1.函數(shù)的概念給定實數(shù)集R中的兩個　非空　數(shù)集A和B,如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的每一個數(shù)x,在集合B中都有　唯一確定　的數(shù)y和它對應(yīng),那么就把對應(yīng)關(guān)系f稱為定義在集合A上的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中集合A稱為函數(shù)的　定義域　,x稱為自變量,與x值對應(yīng)的y值稱為函數(shù)值,集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的　值域　.?
微思考 (1)定義域與值域相同的兩個函數(shù)一定相等嗎?(2)值域與對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)一定相等嗎?提示 (1)不一定相等.如函數(shù)y=3x和y=2x-1,二者的定義域均為R,值域也均為R,但兩個函數(shù)不同.(2)不一定相等.如函數(shù)y=x2,x∈[0,2)和函數(shù)y=x2,x∈(-1,2),兩函數(shù)解析式相同,值域也相同,但定義域不同,所以不是相等函數(shù).
2.分段函數(shù)如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù).微點撥 1.解析式中含有絕對值的函數(shù)一般可以化為分段函數(shù).2.分段函數(shù)雖然由幾個部分構(gòu)成,但它表示一個函數(shù).3.分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.4.各段函數(shù)的定義域不可以相交.
常用結(jié)論1.直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個交點.2.求函數(shù)y=f(x)定義域的方法:
自主診斷題組一　思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
題組二　雙基自測4. 下列函數(shù)中與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)的是(　　)
答案 (-∞,0)∪(0,1]
規(guī)律方法 1.求給定解析式的函數(shù)的定義域,其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準(zhǔn)則,列出不等式或不等式組求解;對于實際問題,定義域應(yīng)使實際問題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.
例題根據(jù)下列條件求函數(shù)的解析式:(1)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(cs x-1)=cs 2x-1,求f(x)的解析式;(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
解 (1)依題意設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,(2)函數(shù)f(x)滿足f(cs x-1)=cs 2x-1=2cs2x-1-1=2cs2x-2,設(shè)cs x-1=t,則cs x=t+1,由cs x∈[-1,1]知t∈[-2,0],故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f(t)=2(t+1)2-2= 2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式為f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).
(4)因為f(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
規(guī)律方法 求函數(shù)解析式的常用方法
規(guī)律方法 在求分段函數(shù)的函數(shù)值時,一定要先判斷自變量屬于定義域的哪個子集,再代入相應(yīng)的關(guān)系式.若涉及復(fù)合函數(shù)求值,則從內(nèi)到外逐層計算,當(dāng)自變量的值不確定時,要分類討論.
考向2分段函數(shù)與方程問題
答案 0或e解析 當(dāng)a≤0時,f(a)=a2+1=1,解得a=0,滿足題意;當(dāng)a>0時,f(a)=ln a=1,解得a=e,滿足題意.所以a=0或e.
規(guī)律方法 (1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參數(shù);(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進(jìn)行分類討論,解方程求值.注意解得的值需滿足自變量的取值范圍.
考向3分段函數(shù)與不等式的問題
答案 (-∞,2]解析 當(dāng)x≤0時,f(x)=ex≤1,解得x≤0,于是得x≤0;當(dāng)x>0時,f(x)=|x-1|≤1,解得0≤x≤2,于是得0

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