第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題（五大題型）-暑假高一升高二數學銜接知識自學講義（蘇教版）-試卷下載-教習網

?第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題
【題型歸納目錄】
題型一：定義法
題型二：坐標法
題型三：基底法
題型四：幾何意義法
題型五：極化恒等式
【知識點梳理】
知識點一．平面向量范圍與最值問題常用方法：
1、定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系
第二步：運用基木不等式求其最值問題
第三步：得出結論
2、坐標法
第一步：根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標
第二步：將平面向量的運算坐標化
第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底轉化向量
第二步：根據向量運算律化簡目標
第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等得出結論
4、幾何意義法
第一步：先確定向量所表達的點的軌跡
第二步：根據直線與曲線位置關系列式
第三步：解得結果
知識點二．極化恒等式
1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

（1）
（2）
（1）（2）兩式相加得：

2、極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
（1）平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．
（2）三角形模式：（M為BD的中點）
A
B
C
M

知識點三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：
（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數求范圍或最值；
（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；
（4）根據三角形解的個數求范圍或最值；
（5）利用二次函數求范圍或最值．
要建立所求量（式子）與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數的定義域）找完善，避免結果的范圍過大．
【典例例題】
題型一：定義法
【例1】（2023·廣西·高一校聯考階段練習）已知點是的邊上靠近點的三等分點，點是線段上一點（不包括端點），若，則的最小值為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【對點訓練1】（2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學校聯考期中）已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
題型二：坐標法
【例2】（2023·江蘇南通·高一?？计谀┤鐖D所示，邊長為的正，以的中點為圓心，為直徑在點的另一側作半圓弧，點在圓弧上運動，則的取值范圍為______.
??
【對點訓練2】（2023·上海閔行·高一閔行中學校考期末）已知平面向量，其中，則的取值范圍是__________.
【對點訓練3】（2023·北京通州·高一統(tǒng)考期中）在正方形中，，P為邊的中點，Q為邊的中點，M為邊（包括端點）上的動點，則的取值范圍是_________．
【對點訓練4】（2023·四川廣元·高一廣元中學校考期中）已知向量，，當取得最大值時，______．
題型三：基底法
【例3】（2023·福建三明·高一三明一中校考期中）已知以為圓心的單位圓上有兩個定點、及兩個動點、，且，則的最大值是（????）
A． B． C． D．
【對點訓練5】（2023·全國·高一專題練習）已知的外心為，且滿足，（其中，則的最大值為（????）
A．2 B． C． D．5
題型四：幾何意義法
【例4】（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學校考期中）向量，，若與的夾角為，則的最大值為（????）
A．2 B． C．4 D．
【對點訓練6】（2023·高一課時練習）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（????）
A． B．2 C． D．1
題型五：極化恒等式
【例5】（2023·浙江·高一校聯考期中）已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是（????）

A． B． C． D．
【對點訓練7】（2023·福建福州·高一福建省福州高級中學?？计谥校┮阎呴L為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．

【真題演練】
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
2．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．
4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________
5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．
6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．

7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設點P在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．
8．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為_______．
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·北京·高一中關村中學校考期中）已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
2．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
3．（2023·北京大興·高一統(tǒng)考期中）已知是邊長為的等邊三角形，是邊上的動點，是邊的中點，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高一專題練習）若，是兩個互相垂直的單位向量，且向量滿足，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．以上答案均不對
5．（2023·全國·高一專題練習）已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實數t的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
6．（2023·福建泉州·高一校聯考階段練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
7．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學?？茧A段練習）已知是邊長為2的正六邊形內的一點，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
8．（2023·江蘇·高一專題練習）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·河北唐山·高一校聯考期中）在正方形中，，點滿足，則下列說法正確的是（????）
A．當時，
B．當時，
C．存在，使得
D．的最小值為2
10．（2023·江蘇連云港·高一?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（????）
??
A．
B．實數的值為
C．
D．若M，N是線段BC上的動點，且，則的最小值為
11．（2023·遼寧·高一校聯考階段練習）設非零向量，滿足，則下列說法正確的有（????）
A．與的夾角為 B．
C．有最大值 D．
12．（2023·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校﹫A冪定理是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一，（其中相交弦定理:圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，例如，如果交點為的兩條相交直線與圓相交于與，則），如下圖，已知圓的半徑為3，點是圓內的定點，且，弦、均過點，則下列說法正確的是（???）
??
A．· B．·的取值范圍是
C．當AC⊥BD時，·為定值 D．AC⊥BD時，·的最大值為28
三、填空題
13．（2023·重慶·高一重慶一中校考期中）已知平面向量滿足，則的最大值為__________.
14．（2023·廣西·高一校聯考階段練習）已知正方形的邊長為2，為對角線的交點，動點在線段上，點關于點的對稱點為點，則的最大值為______．
15．（2023·上海徐匯·高一位育中學?？计谥校┮阎矫嫦蜃?，，對任意實數，都有，成立．若，則的最大值是______．
16．（2023·北京·高一中關村中學校考期中）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是______.
17．（2023·山東日照·高一統(tǒng)考期中）已知非零向量，，對任意實數，恒成立，則的取值范圍是____________．

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