?1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
第2課時 空間向量與垂直關(guān)系
基 礎(chǔ) 練
鞏固新知 夯實基礎(chǔ)
1.已知平面α的法向量n＝(1，2，－2)，平面β的法向量m＝(－2，3，k)，若α⊥β，則k的值為(　　)
A．2 B．4 C．1 D．
2.若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，則λ的值是(　　)
A．0 B．1 C．－2 D．2
3.(多選)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是(　　)
A．平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)
B．平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)
C．平面B1CD1的一個法向量為(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一個法向量為(0,1,1)
4.（多選）在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，則以下等式中一定成立的是(　　)
A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥
5.已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則_____,___．
6.下列命題中：
①若u，v分別是平面α，β的法向量且α⊥β?u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a與α共面，則u·a＝0；
③若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．
正確命題的序號是________．
7.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.



8.在四面體A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點．判斷平面BEF與平面ABC是否垂直．

能 力 練
綜合應(yīng)用 核心素養(yǎng)
9.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，則下列等式中可能不成立的是(　　)
A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥
10.已知直線l1的方向向量a＝(2,4，x)，直線l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1
11.已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設(shè)D在直線AB上，且＝2，設(shè)C，若CD⊥AB，則λ的值為(　　)
A． B．－ C． D．
12.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，則(　　)
A．EF至多與A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF與BD1相交
D．EF與BD1異面
13.（多選）已知點A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，點D滿足條件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，則點D的坐標(biāo)可以為(　　)
A．(1，1，1) B．(－1，－1，－1) C． D．
14.(多選)已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．對于下列結(jié)論正確的有(　　)
A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的法向量 D．∥
15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝a，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是________．
16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．
(1)求證：EF⊥CD.
(2)已知點G在平面PAD內(nèi)，且GF⊥平面PCB，試確定點G的位置．



【參考答案】
1.A 解析：由題意，得m·n＝0，所以－2＋6－2k＝0，得k＝2.
2.C 解析　λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)．∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
3.AC解析 ∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正確；∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正確；C中易證AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正確，D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正確．
4.ABC 解析 由題意知⊥平面ABCD，所以與平面上的線AB，CD都垂直，A，B正確；
又因為菱形的對角線互相垂直，可推得對角線BD⊥平面PAC，故⊥，C選項正確．
只有D選項不一定成立．
5.-6 -10 解析：，∴，且，，，解得，.
故答案為：①；②.
6.①②③ 解析　兩平面垂直則它們的法向量垂直，反之亦然．
7.證明　如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四邊形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，
∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1)．∴＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1)．
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.∴⊥，⊥.
∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
8.解：

建立如圖所示坐標(biāo)系Bxyz，取A(0,0，a)，則易得
B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F(xiàn)，
則有＝，
＝(0,0，a)、＝．
∵·＝0，·＝0，
∴EF⊥AB，EF⊥BC．
又∵AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC．
又∵EF?平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF．
9. D 解析 由題意知PA⊥平面ABCD，所以PA與平面上的線AB、CD都垂直，A，B正確；
又因為菱形的對角線互相垂直，可推得對角線BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C正確．
10.A 解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴當(dāng)x＝4時，y＝－3，當(dāng)x＝－4時，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
11.B 解析 設(shè)D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴∴D，＝，
∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－.]
12.B解析　建立以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系(圖略)，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F(xiàn)，＝，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.
13.AD 解析 設(shè)D(x，y，z)，則＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1).又DB⊥AC?－x＋z＝0　①，DC⊥AB?－x＋y＝0?、?，
AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2?、?，聯(lián)立①②③得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－，
所以點D的坐標(biāo)為(1，1，1)或.
14.ABC解析　由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正確，又＝－＝(2,3,4)．∵＝(－1,2，－1)，不滿足＝λ，∴D不正確，故選ABC.
15.平行 解析　＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋
＝＋.∴與，共面．又∵MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
16.解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，
設(shè)AD＝a，則D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F(xiàn)，∴＝，＝(0，a，0)，
∴·＝·(0，a，0)＝0，
∴EF⊥CD.
(2)∵G∈平面PAD，設(shè)G(x，0，z)，
∴＝.
由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．
∵GF⊥平面PCB，
∴·＝·(a，0，0)＝a＝0，
·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
∴x＝，z＝0.
∴點G的坐標(biāo)為，即點G為AD的中點．

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1.4 空間向量的應(yīng)用

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