平方厘米）（　?。?br />
A．40 B．25 C．26 D．36
答案：B
解答：設(shè)小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為b，由這三張紙片蓋住的總面積是24平方厘米，可得ab＋a（b－a）＝24①，由未蓋住的面積比小正方形面積的四分之一還少3平方厘米，可得（b－a）2＝a2－3②，將①②聯(lián)立解方程組可得：a＝4，b＝5，∴大正方形的邊長為5，∴面積是25．
分析：設(shè)小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為b，由正方形的面積公式，根據(jù)題意列出方程組解方程組得出大正方形的邊長，則可求出面積．
14．如圖，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，以AD為邊向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，連接OE，DE＝6，OE＝，則另一直角邊AE的長為（）

A． B．2 C．8 D．10
答案：D
解答：過點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點(diǎn)N，∵∠AED＝90°，∴四邊形EMON是矩形，∵正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝90°，OA＝OD，∴∠AOD＋∠AED＝180°，∴點(diǎn)A，O，D，E共圓，∴∠AEO＝∠DEO＝∠AED＝45°，∴OM＝ON，∴四邊形EMON是正方形，∴EM＝EN＝ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE＝，∴EN＝8，∴EM＝EN＝8，在Rt△AOM和Rt△DON中，∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），∴AM＝DN＝EN－ED＝8－6＝2，∴AE＝AM＋EM＝2＋8＝10．

分析：首先過點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)M，作ON⊥DE，交ED的延長線于點(diǎn)N，易得四邊形EMON是正方形，點(diǎn)A，O，D，E共圓，則可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的長，繼而證得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM＝DN，繼而求得答案．
15．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是（）

A． B．2 C． D．18
答案：A
解答：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長線于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四邊形DPBE是矩形，∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四邊形ABCD的面積等于四邊形DPBE的面積均為18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝．

分析：過點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ADP＝∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可．
二、填空題
16．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是　?。ㄌ钜粋€(gè)符合題目要求的條件即可）．
答案：AC＝BD且AC⊥BD
解答：可添加對角線相等且對角線垂直或?qū)蔷€相等，且一組鄰邊相等；或?qū)蔷€垂直，有一個(gè)內(nèi)角是90°，答案不唯一，此處填：AC＝BD且AC⊥BD．
分析：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結(jié)合體是正方形．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個(gè)符合要求的條件）

答案：AC＝BC
解答：設(shè)AC＝BC，即△ABC為等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝AC＝CE，DE＝BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四邊形DECF是正方形．
分析：由已知可得四邊形的四個(gè)角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件．此題可從四邊形DECF是正方形推出．
18．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，請你添加一個(gè)條件：　　　　　　，使得該菱形為正方形．

答案：AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
解答：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根據(jù)有一個(gè)角直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC．
分析：根據(jù)正方形判定定理進(jìn)行分析．
19．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是．

答案：AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
解答：∵在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD是菱形，∴要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是：AC＝BD或AB⊥BC．
分析：根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
20．已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一個(gè)條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是　　．
答案：AB＝AD或AC⊥BD（答案不唯一）
解答：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四邊形ABCD是矩形，根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形，得到應(yīng)該添加的條件為：AB＝AD或AC⊥BD等．
分析：由已知可得四邊形ABCD是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形添加條件．
三、解答題
21．已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．求證：四邊形DEBF是正方形．

答案：
解答：證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形BEDF為矩形，∵BD是∠ABC的平分線，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF為正方形．
分析：要注意判定一個(gè)四邊形是正方形，必須先證明這個(gè)四邊形為矩形或菱形．
22．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB＝∠CDB；
答案：
解答：證明：∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB．
（2）若∠ADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形．
答案：
解答：證明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∴PM＝MD，∴四邊形MPND是正方形．
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE＝AD；
答案：
解答：證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB=＝∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD．
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
答案：四邊形BECD是菱形
解答：解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形．
（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．
答案：當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．
解答：解：當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D為BA中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四邊形BECD是菱形，∴四邊形BECD是正方形，即當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．
分析：（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD＝BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB＝90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．
24．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE．

（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
答案：
解答：證明：∵△CFE是由△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到，∴點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，且AE＝CE，DE＝FE，故四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．
答案：當(dāng)∠ACB＝90°，AC＝BC時(shí)，四邊形ADCF是正方形
解答：解：當(dāng)∠ACB＝90°，AC＝BC時(shí)，四邊形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°，而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，∴四邊形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝AD，故四邊形ADCF是正方形．
分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，且AE＝CD，DE＝FE，即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC＝90°，由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四邊形ADCF是矩形．進(jìn)而求出CD＝AD即可得出答案．
25．如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)，連接MN，交AB于點(diǎn)D、C是直線MN上任意一點(diǎn)，連接CA、CB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△AED≌△BFD；
答案：
解答：證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，∵C是直線MN上任意一點(diǎn)，MN交AB于點(diǎn)D，∴CA＝CB，AD＝BD，∴∠A＝∠B，在△AED與△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS）．
（2）若AB＝2，當(dāng)CD的值為多少時(shí)，四邊形DECF是正方形？
答案：CD的值為1
解答：解：若AB＝2，當(dāng)CD的值為1時(shí)，四邊形DECF是正方形．理由如下：∵AB＝2，∴AD＝BD＝AB＝1．∵CD＝AD＝BD＝1，MN⊥AB，∴△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ECF＝∠ACD＋∠BCD＝90°，∵∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∠CDE＝90°－45°＝45°，∴∠ECD＝∠CDE＝45°，∴ED＝CE，∴矩形DECF是正方形．
分析：（1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CA＝CB，AD＝BD，由等邊對等角得到∠A＝∠B，然后利用AAS即可證明△AED≌△BFD；
（2）若AB＝2，當(dāng)CD的值為1時(shí)，四邊形DECF是正方形．先由CD＝AD＝BD＝1，MN⊥AB，得出△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，則∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ECF＝90°，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED＝CE，從而得出矩形DECF是正方形．

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初中數(shù)學(xué)華師大版八年級下冊電子課本 舊教材

19.3 正方形

版本： 華師大版

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