?第4章　銳角三角函數(shù)
4.3　解直角三角形
教學(xué)目標(biāo)
1.會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)解直角三角形.
2.經(jīng)歷解直角三角形的過程，掌握運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法．
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：利用直角三角形邊角關(guān)系解直角三角形．
難點(diǎn)：會(huì)將求非直角三角形中的邊角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．
教學(xué)過程
知識(shí)回顧
30°，45°，60°角的三角函數(shù)值：
α
sin α
cos α
tan α
30°

[

45°


1
60°



導(dǎo)入新課
教師：你知道在直角三角形中，除直角外，由幾個(gè)元素組成嗎？
學(xué)生：5個(gè)元素：兩個(gè)銳角、兩條直角邊和一條斜邊．
教師：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B這些元素間有哪些等量關(guān)系呢？(從Rt△ABC的角角關(guān)系、三邊關(guān)系、邊角關(guān)系討論)
學(xué)生1：兩銳角互余：∠A＋∠B＝90°．
學(xué)生2：三邊滿足勾股定理：a2＋b2＝c2．

學(xué)生3：邊與角的關(guān)系：sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝．
利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)后，就可求出其余的元素．
設(shè)計(jì)意圖：這樣既可以使學(xué)生大概了解解直角三角形的概念，同時(shí)又陷入思考：為什么兩個(gè)已知元素中必有一個(gè)是邊呢？激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．
探究新知
一、 預(yù)習(xí)新知
做一做：在Rt△ABC中，如果已知其中兩邊的長(zhǎng)，你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？
多媒體展示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝，b＝，求這個(gè)三角形的其他元素．
思路一
填空：
教師：直角三角形中已知兩邊可以利用　　　　定理求出第三條邊．
學(xué)生：勾股.
教師：直角三角形中，已知兩邊可以利用　　　　求∠A(或∠B)的度數(shù)．
學(xué)生：銳角三角函數(shù).
教師：再利用　　　　求∠B(或∠A)的度數(shù)．
學(xué)生：兩銳角互余.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析，得出解直角三角形的方法，理清解題思路．
學(xué)生獨(dú)立思考，然后找學(xué)生代表展示成果．
【解】在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝，
∴c＝＝＝2.[
在Rt△ABC中，sin B＝＝＝，
∴ ∠B＝30°，∴ ∠A＝90°-∠B＝90°-30°＝60°．
思路二
分組探究，思考下面的問題：
1.由兩個(gè)已知條件a＝，b＝能不能求出其中的一個(gè)銳角？
2.如何再求出另外一個(gè)銳角的度數(shù)？
3.如何求出第三條邊的長(zhǎng)？
學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論，教師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，予以糾正，
最后教師多媒體展示解題過程．
教師小結(jié)：在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素(即3條邊、2個(gè)銳角)，只要知道其中的2個(gè)元素(至少有1個(gè)是邊)，就可以求出其余的3個(gè)未知元素.我們把在直角三角形中利用已知元素，求其余未知元素的過程叫作解直角三角形.
設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)直角三角形6個(gè)元素的分析及對(duì)猜測(cè)的探究活動(dòng)，自然而然地引出解直角三角形的概念，并讓學(xué)生及時(shí)總結(jié)解題方法，加深對(duì)概念的理解．
拓展：已知直角三角形兩條邊求其他元素的方法：
方法1：已知兩條邊的長(zhǎng)度，可以先利用勾股定理求出第三條邊，然后利用銳角三角函數(shù)求出其中一個(gè)銳角，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出另外一個(gè)銳角．
方法2：已知兩條邊的長(zhǎng)度，可以先利用銳角三角函數(shù)求出其中一個(gè)銳角，然后根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出另外一個(gè)銳角，再利用銳角三角函數(shù)求出第三條邊．
二、合作探究
教師提出問題：在Rt△ABC中，如果已知一邊和一個(gè)銳角，你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？
多媒體展示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b＝30，∠B＝25°，求這個(gè)三角形的其他元素(邊長(zhǎng)精確到1).
教師引導(dǎo)學(xué)生分析，在直角三角形中可以利用兩銳角互余求另外一個(gè)銳角，然后利用與銳角∠B和邊b有關(guān)的三角函數(shù)先求出其中一條邊a或c，再利用三角函數(shù)或勾股定理求出第三條邊c或a．
找學(xué)生到黑板上板演解題過程．
教師提出問題：此題還有其他解法嗎？
給學(xué)生留出足夠的時(shí)間，然后讓學(xué)生相互交流他們的解法．
設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的探究，學(xué)生逐步掌握解直角三角形所要具備的條件，并在探究的過程中及時(shí)總結(jié)歸納出解直角三角形的思路和方法．
拓展：已知直角三角形一條邊和一個(gè)銳角求其他元素的方法.
已知一個(gè)銳角，先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出另外一個(gè)銳角．知道一條邊的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求出另外兩條邊的長(zhǎng)；也可以先利用三角函數(shù)的定義求出其中一條邊的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)或勾股定理求出第三條邊的長(zhǎng)．
除了已知“兩邊”和“一邊一角”解直角三角形外，還有其他的情況解直角三角形嗎？
教師：在Rt△ABC中，如果已知兩個(gè)銳角，可以解直角三角形嗎？
要求學(xué)生先獨(dú)立判斷，再分組討論．
學(xué)生：只知道角度是無法求出直角三角形的邊長(zhǎng)的．
教師：只給出一條邊長(zhǎng)這一個(gè)條件，可以解直角三角形嗎？
學(xué)生：只給出一條邊長(zhǎng)，不能解直角三角形．
教師總結(jié)：
解直角三角形需要滿足的條件：在直角三角形的6個(gè)元素中，直角是已知元素，如果再知道一條邊和第三個(gè)元素，那么這個(gè)三角形的所有元素就都可以確定下來．
解直角三角形必須滿足的一個(gè)條件是已知“一條邊”．
典型例題
例1　如圖，在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，cos A＝，BC＝5，試求AB的長(zhǎng).

【解】∵ ∠C＝90°,cos A＝，∴
設(shè)AB＝x，則AC＝.
又AB2＝AC2+BC2，∴ x2＝，
解得(舍去).
∴ AB的長(zhǎng)為 .

例2　一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，試求CD的長(zhǎng)．

【問題探索】如圖，過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，求出BM與CM的長(zhǎng)度，然后在Rt△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
【解】如圖，過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M.
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 ，
∴BC＝AC＝12 ．
∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCM＝45°，BM＝CM.
在Rt△BCM中，BM＝BC·sin 45°＝12 ×＝12，
∴ BM＝12．
在Rt△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，
∴MD＝＝4 ，∴CD＝CM－MD＝12－4 ．
【總結(jié)】解決此類題目一般是根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到問題的答案．

課堂練習(xí)
1.如圖，小明為了測(cè)量其所在位置點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B之間的距離，沿著與AB垂直的方向走了m m，到達(dá)點(diǎn)C，測(cè)得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)

A.m·sin α m B.m·tan α m
C.m·cos α m D. m
2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，則AC等于(　　)
A.3sin 50° B.3sin 40°
C.3tan 50° D.3tan 40°
3.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2，則AC＝________.[
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝35，c＝，則∠A＝　　　　，b＝　　　　.
5.在Rt△ABC中，若sin A＝，AB＝10，那么BC＝　　　　, tan B＝　　　　.
6.在△ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解這個(gè)直角三角形．
7.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15，求△ABC的周長(zhǎng)和tan A的值.


參考答案
1.B 　
2.D
3.3
4.45°　35
5.8　
6.解：∵在△ABC中，∠C為直角，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．
∵cos B＝，
∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5．
∵sin B＝，
∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5．
7.解：∵ sin A＝，
∴
∴ △ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝15+12+9＝36，
tan A ＝
課堂小結(jié)
在解直角三角形時(shí)用到的關(guān)系式：
(1)三邊之間的關(guān)系 ：a2+b2＝c2(勾股定理).
(2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.
(3)邊角之間的關(guān)系：


解直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形(作某邊上的高是常用的輔助線).

布置作業(yè)
教材第123頁練習(xí)第1，2，3題.
板書設(shè)計(jì)
4.3　解直角三角形
1.我們把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過程叫作解直角三角形.
2.解直角三角形的兩種類型:
(1)已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)解直角三角形；
(2)已知直角三角形一邊和一個(gè)銳角解直角三角形．
教學(xué)反思




































教學(xué)反思









































教學(xué)反思









































教學(xué)反思









































教學(xué)反思





















教學(xué)反思







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4.3 解直角三角形

版本： 湘教版

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