高中數(shù)學1.4 空間向量的應用優(yōu)秀第1課時課時練習-試卷下載-教習網

?1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系
第1課時空間向量與平行關系
基礎練
鞏固新知夯實基礎
1.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
2.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(　　)
A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1)
3.已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.
4.已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為(　　)
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
5.已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是(　　)
A．(1，－1,1) B． C． D．
6.已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．
7.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，點P(x，－1，3)在平面ABC內，求x的值？

8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角.求證：CM∥平面PAD.

能力練
綜合應用核心素養(yǎng)
9.在三棱錐P－ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如圖，建立空間直角坐標系，則下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　)
A． (1,1，) B．(1，，1)
C. (1,1,1) D．(2，－2,1)
10.若平面α，β的一個法向量分別為m＝，n＝，則(　　)
A．α∥β B．α與β相交但不垂直
C．α∥β或α與β重合 D. α⊥β
11. (多選)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC中點，若平行六面體的各棱長均相等，則下列說法中正確的是(　　)
A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
12.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定
13.若直線l的方向向量為a＝(1，－2,3)，平面α的法向量為n＝(2，x,0)，若l∥α，則x的值等于________．
14.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則點M的坐標為 (　　)
A.(1,1,1) B.23,23,1
C.22,22,1 D.24,24,1
15.四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
求證：PC∥平面BAQ.

16.如圖，在三棱柱中，平面，，.

（1）求證：平面；
（2）點M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？

【參考答案】
1.D解析若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D選項中a·n＝－3＋3＝0.故選D.
2.A 解析：由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故選項A中的向量與AB共線,故選A.
3.B 解析　∵α∥β，∴α的法向量與β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6.
4. C 解析　顯然a與b不平行，設平面α的法向量為n＝(x，y，z)，則∴
分別驗證各選項可知，只有C項符合．
5.B解析　對于B，＝，則n·＝(3,1,2)·＝0，∴n⊥，則點P在平面α內．
6.或解析設平面ABC的單位法向量是n＝(x，y，z)，
則解得或所以平面ABC的單位法向量是或.
7. 解　∵點P在平面ABC內，∴存在實數(shù)k1，k2，使＝k1＋k2，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，∴解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8.證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

因為PC⊥平面ABCD，
所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，
所以∠PBC＝30°.
因為PC＝2，所以BC＝2，PB＝4，
所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
所以＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.
設＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，
由得
取y＝2，得x＝－，z＝1，所以＝(－，2,1)是平面PAD的一個法向量.
因為，
所以，又平面PAD，
所以CM∥平面PAD.
9.A 解析?。?1,0，－2)，＝(－1,1,0)，設平面PAB的一個法向量為n＝(x，y,1)，
則解得∴n＝(2,2,1)．又(1,1，)＝n，∴A正確．
10.C 因為n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α與β重合．
11.ACD 解析　連接PM(圖略)，因為M、P分別為AB、CD的中點，故PM平行且等于AD.由題意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1為平行四邊形，故A正確．顯然A1M與B1Q為異面直線．故B錯誤．由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1內，又在平面D1PQB1內．且A1M既不在平面DCC1D1內，又不在平面D1PQB1內．故CD正確．
12.B解析　分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

∵A1M＝AN＝a，＝，＝，∴M，N，∴＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.∵是平面BB1C1C的法向量，且MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
13.1 解析　由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.
14.C 解析：連接OE.設點M的坐標為(x,y,1),因為AC∩BD=O,所以O22,22,0,
又E(0,0,1),A(2,2,0),所以OE=-22,-22,1,AM=(x-2,y-2,1),
因為AM∥平面BDE,所以OE∥AM,所以x-2=-22,y-2=-22?x=22,y=22,所以M點的坐標為22,22,1.
故選C.
15.證明如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長度，為x軸的正方向建立空間直角坐標系．
根據題意，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，
故有·＝0，·＝0，
所以為平面BAQ的一個法向量．
又因為＝(0，－2，1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC?平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.
16. 解：（1）在三棱柱中，平面ABC，，.
∴，，，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴平面.
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

，，，，
所以，，
設平面的法向量，則，
取，得，
點M在線段上，且，點N在線段上，設，，
設，則，，，
即，
解得，，
，
∵，
∴，解得.
∴在線段上存在一點N，滿足平面，且的值為.