第十四講  二次函數(shù)及根的分布【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像并能簡單應(yīng)用；2. 掌握二次函數(shù)的最值求法；3. 掌握二次函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根的分布.  【應(yīng)知應(yīng)會(huì)】一、復(fù)習(xí)引入在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)和（）的圖像和部分性質(zhì)，那么高中階段我們又會(huì)重點(diǎn)研究二次函數(shù)的什么問題呢？ 二、知識(shí)梳理【難度系數(shù)：★★★   參考時(shí)間：20 min】（一）二次函數(shù)的定義形如（）的函數(shù)叫二次函數(shù)（quadratic functions）. 【注】（1）決定開口方向，開口大小：與圖像“全等”；（2）影響對(duì)稱軸（）【同左異右】和頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）；（3）決定與軸的交點(diǎn). （二）二次函數(shù)的圖象1. 畫出、和的圖像.            2. 畫出和的圖像.     （三）二次函數(shù)的性質(zhì)  1. 定義域：      2. 值域：，；，3. 單調(diào)性：，在區(qū)間上嚴(yán)格減，在區(qū)間嚴(yán)格增；，在區(qū)間上嚴(yán)格增，在區(qū)間嚴(yán)格減4. 對(duì)稱性：關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形5. 最值：，；，6. 與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：（1）與軸交點(diǎn)：（，）（2）與軸交點(diǎn)：，兩個(gè)不同的交點(diǎn)；，一個(gè)交點(diǎn)；，沒有交點(diǎn) 定義 對(duì)于函數(shù)，，如果存在實(shí)數(shù)，使得，我們就把叫做該函數(shù)的零點(diǎn). 【零點(diǎn)不是點(diǎn)，是數(shù)】 （四）二次函數(shù)的最值求法核心是對(duì)函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論. 一般分為：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況. 設(shè)，求在上的最大值與最小值. 分析：將配方，得對(duì)稱軸方程（1）當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上 若，則必在頂點(diǎn)取得最小值，離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最大值； 若，此時(shí)函數(shù)在上具有單調(diào)性，在離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)端點(diǎn)處取得最大值，較近端點(diǎn)處取得最小值. （2）當(dāng)時(shí)，同上. 綜上，對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖像總結(jié)如下：  （1）當(dāng)時(shí)，          （2）當(dāng)時(shí)，          （五）韋達(dá)定理與根（零點(diǎn)）的分布1. 韋達(dá)定理：一元二次方程的兩個(gè)根為，那么，. 【注意】解題過程中不能忽視對(duì)方程的判別式進(jìn)行判斷. 2. 二次函數(shù)對(duì)應(yīng)方程根的分布（實(shí)根；）【兩根異號(hào)】 一個(gè)圖像等價(jià)條件（1）不同區(qū)間，只看端點(diǎn)     （2）同一區(qū)間，要看三點(diǎn)：（開口方向），對(duì)稱軸，區(qū)間端點(diǎn)三、典型例題【難度系數(shù)：★★★   參考時(shí)間：30 min】例1. 求值域：（1），            （2），【答案】（1）；                               （2）例2. 設(shè)常數(shù)，則在區(qū)間的最大值為           . 【答案】【提示】對(duì)稱軸嚴(yán)格減例3. 已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值3，求的值. 【答案】或【提示】對(duì)稱軸漂流記，對(duì)稱軸，區(qū)間①“上游”：；②“中游”：無解；③“下游”：例4. 若和分別是一元二次方程的兩根. （1）求的值；       （2）求的值；         （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）     【解析】同第五講例7例5. 若方程的根滿足下列條件，分別求出實(shí)數(shù)的取值范圍. （1）方程兩實(shí)根均為正數(shù)；                 （2）方程有一正根一負(fù)根. 【答案】（1）；                    （2）  【提示】兩根異號(hào)例6. 若關(guān)于的方程的一個(gè)根大于1、另一根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】        【提示】不同區(qū)間，只看端點(diǎn)：A組  雙基過關(guān)【難度系數(shù)：★★   參考時(shí)間：20 min】1. 函數(shù)在上的最大值為________，最小值為________. 【答案】5； 2. 已知函數(shù)，若是其零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值是________. 【答案】23. 函數(shù)的最大值是________；最小值是________. 【答案】3；0 4. 若方程在內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【答案】 5. 若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【答案】6. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是………………………………………………………………（       ）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 不能確定【答案】C7. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是………………………………（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】A8. 已知兩根均在，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】【提示】同一區(qū)間，要看三點(diǎn)：△，對(duì)稱軸，區(qū)間端點(diǎn)【解析】  B組  鞏固提高【難度系數(shù)：★★★   參考時(shí)間：25 min】1. 函數(shù)的最大值是________，此時(shí)________. 【答案】1；2. 若函數(shù)，的最大值為M，最小值為N，則________. 【答案】83. 函數(shù)在上的最大值是           . 【答案】4. 已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是               . 【答案】5. 若函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是               . 【答案】        【提示】兩大類，和【四小類，參考C組第4題第3問】6. 函數(shù)在定義域內(nèi)有……………………………………………………………（     ）A. 最小值1  B. 最大值1C. 最小值5  D. 最大值5【答案】C7. 已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】  【提示】不同區(qū)間，只看端點(diǎn)【解析】①時(shí)，；②時(shí)，綜上，8. 已知函數(shù). （1）若有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）由題意知，方程有三個(gè)不同的解，即函數(shù)和有三個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得；（2）由題意知，函數(shù)和有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得. C組  拓展延伸【難度系數(shù)：★★★★   參考時(shí)間：30 min】1. 已知x滿足，求函數(shù)的最大值及最小值. 【解析】由令，則  當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，2. 求函數(shù)，的最大值，并作出圖像. 【答案】3. 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè). （1）求、的值；   （2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】（1）①當(dāng)時(shí)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則  解得②當(dāng)時(shí)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則  解得（舍）     綜上，，（2），可化為即，令，，則，，設(shè)，，，所以. 4. 已知二次函數(shù). （1）若有一個(gè)零點(diǎn)大于2，另一個(gè)零點(diǎn)小于2，求m的取值范圍；（2）若在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍. 【解析】（1）由，得；     （2）由，得；（3）對(duì)稱軸，①；②由，得；③由，得，或，；④由，得，或，. 綜上，. D組  綜合訓(xùn)練【難度系數(shù)：★★★    參考時(shí)間：25 min】1. 已知函數(shù)在區(qū)間(－∞，3)上是嚴(yán)格減函數(shù)，則的取值范圍是            . 【答案】2. 若函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，則________. 【答案】3. 若，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，求的最小值. 【答案】        【解析】由韋達(dá)定理得，，對(duì)稱軸故當(dāng)時(shí)，取最小值       【點(diǎn)評(píng)】此題容易忽視4. 求函數(shù)，的最大值與最小值. 【答案】①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，；③當(dāng)時(shí)，，；④當(dāng)時(shí)，，. 5. 已知為實(shí)數(shù)，試求函數(shù)的最小值. 【答案】   【提示】【注意】對(duì)稱軸，對(duì)稱軸，分段點(diǎn)【口訣】分段點(diǎn)“軸軸漂流記”，先畫每個(gè)函數(shù)全部的圖像，然后“取其一瓢飲”，進(jìn)行圖像“拼接”，特別注意，即兩部分函數(shù)圖像都經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)

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