1．矩形具有而菱形不具有的性質是( )
A．兩組對邊分別平行 B．對角線相等
C．對角線互相平分 D．兩組對角分別相等
2．如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，若∠AOD＝120°，AC＝4，則CD的長為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \r(3) C．2 D．3
(第2題)
3．如圖，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，把矩形OABC放在數(shù)軸上，O在原點，OA在正半軸上，把矩形的對角線OB繞著原點O順時針旋轉到數(shù)軸上，點B的對應點為B′，則點B′表示的實數(shù)是( )
A．2 B．1 C.eq \r(5) D．－eq \r(5)
(第3題) (第4題)
4．如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AB，BC于點E，F(xiàn).若AE＝4，CF＝3，則EF的長為( )
A．7 B．5 C．4 D．3
5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點F處，則DE的長是( )
A．3 B.eq \f(24,5) C．5 D.eq \f(89,16)
(第5題)
6．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連結BO.若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為( )
(第6題)
A．28° B．52° C．62° D．72°
7．在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
8．如圖，在正方形ABCD中，以對角線AC為一邊作菱形AEFC，連結AF，則∠FAB的度數(shù)等于( )
A．22.5° B．45° C．30° D．15°
(第8題)
9．如圖，已知等邊三角形ABC與正方形DEFG，其中D，E兩點分別在AB，BC上，且BD＝BE.若AB＝10，DE＝4，則△EFC的面積為( )
A．7.5 B．8 C．6 D．10
(第9題) (第10題)
10．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B在反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)(k>0，x>0)的圖象上，且兩點的橫坐標分別為1，4，對角線BD∥x軸．若菱形ABCD的面積為eq \f(45,2)，則k的值為( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(15,4) C．4 D．5
二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分)
11．如圖，在平面直角坐標系中，?MNEF的兩條對角線ME，NF交于原點O，點F的坐標是(3，2)，則點N的坐標是________．
(第11題)
12．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，若AB＝6，OC＝5，則AE＝________．
(第12題) (第13題)
13．如圖，在矩形ABCD中，AE＝AF，連結EF，過點E作EH⊥EF交DC于點H，過點F作FG⊥EF交BC于點G，連結GH，當AB，AD滿足________(填數(shù)量關系)時，四邊形EFGH為矩形．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分別以AB，AC，BC為邊在AB的同側作正方形ABEF、正方形ACPQ、正方形BDMC，四塊陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝________．
(第14題) (第15題)
15．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD的交點為O，AC＝6，CD＝5.若點E在BC上，且AE⊥BC，則AE的長為______．
16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊DC上運動(不含端點)，以AE為腰作等腰直角三角形AEF，連結DF.
(第16題)
下面有三個說法：
①當DE＝1時，AF＝eq \r(34)；
②當DE＝2時，點B，D，F(xiàn)共線；
③當DE＝eq \f(5,2)時，△ADF與△EDF面積相等．
所有正確說法的序號是__________．
三、解答題(本題共7小題，共70分)
17．(8分)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，點F在邊BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求證：BF＝CD.
(第17題)
18.(8分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足為M，AN⊥DC，垂足為N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求證：四邊形ABCD是菱形．
(第18題)
19．(8分)如圖，O是線段AB上的一點，OA＝OC，OD平分∠AOC，交AC于點D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點F.
(1)求證：四邊形CDOF是矩形；
(2)當∠AOC＝90°時，四邊形CDOF是正方形嗎？請說明理由．
(第19題)
20．(10分)如圖，已知正方形ABCD，點E在邊CD上．
(1)尺規(guī)作圖：在邊BC上找點F，使得∠AED＝∠AEF(不寫作法，保留作圖痕跡)；
(2)探究DE，EF，BF的數(shù)量關系，并說明理由．
(第20題)
21．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm.點P從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3 cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．當經過多少秒時，分別得到PQ∥CD和PQ＝CD?
(第21題)
22．(12分)圖①是某重型卡車，圖②是一個木箱從重型卡車上卸下時的平面示意圖．已知重型卡車車身的高度AC為4 m，卸貨時會利用到輔助擋板BA，此時BA落在BA′處(即BA′＝BA)，AC⊥A′C，經過測量得A′C＝2 m，ED＝5 m，四邊形DEFG為矩形，當木箱底部頂點G與點A′重合時(A′C為水平線，AM，BN，A′C互相平行)．
(1)求BA的長；
(2)求圖中木箱上點F到直線A′C的距離．
(第22題)
23．(14分)已知在矩形ABCD中，BC＝12，AB＝10，四邊形EFGH的三個頂點E，F(xiàn)，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，DA上，AE＝2.
(1)如圖①，當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；
(2)如圖②，當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積(用含a的代數(shù)式表示)；
(3)在(2)的條件下，當△GFC的面積等于6時，求EF的長．
(第23題)
答案
一、1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.C 8.A
9．C 思路點睛：作DM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N，證明△DME≌△ENF，結合等邊三角形的判定與性質得到ME＝NF＝2，根據(jù)面積公式S△EFC＝eq \f(1,2)×EC×FN計算即可．
10．D
二、11.(－3，－2) 12.4.8 13.AB＝AD 14.18
15.eq \f(24,5) 思路點睛：根據(jù)菱形的性質以及勾股定理，可求得OD＝4，進而可知BD＝2OD＝8，由菱形的面積公式可知S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝24，由AE⊥BC，可得S菱形ABCD＝BC·AE＝24，求解即可得到答案．
16．①②
三、17.證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°.∴∠EFB＋∠BEF＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.
∴∠EFB＋∠CFD＝90°.
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BEF＝∠CFD，,BE＝CF，,∠B＝∠C，))
∴△BEF≌△CFD.∴BF＝CD.
18．證明：∵AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠B＋∠BCD＝180°.∴AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴∠B＝∠D.
∵AM⊥BC，AN⊥DC，
∴∠AMB＝∠AND＝90°.
在△AMB和△AND中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠D，,∠AMB＝∠AND，,AM＝AN，))
∴△AMB≌△AND.∴AB＝AD.
∴四邊形ABCD是菱形．
19．(1)證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF.
∵∠AOC＋∠COB＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°.
∴∠COD＋∠COF＝90°，即∠DOF＝90°.
∵OA＝OC，OD平分∠AOC，
∴OD⊥AC，即∠CDO＝90°.
∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，
∴四邊形CDOF是矩形．
(2)解：當∠AOC＝90°時，四邊形CDOF是正方形．理由如下：∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝∠A＝45°，∠COD＝eq \f(1,2)∠AOC＝45°.
∴∠ACO＝∠COD.∴CD＝OD.
又∵四邊形CDOF是矩形，
∴四邊形CDOF是正方形．
20．解：(1)如圖．
(2)EF＝DE＋BF.理由：如圖，
(第20題)
連結AF，過點A作AQ⊥EF于點Q，則∠AQE＝90°.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AB＝AD.
∴∠AQE＝∠D.
∵AE＝AE，∠AED＝∠AEF，
∴△ADE≌△AQE.
∴QE＝DE，AD＝AQ.∴AQ＝AB.
在Rt△AQF和Rt△ABF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF＝AF，,AQ＝AB，))
∴Rt△AQF≌Rt△ABF.∴BF＝QF.
∵EF＝QE＋QF，∴EF＝DE＋BF.
21．解：設經過t s(0≤t≤eq \f(26,3))．
①若PQ∥CD，則四邊形PQCD為平行四邊形．
∴PD＝QC，PQ＝CD，∴24－t＝3t，解得t＝6.
∴經過6 s，PQ∥CD，PQ＝CD.
②若PQ＝CD，如圖所示，則四邊形PQCD是梯形，
分別過點P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn)，則易得CF＝EQ，AD＝BF＝24 cm，PD＝EF.
(第21題)
∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.
∵PD＋2CF＝CQ，
∴(24－t)＋4＝3t，解得t＝7.∴經過7 s，PQ＝CD.
綜上所述，經過6 s，PQ∥CD；經過6 s或7 s，PQ＝CD.
22．解：(1)∵AC⊥A′C，∴∠BCA′＝90°.
在Rt△BCA′中，設BA′＝BA＝x m，
則BC＝AC－AB＝(4－x)m，
∴BC2＋A′C2＝BA′2，即(4－x)2＋22＝x2，
解得x＝eq \f(5,2)，即BA的長為eq \f(5,2).
(2)如圖，過點F作FQ⊥A′C于點Q，交NB于點H，易得∠FHB＝90°，F(xiàn)Q∥AC，∴∠BFH＝∠GBC.
(第22題)
∵四邊形DEFG為矩形，ED＝5 m，∴FG＝ED＝5 m，
∴FB＝FG－BG＝5－eq \f(5,2)＝eq \f(5,2)(m)，∴FB＝BG.
∵∠FHB＝∠BCG＝90°，∠BFH＝∠GBC，
∴△FHB≌△BCG，∴FH＝BC.
由題意得HQ＝BC，∴FH＝HQ＝BC.
∵BA＝eq \f(5,2) m，AC＝4 m，∴BC＝4－eq \f(5,2)＝eq \f(3,2)(m)，
∴F到直線A′C的距離為eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3(m)．
23．解：(1)如圖①，過點G作GM⊥BC于點M，

(第23題)
在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°.
在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，
∴∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，
∴△AHE≌△BEF，∴BF＝AE＝2.
∴FC＝BC－BF＝12－2＝10.
同上可證△MFG≌△BEF.∴GM＝BF＝2.
∴S△GFC＝eq \f(1,2)FC·GM＝eq \f(1,2)×10×2＝10.
(2)如圖②，過點G作GN⊥BC交BC的延長線于點N，連結HF.在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AHF＝∠NFH.
在菱形EFGH中，EH＝FG，EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH，∴∠AHE＝∠NFG.
又∵∠A＝∠GNF＝90°，EH＝GF，
∴△AHE≌△NFG，∴GN＝AE＝2.
∵FC＝BC－BF＝12－a，
∴S△GFC＝eq \f(1,2)FC·GN＝eq \f(1,2)(12－a)×2＝12－a.
(3)當S△GFC＝6時，12－a＝6，∴a＝6.
在△BEF中，EF＝eq \r(BE2＋BF2)＝eq \r(（10－2）2＋62)＝10.

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