4 . 7 一元二次方程的應(yīng)用
1. 使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體 積方面的應(yīng)用問(wèn)題．2. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和分 析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．
與我們學(xué)過(guò)的一元一次方程、二元一次方程組和分式方程一樣，一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中數(shù)量關(guān)系的有效模型.
將一根長(zhǎng)為 64 cm的鐵絲剪成兩段，再將每段分別圍成正方形(圖4－2)，如果兩個(gè)正方形的面積的和等于160 cm2，求兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng).
首先要找出問(wèn)題中的已知量、未知量和等量關(guān)系，把其中的一個(gè)未知量用x表示，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程.
根據(jù)題意，得 x2＋(16－x)2 ＝ 160.整理，得x2 － 16x ＋ 48 ＝ 0.解這個(gè)方程，得x1 ＝ 12，x2 ＝ 4.當(dāng) x1 ＝ 12時(shí)，16 － x ＝ 4；當(dāng) x2 ＝ 4 時(shí)，16 － x ＝ 12；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是 12 cm 和4cm 時(shí)，兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為64 cm，面積之和為160 cm. 這就是說(shuō)，x＝12 cm 或 x＝4cm 均符合題意. 所以，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為4 cm和12 cm.
列一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，必須檢驗(yàn)方程的 根是否符合題意，以決定取舍.
某花圃用花盆培育某種花卉，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，出售一盆花的盈利與該盆中花的棵數(shù)有關(guān). 當(dāng)每盆栽種3棵時(shí)，平均每棵盈利3元. 以同樣的栽培條件，每盆增加1棵，平均每棵盈利將減少0.5元. 要使每盆的盈利達(dá)到 10元，每盆應(yīng)當(dāng)種植該種花卉多少棵?
解：設(shè)每盆增加種植x棵，則每盆種花 (3＋x)棵，平均每棵盈利為(3－0.5x) 元. 根據(jù)題意，得(3－0.5x)(3＋x) ＝10. 整理，得 x2－3x＋2＝0. 解這個(gè)方程，得 x1＝1，x2＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝1或x2＝2 均符合題意所以，每盆應(yīng)種植該種花卉4棵或 5棵.
我國(guó)古代數(shù)學(xué)家經(jīng)常用詩(shī)歌的形式編寫數(shù)學(xué)題，稱為詩(shī)題. 清代數(shù)學(xué)家梅 (jue)成(1681－1763 ) 對(duì)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》進(jìn)行修改補(bǔ)充，編著了《增刪算法統(tǒng)宗》一書. 在該書第11卷的眾多詩(shī)題中，有一首“圓中正方形”：
今有圓田一塊，中間有個(gè)方池.量田特待耕犁，恰好三分在記.池面至周有數(shù)，每邊三步無(wú)疑.內(nèi)方圓徑若有知，堪作算中第一.
大意是：有一塊圓形的田地，中間有一個(gè)正方形水池.量得水池外圓內(nèi)田地的面積，恰好是 3 分. 從水池的每條邊到圓周，最遠(yuǎn)都是 3 步 (圖4－3 ).如果你能求出正方形的邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的運(yùn)算能力就數(shù)第一了.
1. 天泉村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室. 要求長(zhǎng)寬的比為 3∶1. 在溫室內(nèi)，沿前后兩側(cè)內(nèi)墻各留 3 m 寬的空地放置工具，其他兩側(cè)內(nèi)墻各留 1 m 寬的通道當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)與寬多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)的面積是 300 m2?
解：設(shè)矩形溫室的寬是 x m，則長(zhǎng)是 3x m. 根據(jù)題意，得(3x－6)(x－2) ＝300. 整理，得 x2－4x－96＝0. 解得 x1＝12，x2＝－8. 由題意，知 x2＝－8 不符合題意，舍去. 所以 x＝12，3x＝3×12＝36. 所以矩形溫室的長(zhǎng)是36 m，寬是12m時(shí)，蔬菜種植區(qū)的面積是 300m2.
2. 如圖，矩形ABCD的邊AB ＝200 cm，O為AB的中點(diǎn). OE⊥AB交CD于點(diǎn)E. 質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2 cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)； 另一質(zhì)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以 3cm/s的速度沿 OE 向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng). 經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，△POQ 的面積為 1800 cm2?
某養(yǎng)殖場(chǎng)2010年的產(chǎn)值為 500 萬(wàn)元，2012年的產(chǎn)值為605 萬(wàn)元求2010~2012年該養(yǎng)殖場(chǎng)產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率.
解：設(shè)該場(chǎng)2010~2012年產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率為x，那么2011 年的產(chǎn)值為500＋500x ＝500(1＋x)，2012年的產(chǎn)值為500 (1＋x) ＋500 (1＋x) ? x＝500 (1＋x)2
根據(jù)題意，得 500 (1＋x)2＝605. 解這個(gè)方程，得 x1＝0.1，x2＝－2.1. 根據(jù)題意，605萬(wàn)元 ＞ 500萬(wàn)元，故年增長(zhǎng)率 x＞0，而x2＝－2.1＜0，因此x2＝－2.1不符合題意，應(yīng)當(dāng)舍去，x1＝0.1 符合題意. 所以，該養(yǎng)殖場(chǎng)2010~2012年產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率為0.1，即10%.
某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，每盒售價(jià)為原售價(jià)的 64%，求該藥品平均每次的降價(jià)率.
解：設(shè)該藥品平均每次的降價(jià)率為x，那么第1次降價(jià)后該藥品每盒的售價(jià)為原售價(jià)的(1－x)，第2次降價(jià)后該藥品每盒的售價(jià)為原售價(jià)的 (1－x)2.
根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系，得(1－x)2＝64%.解這個(gè)方程，得x1＝0.2，x2＝1.8. 根據(jù)題意，降價(jià)率應(yīng)滿足 0＜x＜1，因而 x2＝1.8 不符合題意，應(yīng)當(dāng)舍去而 x1＝0.2 符合題意. 所以，該藥品平均每次的降價(jià)率為0.2，即20%.
例3與例4都是增長(zhǎng)率(包括負(fù)增長(zhǎng))問(wèn)題，你能把這類問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系用公式表示出來(lái)嗎?
例3與例4 這類問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系可用一元二次方程表示為 a(1±x)2 ＝ b，其中 a 表示起始量， 表示平均增長(zhǎng)(或降低)率, 表示增長(zhǎng)(或降低)后的終止量，增長(zhǎng)用“＋”，降低用“一”.
1. 某農(nóng)機(jī)廠1月份生產(chǎn)聯(lián)合收割機(jī)300 臺(tái)，為了滿足夏收季節(jié)市場(chǎng)的需求，3月份比1月份多生產(chǎn)132臺(tái). 求2月、3 月兩個(gè)月的平均月增長(zhǎng)率.
解：設(shè)2月3月兩個(gè)月的平均月增長(zhǎng)率為z根據(jù)題意，得： 300(1＋x)2 ＝ 300+132 整理，得 25x2 ＋ 50x － 11 ＝ 0. 解得 x1 ＝ 0.2，x2 ＝ － 2.2. 根據(jù)題意，知 x ＞ 0，故 x ＝ － 2.2 舍去. 答：2月、3月兩個(gè)月的平均月增長(zhǎng)率為 20%.
2. 某玩具廠今年每個(gè)月的產(chǎn)量都比上個(gè)月環(huán)比增長(zhǎng)同樣的百分?jǐn)?shù)，已知該廠今年 4月份的玩具產(chǎn)量為5萬(wàn)件，6月份比5月份多生產(chǎn)了 12 000件.求今年產(chǎn)量的月增長(zhǎng)率.
解：設(shè)今年產(chǎn)量的月增長(zhǎng)率為x. 根據(jù)題意，得5(1＋x)2－5(1＋x)＋1.2. 整理，得 25x2＋25x－6 ＝ 0. 解得 x1＝0.2，x2＝－1.2. 經(jīng)檢驗(yàn) x2＝－ 1.2不符合題意，舍去. 答：今年產(chǎn)量的月增長(zhǎng)率為 20%.
1. 兩個(gè)實(shí)數(shù)的和是10，積是－75. 求這兩個(gè)數(shù).
解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為 x，則另一個(gè)數(shù)為 10－x. 根據(jù)題意，得 x(10－x)＝－ 75. 整理，得 x2－10x－75＝0. 解得 x1＝15，x2＝ － 5； 當(dāng)x ＝ 15 時(shí)，10 － 15 ＝ － 5； 當(dāng)x＝－5時(shí)，10 －(－5) ＝ 15. 答：這兩個(gè)數(shù)是 15 和－ 5.
2. 如圖，在寬為 20 m、長(zhǎng)為36 m 的矩形草地上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，剩余草地的面積是 540 m2. 求道路的寬 (精確到0.1m ).
解：設(shè)道路的寬為 x m. 根據(jù)題意，得 (20－x)(36－x)＝540. 整理，得 x2－56x＋180＝0.
3. 如圖，AB與BC分別是東西方向和南北方向的道路，AB ＝1000 m.晨練時(shí)，小瑩從點(diǎn)A出發(fā)，以每分鐘150 m的速度向東跑； 小亮同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以每分鐘200 m的速度向北跑，經(jīng)過(guò)幾分鐘時(shí)，他們之間的直線距離仍然是1000 m?
4. 一本書的長(zhǎng)為26 cm，寬為 18.5 cm，厚為1cm.小瑩準(zhǔn)備用一張面積為1260 cm2的矩形紙包這本書的書皮(如圖). 若書皮四周折進(jìn)的寬度一樣，折疊進(jìn)去的寬度應(yīng)為多少?
解：設(shè)折疊進(jìn)去的寬度為 x cm， 根據(jù)題意，得 (18.5×2＋1＋2x)(26＋2x) ＝ 1 260. 整理，得 x2 ＋ 32x － 68 ＝ 0. 解得 x1＝－34，x2＝2. 經(jīng)檢驗(yàn) x＝－ 34 不符合題意，舍去. 答：折疊進(jìn)去的寬度應(yīng)為 2 cm.
5. 某種品牌汽車的售價(jià)為每輛 10 萬(wàn)元，使用兩年后其價(jià) 值為 7.225 萬(wàn)元. 求該汽車這兩年的年平均折舊率.
解：設(shè)該汽車這兩年的年平均折舊率為x. 根據(jù)題意，得10(1 － x)2 ＝ 7.225， 解得 x1＝ 1.85，x2 ＝ 0.15. 由題意，知 x1 ＝ 1.85 不符合題意，舍去.答：該汽車這兩年的年平均折舊率為 15%.
6. 解決本章“情境導(dǎo)航”中的問(wèn)題(精確到0.1%).
解：(1) 設(shè)年平均增長(zhǎng)率是 x . 根據(jù)題意，得 216.5(1 ＋ x)2 － 267.4. 解得 x1≈0.111，x2≈－2.111. 經(jīng)檢驗(yàn) x2≈－2.111 不符合題意，舍去. 答：從2000 年到 2002 年的兩年間，我國(guó)荒漠化、沙化土地面積的年平均增長(zhǎng)率是 11.1%.
(2) 設(shè)年平均降低率為 y. 根據(jù)題意，得 267.4(1 － y)2 ＝ 263.6. 解得 y1≈0.007，y2≈1.993. 經(jīng)檢驗(yàn) y2≈1.993 不符合題意，舍去.答：從 2002 年到 2004 年的兩年間,我國(guó)荒漠化、沙化土地的面積亞均每年降低 0.7%.
7. 山青農(nóng)場(chǎng)去年種了10畝地的南瓜，平均畝產(chǎn)量為2 000 kg. 根據(jù)市場(chǎng)需要，今年該農(nóng)場(chǎng)擴(kuò)大了種植面積，并且全部種了高產(chǎn)的新品種南瓜. 已知南瓜種植面積的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的2倍，今年南瓜的總產(chǎn)量為 60 000 kg. 求南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率.
解：設(shè)南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為，則種植面積的增長(zhǎng)率為 2x，根據(jù)題意，得 10(1＋ 2x)[2 000(1 ＋ x)] ＝ 60 000. 整理，得 2x2＋3x－2 ＝ 0. 解得 x1＝0.5，x2＝ －2. 經(jīng)檢驗(yàn) x2＝ －2 不符合題意，舍去. 答：南瓜畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是 50%.
8. 一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為5，把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字互換后得到的兩位數(shù)與原數(shù)的積為 736. 求原兩位數(shù).
解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為 x，則個(gè)位數(shù)字為 5－x . 根據(jù)題意，得[10x ＋(5 － x)][10(5 － x) ＋ x] ＝ 736.
整理，得 x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0.解得 x1＝2，x2＝3.當(dāng)x＝2時(shí)，原兩位數(shù)是 23；當(dāng)x＝3時(shí)，原兩位數(shù)是 32.答：原兩位數(shù)是23或32.
9. 某化肥廠4月份生產(chǎn)某種化肥 500噸，5月份因部分設(shè)備檢修，產(chǎn)量比4 月份減少了10%. 從6月份起產(chǎn)量逐月上升，7月份達(dá)到648噸. 該廠6，7兩個(gè)月產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率是多少?
解：設(shè)該廠6，7 兩個(gè)月產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率是 x . 根據(jù)題意，得500(1－10%)(1＋x)2＝648. 解得 x1＝0.2，x2＝－2.2. 經(jīng)檢驗(yàn) x2＝－2.2 不符合題意，舍去.答：該廠6，7 兩個(gè)月產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率是 20%.
10. 一個(gè)容積為1 000 ml的容器里盛滿濃度為 80% 的酒精. 第一次倒出若干毫升后，用水加滿：第二次又倒出同樣毫升數(shù)的溶液，再用水加滿，這時(shí)容器內(nèi)的酒精的濃度為20%. 求每次倒出溶液多少毫升.

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4.5 一元二次方程的應(yīng)用

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