19.3 正方形【知識與技能】1.掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定，并會用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計算．2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別.【過程與方法】經(jīng)歷探索正方形有關(guān)性質(zhì)、判定重要條件的過程.在觀察中尋求新知，在探索中發(fā)展推理能力，逐步掌握說理的基本方法.【情感態(tài)度】通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的教學(xué)對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，提高學(xué)生的邏輯思維能力．【教學(xué)重點】正方形的判定方法.【教學(xué)難點】正方形的判定方法.一、情境導(dǎo)入,初步認(rèn)識1.在我們的生活中，除了平行四邊形、矩形、菱形外，還有什么特殊的平行四邊形呢？2.出示正方形圖片，學(xué)生觀察它們有什么共同特征？【教學(xué)說明】學(xué)生回答后，再舉例.使學(xué)生感受生活中到處存在數(shù)學(xué)，激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情.【歸納結(jié)論】有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.二、思考探究，獲取新知1.正方形是我們熟悉的圖形，它是軸對稱圖形嗎？是中心對稱圖形嗎？2.正方形有哪些性質(zhì)？正方形可以看成哪些圖形？【歸納結(jié)論】正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等且互相垂直平分.正方形可以看成是：有一個角是直角的菱形；有一組鄰邊相等的矩形.3.議一議：平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個圖直觀地說明嗎？【教學(xué)說明】小組交流，引導(dǎo)學(xué)生從角、對角線的角度歸納總結(jié).使學(xué)生感受變化過程，更清晰地了解各種四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別.三、運用新知，深化理解1.如圖，△ABC是一個等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方形的對角線交點；那么，由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中相互全等的三角形的對數(shù)為（  ）A.12              B.13C.26              D.30分析：根據(jù)全等三角形的判定可以確定全等三角形的對數(shù)，由于圖中全等三角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏．解：設(shè)AB=3，圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為1的有5個，它們組成10對全等三角形；斜邊長為的有6個，它們組成15對全等三角形；斜邊長為2的有2個，它們組成1對全等三角形；共計26對．故選C．2.已知正方形ABCD在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點A（0，1），點B（0，0），則點C，D坐標(biāo)分別為________和________．（只寫一組）分析：首先根據(jù)正方形ABCD的點A（0，1），點B（0，0），在坐標(biāo)系內(nèi)找出這兩點，根據(jù)正方形各邊相等，從而可以確定C，D的坐標(biāo)．解：∵正方形ABCD的點A（0，1），點B（0，0），∴AD∥x軸，CD∥y軸，這樣畫出正方形，即可得出C與D的坐標(biāo)，分別為：C（1，0），D（1，1）．或C(-1,0),D(-1,1).(寫其中一組即可)3.如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG⊥EF，垂足為G，且AG=AB，求∠EAF度數(shù).分析：根據(jù)角平分線的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再證明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°解：在Rt△ABF與Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=∠DAG+∠BAG=∠DAB=45°，故∠EAF=45°.4.如圖，正方形ABCD中，AB=3，點E、F分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求證：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度數(shù)；分析：（1）延長EB至G，使BG=DF，連接AG．利用正方形的性質(zhì)，證明△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根據(jù)△AGE≌△AFE及角之間的關(guān)系從而求得∠EFC的度數(shù)；解：（1）延長EB至G，使BG=DF，連結(jié)AG∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=75°，∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=305.已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F.且BF=CE.（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論．分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，從而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方形．（1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠B=∠C．故△ABC是等腰三角形；（2）解：四邊形AFDE是正方形．證明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四邊形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四邊形AFDE是正方形．6.如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．分析：（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由題意易得AO=OC.又∵△AEC是等邊三角形.∴BE⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四邊形ABCD是正方形．證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO．∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC（三線合一）∴四邊形ABCD是菱形．（2）從上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AED+∠EAO=90°∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AED=30°∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°∵四邊形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠DAO=90°∴平行四邊形ABCD是正方形．【教學(xué)說明】由學(xué)生獨立完成以培養(yǎng)學(xué)生的獨立意識.四、師生互動，課堂小結(jié)1.師生共同回顧正方形有哪些性質(zhì)？2.師生共同回顧正方形有哪些判定定理？3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑？請與同伴交流.1.布置作業(yè):教材“習(xí)題19.3”中第1、2、3題.2.完成本課時對應(yīng)練習(xí).本課雖然是學(xué)習(xí)正方形的性質(zhì)和判定，實際上也是對平行四邊形、矩形、菱形的復(fù)習(xí)、歸納和總結(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.前邊已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四邊形、矩形、菱形的判定的綜合.可以通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，總結(jié)、歸納前面所學(xué)內(nèi)容，弄清學(xué)習(xí)中存在的一些模糊概念，有助于我們發(fā)展演繹推理能力.

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初中數(shù)學(xué)華東師大版（2024）八年級下冊電子課本 舊教材

19.3 正方形

版本： 華東師大版（2024）

年級： 八年級下冊

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