能進(jìn)一步理解掌握正方形的判定定理．
2．進(jìn)一步體會證明的必要性以及計(jì)算與證明在解決問題中的作用．
【教學(xué)重難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn) 特殊四邊形—— 正方形的判定定理的靈活應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)
特殊四邊形—— 正方形的判定定理的靈活應(yīng)用．
【導(dǎo)學(xué)過程】
【創(chuàng)設(shè)情景，引入新課】
回顧正方形有哪些性質(zhì)
【自主探究】
自學(xué)，明確正方形的性質(zhì)定理和判定定理的靈活應(yīng)用 ．
解決問題：
下面大家來猜一猜，想一想
依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)可以得到一個(gè)平行四邊形．那么，依次連接正方形各邊的中點(diǎn)．(如圖)能得到—個(gè)怎樣的圖形呢?先猜一猜，再證明．
依次連結(jié)正方形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是正方形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°，
AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．
∴∠D1A1B1＝90°．
∴四邊形A1B1C1D1是正方形．
這個(gè)題是先證明了四邊形A1B1C1D1的四條邊相等，即是菱形，然后又證明了這個(gè)四邊形的一個(gè)角是直角，即有一個(gè)角為直角的菱形是正方形，從而得證四邊形A1B1C1D1是正方形．
【課堂探究】
已知:如圖,點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AF= BG= CH= DE。
求證：四邊形EFGH是正方形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵AF= BG= CH= DE ，
∴AE＝DH＝CG＝BF ．
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE．
∴EF＝FG＝GH=HE ，∠AEF=∠BFG．
∵∠AFE+ ∠AEF ＝90°，
∴∠AFE+∠BFG = 90°．
∴∠EFG＝90°．
∴四邊形EFGH是正方形．
接下來我們來做一做：在下圖中，ABCDXA表示一條環(huán)形高速公路，X表示一座水庫，B、C表示兩個(gè)大市鎮(zhèn)．已知ABCD是一個(gè)正方形，XAD是一個(gè)等邊三角形，假設(shè)政府要鋪沒兩條輸水管XB和XC，從水庫向B、C兩個(gè)市鎮(zhèn)供水，那么這兩條水管的夾角(即∠BXC)是多少度?
可以利用等邊三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)去解決．
解：∵△XAD是等邊三角形，
∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，
XA=AD=XD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°，
XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．
∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
【當(dāng)堂訓(xùn)練】
如圖1、圖2、圖3，已知直線EF⊥MN，且與正方形ABCD的對邊或其延長線分別交于E、F、M、N．
求證：EF＝MN，
圖3
證明：只給出圖2情況下的證明，圖1、圖3情況下的證明同理．
過A作MN的平行線，交BC于點(diǎn)P，過B作EF的平行線，交CD于點(diǎn)Q．由平行四邊形的性質(zhì)，得AP＝MN，BQ＝EF．[
∵M(jìn)N//AP，EF//BQ，MN⊥EF，
∴AP⊥BQ．
∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°．
∴∠QDC=∠BAP．
又∵AB=BC，
∴Rt△APB≌Rt△BFC．
∴AP＝BQ，即MN＝EF．
這是正方形的一個(gè)重要的性質(zhì)定理．

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初中數(shù)學(xué)華師大版八年級下冊電子課本 舊教材

19.3 正方形

版本： 華師大版

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