適用于新高考新教材備戰(zhàn)2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第3章函數(shù)與基本初等函數(shù)第10節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用課件新人教A版-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.2.會(huì)比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異,理解“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義.3.了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.
1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較
微點(diǎn)撥“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數(shù)增長”是先慢后快,其增長速度越來越快,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對(duì)數(shù)增長”是先快后慢,其增長速度越來越緩慢.
2.幾種常見的函數(shù)模型
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.函數(shù)y=2x的函數(shù)值恒比y=x2的函數(shù)值大.(　　)2.冪函數(shù)的增長速度比一次函數(shù)的增長速度快.(　　)3.指數(shù)型函數(shù)模型,一般用于解決變化較快、短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問題.(　　)4.若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=lg2x,則當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí)f(x)>g(x)>h(x).(　　)
題組二回源教材5.(人教A版必修第一冊(cè)習(xí)題4.4第6題)在2 h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中.在注射期間,血液中的藥物含量呈線性增加;停止注射后,血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是(　　)
解析依題意,在2 h內(nèi),藥物含量線性增加,排除A;又藥物含量不可能為負(fù)值,故排除D;停止注射后,藥物含量呈指數(shù)衰減,排除C,故選B.
6.(人教B版必修第一冊(cè)3.3節(jié)例5)已知某產(chǎn)品的總成本C與年產(chǎn)量Q之間的關(guān)系為C=aQ2+3 000,且當(dāng)年產(chǎn)量是100時(shí),總成本是6 000.設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年產(chǎn)量為多少時(shí),平均成本最小,并求最小值.
解 (1)將Q=100,C=6 000代入C=aQ2+3 000中,可得1002a+3 000=6 000,從
等號(hào)成立.因此,當(dāng)年產(chǎn)量為100時(shí),平均成本最小,且最小值為60.
題組三連線高考7.(2020·全國Ⅰ,文5)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點(diǎn)圖:
由此散點(diǎn)圖,在10 ℃至40 ℃之間,下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(　　)A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+bln x
解析結(jié)合題中散點(diǎn)圖,由圖象的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+bln x.
8.(多選題)(2023·新高考Ⅰ,10)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí) ,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10 m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,則(　　)A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2
考點(diǎn)一實(shí)際問題變化過程的圖象刻畫
例1(2024·北京東城模擬)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),按逆時(shí)針方向沿周長為l的平面圖形運(yùn)動(dòng)一周,O,P兩點(diǎn)的距離y與點(diǎn)P所走路程x的函數(shù)關(guān)系如圖所示,那么點(diǎn)P所走的圖形是(　　)
解析觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)圖象,可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)顯著特點(diǎn):①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到周長的一半時(shí),OP最大;②點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)圖象是拋物線.設(shè)點(diǎn)M為運(yùn)動(dòng)到周長的一半時(shí)的位置,如下圖所示:
圖1中,因?yàn)镺M≤OP,不符合①,因此排除選項(xiàng)A;圖4中,由OM≤OP,不符合①,并且OP的距離不是對(duì)稱變化的,因此排除選項(xiàng)D;另外,在圖2中,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí),此時(shí)y=x,其圖象是一條線段,不符合②,因此排除選項(xiàng)B,故選C.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì)).如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是(　　)A.40萬元B.60萬元C.120萬元D.140萬元
解析甲商品6元時(shí)該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),商人在t2時(shí)刻全部賣出,此時(shí)獲利20×2=40(萬元),乙商品4元時(shí)該商人買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),商人在t4時(shí)刻全部賣出,此時(shí)獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.
考點(diǎn)二根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題
例2(1)(2024·湖北天門模擬)“空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù).當(dāng)AQI大于200時(shí),表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動(dòng).某地某天0~24時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)y隨時(shí)間t變化的趨勢(shì)由函數(shù)y= 描述,則該天適宜開展戶外活動(dòng)的時(shí)長至多為(　　)A.5小時(shí)B.6小時(shí)C.7小時(shí)D.8小時(shí)
(2)(2024·山東濰坊模擬)草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素,能夠調(diào)節(jié)免疫功能,增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼,有潤肺生津,健脾養(yǎng)胃等功效,受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量,可將其從小到大依次分為4個(gè)等級(jí),其等級(jí)x(x=1,2,3,4)與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場銷售單價(jià)y(單位:元/千克)近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=eax+b,若花同樣的錢買到的1級(jí)草莓是4級(jí)草莓的2倍,且1級(jí)草莓的市場銷售單價(jià)為20元/千克,則3級(jí)草莓的市場銷售單價(jià)最接近(結(jié)果保留2位小數(shù),參考數(shù)據(jù): ≈1.59)(　　)元/千克元/千克元/千克元/千克
考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題(多考向探究預(yù)測(cè))
考向1構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題例3(2024·北京順義模擬)諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為:每年一發(fā),把獎(jiǎng)金總額平均分成6份,獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人,每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半,另一半利息作基金總額,以保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加.假設(shè)基金平均年利率為r=6%,資料顯示:2003年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額約為20 000萬美元,設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額(單位:萬美元,2003年記為f(1),2004年記為f(2),…,依此類推).(1)用f(1)表示f(2)和f(3),并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2013年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)130萬美元”是否為真,并說明理由.(參考數(shù)據(jù):1.039≈1.30)
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·四川成都模擬)“環(huán)境就是民生,青山就是美麗,藍(lán)天也是幸?！?隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步,人們的環(huán)保意識(shí)日益增強(qiáng).某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2 mg/cm3,排放前每過濾一次,該污染物的含量都會(huì)減少20%,當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2 mg/cm3,若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放,那么在排放前需要過濾的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.3,lg 3≈0.477)(　　)A.8B.9C.10D.11
解析過濾第一次污染物的含量減少20%,污染物含量為1.2(1-0.2);過濾第二次污染物的含量減少20%,污染物含量為1.2(1-0.2)2;過濾第三次污染物的含量減少20%,污染物含量為1.2(1-0.2)3;…過濾第n次污染物的含量減少20%,污染物含量為1.2(1-0.2)n.
所以n的最小值為8,即排放前需要過濾的次數(shù)至少為8,故選A.
考向2選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決問題例4(2024·福建福州模擬)某夜市的一位工藝品售賣者,通過對(duì)每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì)),每件的銷售價(jià)格P(x)(單位:元)與時(shí)間x(單位:天)近似滿足函數(shù)關(guān)系式P(x)=1+ (k為常數(shù),且k>0),日銷售量Q(x)(單位:件)與時(shí)間x(單位:天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:
(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型:①Q(mào)(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=ax+b;④Q(x)=a·lgbx,請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量Q(x)與時(shí)間x的變化關(guān)系,并求出該函數(shù)的解析式.(2)已知第1天的日銷售收入為244元,設(shè)該工藝品的日銷售收入為f(x)(單位:元),求f(x)的最小值.
解 (1)由表格中的數(shù)據(jù)可知,當(dāng)時(shí)間x變長時(shí),Q(x)先增后減,①③④函數(shù)模型在定義域上均是單調(diào)的,不符合該數(shù)據(jù)模型,所以選擇模型②:Q(x)=a|x-m|+b.易知m=22,又由表格可知Q(18)=139,Q(14)=135,代入Q(x)=a|x-22|+b,得
所以日銷售量Q(x)與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式為Q(x)=-|x-22|+143(1≤x≤30,x∈N*).
當(dāng)22≤x≤30,x∈N*時(shí),f(x)=-x+ +164單調(diào)遞減,所以函數(shù)的最小值為f(x)min=f(30)=139.50,且p≠1),y2=lga(x+b)(a>0,且a≠1),要從這兩個(gè)函數(shù)中選出一個(gè)來模擬表中x,y之間的關(guān)系,問:選擇哪一個(gè)函數(shù)較好?說明理由.(2)該公司旗下有10個(gè)這樣的倉庫,每個(gè)倉庫儲(chǔ)存貨物時(shí),每天需要2 000元的運(yùn)營成本,不儲(chǔ)存貨物時(shí)僅需500元的成本.一批貨物需要存放7天,設(shè)該批貨物存放在m(0≤m≤10)個(gè)倉庫內(nèi),其余倉庫空閑.要使該公司這7天的倉庫收益不少于43 000元,則m的最小值是多少?(注:收益=收入-成本)
解 (1)若選擇函數(shù)y1=px-1+q(p>0,且p≠1),將點(diǎn)(1,1),(3,2)代入函數(shù),
∴y2=lg2(x+1).當(dāng)x=7時(shí),y2=lg28=3;當(dāng)x=14時(shí),y2=lg215.可知當(dāng)x=7或14時(shí),與實(shí)際數(shù)據(jù)比較接近.綜上,選擇函數(shù)y2=lga(x+b)(a>0,且a≠1)較好.

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