新教材(廣西專版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解答題專項(xiàng)一第2課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

考向1.“分離參數(shù)法”解決不等式恒成立問題
例1.(2023山東煙臺二模)已知函數(shù)f(x)= .(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x>1時(shí),f(x)+k(1+ln x)≤0,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
令f'(x)>0,得01時(shí),恒有3+2ln x>0,即h'(x)>0,所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以h(x)>h(1)=0恒成立,即g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
方法點(diǎn)撥“分離參數(shù)法”解決不等式恒成立問題“分離參數(shù)求最值”是解決不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的基本方法,其基本過程如下:(1)已知含參數(shù)λ的不等式f(λx)≥0恒成立;(2)將不等式轉(zhuǎn)化為g(λ)≥h(x),即將參數(shù)λ與變量x分離,可以將λ單獨(dú)分離到不等式一邊,也可以將只含有λ的一個(gè)代數(shù)式分離到不等式的一邊;(3)求函數(shù)h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依據(jù)函數(shù)h(x)的形式而確定,可以用導(dǎo)數(shù)法、均值不等式法、換元法、單調(diào)性法等等;(4)得出結(jié)論.若h(x)的最大值為M,則g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域?yàn)?m,M)時(shí),g(λ)≥M.
對點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=-ln x+2x-2.(1)求與函數(shù)f(x)的圖象相切且斜率為1的直線方程;(2)若g(x)=f(x)+ax+2,當(dāng)x∈[1,e]時(shí),g(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解由已知得f'(x)=2- (x>0).(1)因?yàn)橹本€的斜率為1且與函數(shù)f(x)的圖象相切,所以由f'(x)=1,即2- =1,解得x=1,而f(1)=0,所以切點(diǎn)為(1,0),故直線方程為x-y-1=0.
考向2.“最值法”解決不等式恒成立問題例2.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=(x-1)ex- .(1)若a=e,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≤3在區(qū)間(0,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解(1)f'(x)=xex-ax=x(ex-a),當(dāng)a=e時(shí),f'(x)=x(ex-e).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)0,因此f(x)在區(qū)間(0,ln a)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln a,2]上單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(0)=-10或f(x,a)≥0的形式,然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手,通過討論函數(shù)的單調(diào)性和極值,直接用參數(shù)表達(dá)函數(shù)的最值,然后根據(jù)題意,建立關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式即得參數(shù)的取值范圍.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),則f(x,a)>0恒成立?g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立?g(a)≥0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),則f(x,a)0,有f(x)≥0,求正數(shù)a的取值范圍.
解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-ln x,得f'(x)=ex- ,∴切點(diǎn)(1,e),斜率f'(1)=e-1,故所求切線方程為y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.
(2)f(x)≥0,即ex+x-ax-ln(ax)≥0(a>0,x>0)?ex+x≥ax+ln(ax)(a>0,x>0)?ex+x≥eln(ax)+ln(ax)(a>0,x>0).令g(x)=ex+x,顯然g(x)是增函數(shù),于是上式可化為g(x)>g(ln(ax)),即x≥ln(ax)(a>0,x>0)?ln a≤x-ln x(a>0,x>0).
令φ(x)=x-ln x(x>0),則φ'(x)=1- ,易知φ(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故φ(x)min=φ(1)=1,于是ln a≤1,可得00時(shí),f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
令h(x)=ex-x,則h'(x)=ex-1>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)>h(0)=1>0恒成立.故由f'(x)>0得x>1,由f'(x)ln(x+1)+(x+1)在(-1,+∞)上恒成立.設(shè)h(t)=t+ln t,則
考向4.“端點(diǎn)效應(yīng)法”解決不等式恒成立問題
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)+sin x0,∴f'(x)

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