人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.2 等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

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4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用.B.會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列前n項(xiàng)的應(yīng)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項(xiàng)的具體應(yīng)用  重點(diǎn)： 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 難點(diǎn)： 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用多媒體   教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    課前小測(cè)1．思考辨析(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．(　　)(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大．(　　)(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an.(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√2．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于(　　)A．9　　　　B．10            C．11             D．12B　[∵＝，∴＝.∴n＝10.故選B項(xiàng)．]3．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________.15　[由S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時(shí)，n為________.23或24　[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負(fù)項(xiàng)的和最小，即n＝23或24.]二、典例解析例8.某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個(gè)座位. 問(wèn)第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位？分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an} ，設(shè)數(shù)列{an} 的前項(xiàng)和為。由題意可知， {an}是等差數(shù)列，且公差及前20項(xiàng)和已知，所以可利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求首項(xiàng)。解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且S20＝800.由 a1 21因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位。解得a1＝21.因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.1．本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．2．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：(1)抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.跟蹤訓(xùn)練1. 某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛車工作24小時(shí)．從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？ 分析：因?yàn)槊扛?/span>20分鐘到達(dá)一輛車，所以每輛車的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說(shuō)明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道防線工程．解:從第一輛車投入工作算起，各車工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－.25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線．  例9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析數(shù)項(xiàng)的和。另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成，所以當(dāng)時(shí)， 可以看成二次函數(shù)，當(dāng)= 時(shí)函數(shù)值。如圖，當(dāng) 時(shí)， 關(guān)于的圖像是一條開口向下的拋物線上的一些點(diǎn)，因此，可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的, 的值。解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是遞減數(shù)列. 由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.可知，當(dāng)n＜6時(shí)，an＞0；當(dāng)n＝6時(shí)，an＝0；當(dāng)n＞6時(shí)，an＜0.所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…也就是說(shuō)，當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大.因?yàn)?/span> =30所以Sn的最大值為30.解法2：因?yàn)?/span>由a1＝10，d＝－2，因?yàn)?/span>所以，當(dāng)n取與 最接近的整數(shù)，即5或6時(shí)，Sn最大，最大值為30.  1.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法： (1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)來(lái)尋找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)． 跟蹤訓(xùn)練2. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)問(wèn){an}的前多少項(xiàng)和最大；(3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′.分析：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(xiàng)．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解(3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解． [解]　(1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項(xiàng)公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對(duì)稱軸為x＝.距離最近的整數(shù)為16,17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0，當(dāng)n≥18時(shí)，an<0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．(3)由(2)知，當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0；當(dāng)n≥18時(shí)，an<0.所以當(dāng)n≤17時(shí)，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當(dāng)n≥18時(shí)，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝    通過(guò)課前檢測(cè)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。            通過(guò)等差數(shù)列前項(xiàng)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。         通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式函數(shù)特征的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。                    通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．（多選題）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個(gè)命題正確的是(　　)A.d<0；    B.S11>0；     C.S12<0；     D.數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11 【答案】AB　解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正確．又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正確．S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正確．{Sn}中最大項(xiàng)為S6，D不正確．故正確的是AB] 2．已知等差數(shù)列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，則使得前n項(xiàng)和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是________． 【答案】6或7　[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最?。?/span>]3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝n2－30n.(1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式an；(2)求Sn的最小值及對(duì)應(yīng)的n值.【答案】　(1)∵Sn＝n2－30n，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－29.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.∵n＝1也適合，∴an＝2n－31，n∈N*. (2)法一：Sn＝n2－30n＝2－225∴當(dāng)n＝15時(shí)，Sn最小，且最小值為S15＝－225.法二：∵an＝2n－31，∴a1<a2<…<a15<0，當(dāng)n>15時(shí)，an>0.∴當(dāng)n＝15時(shí)，Sn最小，且最小值為S15＝－225. 通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最大值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值． 五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。  由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問(wèn)題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。