8.2　一元線性回歸模型及其應用
思考：具有相關關系的兩個變量，其樣本點散布在某一條直線y＝bx＋a的附近，可以用一次函數(shù) y＝bx＋a來描述兩個變量之間的關系嗎？提示：不能．
(2)經(jīng)驗回歸方程的系數(shù)計算公式
(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析①殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以________ _______________________，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系；②殘差平方和法：殘差平方和_________越小，模型的擬合效果越好；
對稱軸的水平帶狀區(qū)域內
隨著網(wǎng)絡的普及，網(wǎng)上購物的方式已經(jīng)受到越來越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡店鋪商品的成交量x(單位：件)與店鋪的瀏覽量y(單位；次)之間的對應數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程；(3)當這種商品的成交量突破100件(含100 件)時，預測這家店鋪的瀏覽量至少為多少？[分析]　以橫軸表示成交量，縱軸表示瀏覽量，畫出散點圖，若散點圖顯示兩變量線性相關，則依據(jù)公式求解經(jīng)驗回歸方程，再利用經(jīng)驗回歸方程進行估計．
[解析]　(1)散點圖如圖所示．
[規(guī)律方法]　經(jīng)驗回歸分析的步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設為(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出)；(2)作出散點圖，確定x，y具有線性相關關系．
【對點訓練】? (2022·山東臨沂高三一模)蟋蟀鳴叫的頻率y(每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫x(單位：℃)存在著較強的線性相關關系．某地研究人員根據(jù)當?shù)氐臍鉁睾腕傍Q叫的頻率得到了如下數(shù)據(jù)：
已知某種商品的價格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關系有如下一組數(shù)據(jù)：??求y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并借助殘差平方和及R2說明回歸模型擬合效果的好壞．
【對點訓練】? 某運動員訓練次數(shù)與訓練成績之間的數(shù)據(jù)關系如表：??(1)作出散點圖；(2)求出經(jīng)驗回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計算R2，并說明運動員的訓練次數(shù)對成績的影響占百分之幾．
[解析]　(1)作出該運動員訓練次數(shù)x與成績y的散點圖，如圖所示．由散點圖可知，它們之間具有相關關系．
(3)殘差分析：下面的表格列出了運動員訓練次數(shù)和成績的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù).
作殘差圖如圖所示．由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域內，說明選擇的模型比較合適．(4)計算R2≈0.985 5，說明了該運動的訓練次數(shù)對成績的影響占98.55%.
(2022·山東青島高三調研)某公交公司推出掃碼支付優(yōu)惠乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引了越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(一人次等于十人)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點圖．
(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中的數(shù)據(jù)，求y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測活動推出后第8天使用掃碼支付的人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：
[規(guī)律方法]　求非線性經(jīng)驗回歸方程的方法(1)非線性經(jīng)驗回歸方程的求解，一般可以根據(jù)散點圖選取合適的非線性回歸模型，或根據(jù)已知條件選取擬合程度較好的非線性回歸模型，再通過變換，轉化為求線性經(jīng)驗回歸方程，最后還原即可．
【對點訓練】? 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
生搬硬套求回歸直線方程的步驟致錯．在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點數(shù)值如下表：
試建立y與x之間的經(jīng)驗回歸方程．
[辨析]　此題解法是錯誤的，原因是這兩個變量之間不是線性相關關系．此類問題的解決，應先對兩個變量間的相關關系進行相關性檢驗，然后結合作出的散點圖，選擇適宜的回歸方程．[正解]　由數(shù)值表可作散點圖如圖所示：
由置換后的數(shù)值表作散點如圖所示：
由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關關系．列表如下：
1．關于回歸分析，下列說法錯誤的是(　　)A．回歸分析是研究兩個具有相關關系的變量的方法B．散點圖中，解釋變量在x軸，響應變量在y軸C．回歸模型中一定存在隨機誤差D．散點圖能明確反映變量間的關系[解析]　用散點圖反映兩個變量間的關系時，存在誤差．
2．關于殘差圖的描述錯誤的是(　　)A．殘差圖的橫坐標可以是樣本編號B．殘差圖的橫坐標也可以是解釋變量或預報變量C．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關指數(shù)越小D．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小[解析]　殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時，相關指數(shù)R2的值越大．
4．已知變量x，y之間具有線性相關關系，其散點圖如圖所示，則其經(jīng)驗回歸方程可能為(　　)

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8.2 一元線性回歸模型及其應用

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