第十一講  冪函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1. 理解冪函數(shù)的概念，掌握冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；2. 體會(huì)冪函數(shù)的冪指數(shù)與其圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；3. 通過(guò)研究?jī)绾瘮?shù)，理解它們的變化規(guī)律，并會(huì)作函數(shù)的大致圖像. 【應(yīng)知應(yīng)會(huì)】一、復(fù)習(xí)引入在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)正比例函數(shù)，反比例函數(shù)即以及二次函數(shù)，它們的“音容笑貌”還記得嗎？這三個(gè)函數(shù)從形式上具備怎樣的共同特征？ 二、知識(shí)梳理【難度系數(shù)：★★★   參考時(shí)間：15 min】（一）冪函數(shù)的定義當(dāng)指數(shù)固定，等式確定了變量隨變量變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為的冪函數(shù)（power functions）. 使得有意義的的取值范圍，稱為此冪函數(shù)的定義域. 冪函數(shù)的定義域可以是不相同的，它與指數(shù)的值有關(guān). 【注】（1）冪函數(shù)的系數(shù)為1；（2）冪函數(shù)的指數(shù). （二）冪函數(shù)的圖象         （三）冪函數(shù)的性質(zhì)  所有的冪函數(shù)在（0，）都有定義，并且函數(shù)圖像都通過(guò)點(diǎn)（1，1）. 時(shí)：（圖A）（1）圖象都通過(guò)（0，0），（1，1）；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的（嚴(yán)格）增大而（嚴(yán)格）增大（嚴(yán)格增函數(shù)）.       時(shí)：（圖B）（1）圖象都通過(guò)點(diǎn)（1，1）；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的（嚴(yán)格）增大而（嚴(yán)格）減小（嚴(yán)格減函數(shù)）；（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無(wú)限地接近，向右與x軸無(wú)限地接近. 【思考】時(shí)，圖像如何畫？【小結(jié)】與兩坐標(biāo)軸都無(wú)公共點(diǎn)冪的基本不等式：當(dāng)時(shí)，若，則，得.  三、典型例題【難度系數(shù)：★★★   參考時(shí)間：30 min】例1. 求函數(shù)的定義域. 【答案】 例2. 寫出函數(shù)的定義域，作出其大致圖像，并根據(jù)圖像判斷其單調(diào)性. 【答案】，嚴(yán)格減  例3. 已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】變式1. 已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】變式2. 已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】【提示】法一：分類討論：①正正；②負(fù)負(fù)；③一正一負(fù)；法二：穿針引線：變式3. 已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】     【提示】例4. 已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上. （1）求實(shí)數(shù)的值；（2）作出此函數(shù)的大致圖像，并寫出對(duì)稱中心以及判斷它的單調(diào)性. 【答案】（1）由，，可得，得；（2）函數(shù)的圖像如圖2所示，其對(duì)稱中心為該函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)例5. 設(shè)冪函數(shù). （1）求證：該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）設(shè)，，利用（1）的結(jié)論，比較與的大小. 【答案】（1）利用冪的基本不等式；（2）【解析】（1）證明：對(duì)于任意、，且，于是由，得，故【冪的基本不等式】，則所以，故該函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)A組  雙基過(guò)關(guān)【難度系數(shù)：★★   參考時(shí)間：20 min】1. 若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則___________. 【答案】2. 函數(shù)與的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為                . 【答案】3. 冪函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)第___________象限. 【答案】一、三4. 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為                      . 【答案】，數(shù)形結(jié)合5. 若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)表達(dá)式：             . 【答案】6. 下列結(jié)論：①冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)和；②冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是一條直線；④當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)；⑤當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù). 其中，正確的序號(hào)有             . 【答案】②⑤7. 下列函數(shù)是冪函數(shù)的是…………………………………………………………………………………（ C  ）A. ； B. ；      C. ；           D. . 8. 請(qǐng)把相應(yīng)的冪函數(shù)圖像代號(hào)填入表格.         ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. 函數(shù)代號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧圖像代號(hào)ECAGBDHF   【答案】依次是E，C，A，G，B，D，H，F. B組  鞏固提高【難度系數(shù)：★★★   參考時(shí)間：25 min】1. 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________. 【答案】2. 若冪函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的所有取值組成的集合為___________. 【答案】3. 不等式的解集為             . 【答案】  【提示】移項(xiàng)，兩邊6次方（最小公倍數(shù)）【分?jǐn)?shù)指數(shù)冪變整數(shù)指數(shù)冪】4. 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________________. 【答案】 5. 設(shè)，則下列不等式成立的是………………………………………………………………（ C  ）A. ；   B. ；   C. ；   D. . 6. 設(shè). 若，均有成立，則取值的個(gè)數(shù)是（ A  ）A. 4個(gè)；    B. 3個(gè)；    C. 2個(gè)；    D. 1個(gè). 【提示】數(shù)形結(jié)合：冪函數(shù)PK“V”字型7. 設(shè)點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，點(diǎn)冪函數(shù)的圖像上. 問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】 8. 設(shè)冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù). （1）求該函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)（為奇數(shù)），，且函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，寫出實(shí)數(shù)滿足的條件. 【答案】（1）或；（2）  C組  拓展延伸【難度系數(shù)：★★★★   參考時(shí)間：30 min】1. 下列結(jié)論中，正確的是……………………………………………………………………………………（ A ）A. 冪函數(shù)的圖像都不經(jīng)過(guò)第四象限；B. 冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)為嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為嚴(yán)格減函數(shù)；C. 兩個(gè)不同的冪函數(shù)的圖像最多有三個(gè)交點(diǎn)，最少有0個(gè)交點(diǎn)；D. 若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則冪函數(shù)的圖像也關(guān)于軸對(duì)稱. 2. 若冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則…………………………………………（ B  ）A.             B. ，C. ，             D. ，3. 設(shè)函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸都無(wú)公共點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值為         . 【答案】0或2【提示】與兩坐標(biāo)軸都無(wú)公共點(diǎn)4. 設(shè)冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其圖像在函數(shù)的圖像的上方，則的范圍為         . 【答案】     【提示】數(shù)形結(jié)合，分類討論5. 冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間上它們的圖像是一簇美麗的曲線（如圖）．設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，聯(lián)結(jié)AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)，的圖像三等分，即有BM=MN=NA，可得________. 【答案】1【提示】，6. 設(shè)函數(shù)，根據(jù)下列條件分別求出的值：（1）該函數(shù)為二次函數(shù)；（2）該函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù). 【答案】（1）；（2） 7. （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱中心；（2）求函數(shù)（）的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱中心；若此函數(shù)是由某個(gè)冪函數(shù)平移得到的，求、滿足的條件. 【答案】（1），和嚴(yán)格單調(diào)遞增，對(duì)稱中心；（2），，和嚴(yán)格單調(diào)遞減，對(duì)稱中心；.      8. 設(shè)冪函數(shù)（）的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù). （1）求的表達(dá)式；（2）記. 求實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù). 【答案】（1）；（2）【提示】（2）換元，由題意得在取最小值   D組  綜合訓(xùn)練【難度系數(shù)：★★★    參考時(shí)間：30 min】1. 下列所給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是           （填序號(hào)）. ①；②；③；④【答案】② 2. 若，則使函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R且圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的所有的值為________. 【答案】1，33. 若冪函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為       . 【答案】 4. 已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式. 【答案】或 5. 已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】【解析】在和都為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，或，或，解得或6. 已知函數(shù)，當(dāng)m取什么值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是：（1）正比例函數(shù)；（2）反比例函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)它的圖像是上升曲線？【解析】（1）由可得；（2）由可得；（3）由可得或.  7. 已知冪函數(shù)的圖像與x軸、y軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，試確定函數(shù)的表達(dá)式. 【答案】或【提示】由，又是偶數(shù)，得，1，3.

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