基本不等式一、基本不等式1.對(duì)公式及的理解.（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=” 的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”.2.由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；③或PS： 可以變形為：，可以變形為：.二、基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危?/span>時(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有.得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）特別的，如果，,我們用、分別代替、，可得：如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.通常我們把上式寫作：如果，,，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.三、基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，,，過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、.易證，那么，即.這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立.注：1.在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù). 因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2.如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).四、用基本不等式求最大（?。┲?/span>在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等.① 一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；② 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③ 三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.PS：1．兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).如是成立的，而是不成立的.2．兩個(gè)不等式：與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取“=”號(hào)這句話的含義要有正確的理解.當(dāng)a=b取等號(hào)，其含義是；僅當(dāng)a=b取等號(hào)，其含義是.綜合上述兩條，a=b是的充要條件.3．基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值.4．利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項(xiàng)能取得相等的值.5．基本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案. 例1：，，給出下列推導(dǎo)，其中正確的有       .（1）的最小值為；（2）的最小值為；（3）的最小值為.【解析】（1）∵，，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（2）∵，，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（3）∵，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）∵，與矛盾，∴上式不能取等號(hào)，即例2. 已知、、都是正數(shù)，求證：【解析】∵、、都是正數(shù)∴ （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)） ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）即.例3.已知，求證:【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)即,等號(hào)成立）.例4.已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.【解析】方法一：∵，∴∵x＞0，y＞0，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，取等號(hào)）又，∴x=4，y=12∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y取最小值16.方法二：由，得∵x＞0，y＞0，∴y＞9∵y＞9，∴y－9＞0，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即y=12時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)x=4）∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y取最小值16.   鞏固練習(xí)一、單選題1．已知，，，則下列各式中正確的是（       ）A．  B．1 C．2 D．12．已知集合，則=A． B． C． D．3．已知，且，則的最小值為（       ）A．3 B．4 C．5 D．64．若正數(shù)、滿足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（       ）A． B． C． D．二、多選題5．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（       ）A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為26．若，，且，則的可能取值為（       ）A．2 B．3 C．4 D．57．（多選）設(shè)a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是（       ）A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)≥48．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（       ）A． B． C． D．三、填空題9．已知，且，則的最小值為___________.10．若a、且a、，且，則ab的最大值為______．11．若正數(shù)、滿足，則的最小值為________.12．正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________.四、解答題13．已知.（1）已知x＞0，求y的最小值；（2）已知x＜0，求y的最大值． 14．利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：   15．已知、，求證：.   16．某單位每年需向自來水公司繳納水費(fèi)約4萬元，為節(jié)約用水，決定安裝1個(gè)自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)（單位：萬元）與管線、主體裝置的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.1.為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水公司供水互補(bǔ)的用水模式.假設(shè)在此模式下，安裝后該單位每年向自來水公司繳納水費(fèi)為（，k為常數(shù)），x為安裝這種凈水設(shè)備的占地面積（單位：平方米）記y為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后第一年向自來水公司繳水費(fèi)之和.（1）解釋的實(shí)際意義；（2）求y的最小值.    17．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“春節(jié)期間非必要不返鄉(xiāng)，就地過年”的倡議.為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在春節(jié)期間留住員工在本市過年并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)啬?/span>A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)提供(萬元)的專項(xiàng)補(bǔ)貼.A企業(yè)在收到政府x(萬元)補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到(萬件).同時(shí)A企業(yè)生產(chǎn)t(萬件)產(chǎn)品需要投入成本為(萬元)，并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本（1）求企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益(萬元)關(guān)于政府補(bǔ)貼(萬元)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，A企業(yè)春節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？  18．正數(shù)x，y滿足.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．

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