例題(2022·山東濰坊二模)已知函數(shù)f(x)=ax+cs x+sin x(a∈R).(2)若f(x)≤1+2sin x+2cs x在x∈(0,π]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
而h(0)=-20,s(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(0,+∞)時,s'(x)1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)ea(x-1)+ax≥x+ln x+a,即ea(x-1)+a(x-1)≥x+ln x,即ea(x-1)+a(x-1)≥eln x+ln x,構(gòu)造函數(shù)F(x)=ex+x,即F(a(x-1))≥F(ln x),F(x)顯然在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以轉(zhuǎn)化為a(x-1)≥ln x在(1,+∞)上恒成立,①當(dāng)a≤0時,因為x>1,所以a(x-1)≤0,而ln x>ln 1=0,顯然不符合題意.②當(dāng)a>0時,即a(x-1)-ln x≥0在(1,+∞)上恒成立,令G(x)=a(x-1)-ln x(x>1),
所以h(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以h(a)0),則h'(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且h(0)=0,所以h(x)=ex-(x+1)>0,即ex>x+1.所以φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且φ(1)=1,所以φ(x)=x-ln x≥1>0,所以x>ln x.所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,有xex>x(x+1)>(x+1)ln x,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)>g(x).
(2)解 因為?b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,令w(b)=axeax+(a+b)x,只需w(b)max≥g(x),即axeax+ax≥(1+x)ln x在x∈(0,+∞)上恒成立,整理得ax(eax+1)≥(x+1)ln x=ln x(eln x+1).(*)設(shè)F(x)=x(ex+1),則F'(x)=ex(x+1)+1,設(shè)H(x)=F'(x)=ex(x+1)+1,又H'(x)=(x+2)ex,可得當(dāng)x>-2時,H'(x)>0,H(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x

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