?第03講 概率的綜合運(yùn)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1. 古典概型
（1）古典概型
考察這些試驗(yàn)的共同特征，就是要看它們的樣本點(diǎn)及樣本空間有哪些共性．可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：
①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型(classical models of probability)，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型．
（2）概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率
P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2.概率的基本性質(zhì)
一般地，概率有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．
性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知識(shí)點(diǎn)3.事件A與B相互獨(dú)立
對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立．
（1）事件A與B是相互獨(dú)立的，那么A與B， A與B， A與B也是否相互獨(dú)立.
（2）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).
【題型歸納目錄】
題型一：古典概型
題型二：概率的基本性質(zhì)
題型三：事件的獨(dú)立性
題型四：隨機(jī)模擬
題型五：概率的綜合運(yùn)用
【典型例題】
題型一：古典概型
例1．（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為6的概率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分別求得基本事件的總數(shù)和點(diǎn)數(shù)和為的事件數(shù)，由古典概率的計(jì)算公式可得所求值．
【詳解】
解：一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為種，
而點(diǎn)數(shù)和為的事件為，，，，共5種，
則點(diǎn)數(shù)和為的概率為．
故選：B．
例2．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））先后兩次拋擲同一個(gè)骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，，則，，3能夠構(gòu)成等腰三角形的概率是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，先求解基本事件總數(shù)，然后再分別列出滿(mǎn)足三角形為等腰三角形的情況，然后按照古典概型的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】
由已知，先后兩次拋擲同一個(gè)骰子，事件總數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，符合要求，有種情況；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，符合要求，有種情況；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，符合要求，有種情況；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，符合要求，有種情況；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，符合要求，有種情況；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，符合要求，有種情況；
所以能夠構(gòu)成等腰三角形的共有種情況，因此所求概率為：.
故選：C.
例3．（2022·福建·廈門(mén)一中高一階段練習(xí)）投擲兩枚骰子，分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，向量與向量的夾角為銳角的概率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量夾角公式可得，向量與向量的夾角為銳角得到，利用列舉法和古典概型即可得到所求概率.
【詳解】
設(shè)向量與向量的夾角為，則，
又因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為銳角，則；
可知，投擲兩枚骰子，分別得到點(diǎn)數(shù)，共有種等可能情況；
當(dāng)時(shí)，即有：
時(shí)，，有種情況；時(shí)，，有種情況；時(shí)，，有種情況；時(shí)，，有種情況；時(shí)，，有種情況；所以，共有種等可能情況，
則向量與向量的夾角為銳角的概率.
故選：C.
例4．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號(hào)碼1、2和3，現(xiàn)任取3面，事件“三面旗幟的顏色與號(hào)碼均不相同”所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.
【答案】6
【解析】
【分析】
用列舉法列舉基本事件，即可得到答案.
【詳解】
把基本事件列舉出來(lái)有：（紅1，黃2，藍(lán)3），（紅1，黃3，藍(lán)2），（紅2，有1，藍(lán)3），（紅2，黃3，藍(lán)1），（紅3，黃1，藍(lán)2），（紅3，黃2，藍(lán)1）.一共有6種情況.
故答案為：6
例5．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國(guó)，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個(gè)等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應(yīng)的策略，則其獲勝的概率最大為_(kāi)________.
【答案】##
【解析】
【分析】
設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場(chǎng)比賽會(huì)派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時(shí)比賽的情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】
設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，
所有比賽的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共種.
若齊王第一場(chǎng)比賽派上等馬，則第一場(chǎng)比賽田忌必輸，此時(shí)他應(yīng)先派下等馬參加.
就會(huì)出現(xiàn)兩種比賽方式：、、和、、，其中田忌能獲勝的為、、，
故此時(shí)田忌獲勝的概率最大為.
故答案為：.
例6．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）“2021年全國(guó)城市節(jié)約用水宣傳周”已于5月9日至15日舉行．成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開(kāi)展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動(dòng)，進(jìn)一步增強(qiáng)全民保護(hù)水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識(shí)．為了解活動(dòng)開(kāi)展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶(hù)的節(jié)約用水情況，隨機(jī)抽取了300名業(yè)主進(jìn)行節(jié)約用水調(diào)查評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6組：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)這300名業(yè)主評(píng)分的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)；
(2)若先用分層抽樣的方法從評(píng)分在[90，95)和[95，100]的業(yè)主中抽取5人，然后再?gòu)某槌龅倪@5位業(yè)主中任意選取2人作進(jìn)一步訪談，求這2人中至少有1人的評(píng)分在[95，100]概率．
【答案】(1)，中位數(shù)為85，平均數(shù)為84.625，眾數(shù)為87.5
(2)
【解析】
【分析】
（1）由頻率分布直方圖的的性質(zhì)，所有小矩形的面積之和為1，可解得的值，由中位數(shù)的定義，找到頻率之和為的點(diǎn)，平均數(shù)的估計(jì)值公式為每個(gè)小矩形的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)小矩形面積的乘積之和，眾數(shù)估計(jì)值為最高小矩形的中點(diǎn)；
（2）首先根據(jù)兩個(gè)分組的人數(shù)之比，采用分層抽樣的方法，得到每個(gè)分組抽取的人數(shù)，則采用列舉法，羅列多有情況和符合題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得到答案.
(1)
∵第三組的頻率為1－(0.020＋0.025＋0.030＋0.035＋0.050)×5＝0.200，

又第一組的頻率為0.025×5＝0.125，第二組的頻率為0.035×5＝0.175，
第三組的頻率為0.200．∵前三組的頻率之和為0.125＋0.175＋0.200＝0.500，
∴這300名業(yè)主評(píng)分的中位數(shù)為85．
平均數(shù)為72.5×0.025×5＋77.5×0.035×5＋82.5×0.040×5＋87.5×0.050×5＋92.5×0.030×5＋97.5×0.020×5＝84.625．
眾數(shù)為(85＋90)÷2＝87.5．
(2)
由頻率分布直方圖，知評(píng)分在[90，95)的人數(shù)與評(píng)分在[95，100]的人數(shù)的比值為3：2．
∴采用分層抽樣法抽取5人，評(píng)分在[90，95)的有3人，評(píng)分在[95，100]有2人．
不妨設(shè)評(píng)分在[90，95)的3人分別為；評(píng)分在[95，100]的2人分別為.
則從5人中任選2人的所有可能情況有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10種．
其中選取的2人中至少有1人的評(píng)分在[95，100]的情況有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共7種．
故這2人中至少有1人的評(píng)分在[95，100]的概率為.
例7．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（文））我校近幾年加大了對(duì)學(xué)生強(qiáng)基考試的培訓(xùn)，為了選擇培訓(xùn)的對(duì)象，今年我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)考試，從參加考試的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問(wèn)題：


(1)利用組中值估計(jì)本次考試成績(jī)的平均數(shù)；
(2)已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成績(jī)優(yōu)秀的概率．
【答案】(1)66.8
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算方法計(jì)算即可；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出第5組和第6組學(xué)生人數(shù)，利用列舉法寫(xiě)出基本事件，結(jié)合古典概型的概率公式即可求解.
(1)
本次考試成績(jī)的平均數(shù)為
．
(2)
第五組與第六組學(xué)生總?cè)藬?shù)為，
其中第五組有4人，記為a、b、c、d，第六組有3人，記為A、B、C，
從中隨機(jī)抽取2人的情況有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21種，
設(shè)“所抽取的2人中至少1人成績(jī)優(yōu)秀的事件”為,包含的基本事件有：aA、aB、aC、
bA、bB、bC、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有15種，
所以所抽取的2人中至少1人成績(jī)優(yōu)秀的概率．
例8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語(yǔ)文成績(jī)，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語(yǔ)文成績(jī)作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．


(1)求直方圖中的值；
(2)請(qǐng)估計(jì)本次聯(lián)考該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；
(3)樣本內(nèi)語(yǔ)文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕剩?br /> 【答案】(1)0.01；
(2)中位數(shù)是，平均數(shù)是；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用頻率分布直方圖直接列式計(jì)算作答.
（2）利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)的方法列式計(jì)算作答.
（3）求出分?jǐn)?shù)在的人數(shù)，再用列舉法結(jié)合古典概率公式計(jì)算作答.
(1)
由頻率分布直方圖得：.
(2)
由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間、的頻率分別為0.34，0.62，
因此，該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)，則，解得，
語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)為，
所以該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)是，語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)是.
(3)
由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)分別有8人和2人，
因此抽取的5人中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)有人，在內(nèi)有1人，
記內(nèi)的4人為a，b，c，d，在內(nèi)的1人為F，
從5人中任取2人的結(jié)果有：，共10個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，
選出的2人中恰有一人成績(jī)?cè)谥械慕Y(jié)果是：，
所以選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕适?
例9．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））袋中裝有個(gè)形狀、大小完全相同的球，其中標(biāo)有數(shù)字“”的球有個(gè)，標(biāo)有數(shù)字“”的球有個(gè)，標(biāo)有數(shù)字“”的球有個(gè).規(guī)定取出一個(gè)標(biāo)有數(shù)字“”的球記分，取出一個(gè)標(biāo)有數(shù)字“”的球記分，取出一個(gè)標(biāo)有數(shù)字“”的球記分.在無(wú)法看到球上面數(shù)字的情況下，首先由甲取出個(gè)球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的球.規(guī)定取出球的總積分多者獲勝.
(1)求甲、乙平局的概率；
(2)從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性.
【答案】(1)
(2)先后取球的順序不影響比賽的公平性
【解析】
【分析】
（1）記標(biāo)數(shù)字“”的球?yàn)?、，?biāo)數(shù)字“”的球?yàn)?、，?biāo)數(shù)字“”的球?yàn)椤?，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用古典概型的概率公式計(jì)算出先取者獲勝的概率，再利用對(duì)立事件的概率概率計(jì)算后取者獲勝的概率，比較大小后可得出結(jié)論.
(1)
解：記標(biāo)數(shù)字“”的球?yàn)?、，?biāo)數(shù)字“”的球?yàn)椤?，?biāo)數(shù)字“”的球?yàn)?、?br /> 則甲的可能取球共有以下種情況：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
由于個(gè)小球總分為：分，故甲、乙平局時(shí)都得分，
所以甲取出的三個(gè)小球是個(gè)數(shù)字“”的球和個(gè)數(shù)字“”的球和個(gè)數(shù)字“”的球，
即、、、、、、、，共有種情況，
故平局的概率.
(2)
解：先后取球的順序不影響比賽的公平性.理由如下：
甲獲勝，得分只能是分或分，即取出的是個(gè)數(shù)字“”的球和個(gè)數(shù)字“”的球，
或個(gè)數(shù)字“”的球和個(gè)數(shù)字“”的球，或個(gè)數(shù)字“”的球和個(gè)數(shù)字“”的球，
即、、、、、，共種情況.
故先取者獲勝的概率，后取者獲勝的概率.
即，先取后取獲勝的概率一樣，故先后取球的順序不影響比賽的公平性.

題型二：概率的基本性質(zhì)
例1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由古典概型概率公式分別計(jì)算出事件A和事件B發(fā)生的概率，又通過(guò)列舉可得事件A和事件B為互斥事件，進(jìn)而得出事件A或事件B至少有一個(gè)發(fā)生的概率即為事件A和事件B的概率之和．
【詳解】
事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶數(shù)點(diǎn)有2和4，不小于5的點(diǎn)數(shù)有5和6，
所以事件A和事件B為互斥事件，
則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查古典概型計(jì)算公式，以及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
例2．（2022·甘肅·蘭州市第三十三中學(xué)高二期末（文））某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：
污染指數(shù)
30
60
100
110
130
140
概率







其中污染指數(shù)時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時(shí)，空氣質(zhì)量為良；時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為（???????）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.
【詳解】
由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是，
由互斥事件的和的概率公式知，空氣質(zhì)量為良的概率為，
所以該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率，
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.
例3．（2022·新疆喀什·一模（理））從裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黃球的袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到紅球、白球和黃球的概率分別為，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)摸3次，則記下的顏色中有紅有白，但沒(méi)有黃的概率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
概率等于沒(méi)有黃球的概率減去只有白球或只有紅球的概率，計(jì)算到答案.
【詳解】
根據(jù)題意：概率等于沒(méi)有黃球的概率減去只有白球或只有紅球的概率.
即.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.
例4．（2022·甘肅·蘭州市第三十三中學(xué)高二期末（文））從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（???????）
A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”
B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”
C．“恰有1個(gè)白球” 和“恰有2個(gè)白球”
D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”
【答案】C
【解析】
【分析】
結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A, “至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;
對(duì)于選項(xiàng)B, “至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;
對(duì)于選項(xiàng)C, “恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球, 與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件,符合題意;
對(duì)于選項(xiàng)D, “至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.
例5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录?，根?jù)互斥事件的和即可求解.
【詳解】
因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录?br /> 所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.
例6．（2022·四川省通江中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對(duì)立事件，從而可求出答案.
【詳解】
記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對(duì)立事件，
又，
所以.
故答案為：.
例7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為_(kāi)_______.
①與為對(duì)立事件；②與是互斥事件；③與是對(duì)立事件：④；⑤.
【答案】①④
【解析】
【分析】
在①中，由對(duì)立事件定義得與為對(duì)立事件；有②中，與有可能同時(shí)發(fā)生；在③中，與有可能同時(shí)發(fā)生；在④中，（C）（E）；在⑤中，從而（B）（C）．
【詳解】
口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，
事件 “取出的兩球同色”， “取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，
“取出的2球至少有一個(gè)白球”， “取出的兩球不同色”， “取出的2球中至多有一個(gè)白球”，
①，由對(duì)立事件定義得與為對(duì)立事件，故①正確；
②，與有可能同時(shí)發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；
③，與有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故③錯(cuò)誤；
④，（C），（E），，
從而（C）（E），故④正確；
⑤，，從而（B）（C），故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①④．
【點(diǎn)睛】
本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，考查對(duì)立互斥事件，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件、互斥事件等基本概念的合理運(yùn)用．
例8．（2022·福建泉州·高一期中）已知兩個(gè)事件和互斥，記事件是事件的對(duì)立事件，且，，則_____________．
【答案】.
【解析】
先計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】
得，且事件與互斥，則
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了互斥事件和對(duì)立事件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)于互斥事件和對(duì)立事件的理解.
例9．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高一期中）下表為某班的英語(yǔ)及數(shù)學(xué)成績(jī)，全班共有學(xué)生50人，成績(jī)分為1~5分五個(gè)檔次．設(shè)x、y分別表示英語(yǔ)成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)．表中所示英語(yǔ)成績(jī)?yōu)?分的學(xué)生共14人，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?分的共5人．
y分
人數(shù)
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3

(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【答案】(1)，，；
(2)，3.
【解析】
【分析】
（1）求出事件“x=4”、“x=4且y=3”的人數(shù)，再用古典概率求解，求出“x=3”、“x=5”的概率，利用互斥事件概率公式計(jì)算作答.
（2）利用對(duì)立事件的概率公式求出事件“x=2”的概率，進(jìn)而求出a+b的值.
(1)
由數(shù)表知，x=4的事件有14人，其概率為：，
x=4且y=3的事件有7人，其概率為：且，
x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它們互斥，而，
，
因此，.
(2)
x=1的事件概率為，x=2的事件的對(duì)立事件是x=1的事件與x≥3的事件的和，它們互斥事件，
則有，
而，即有，解得，
所以x=2的概率是，a＋b的值是3.
例10．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI，為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：
AQI






級(jí)別
一級(jí)
二級(jí)
三級(jí)
四級(jí)
五級(jí)（A）
五級(jí)（B）

現(xiàn)對(duì)某城市30天的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得30個(gè)AQI數(shù)據(jù)（每個(gè)數(shù)據(jù)均不同），統(tǒng)計(jì)繪得頻率分布直方圖如圖所示．


(1)請(qǐng)由頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)這30天AQI的平均數(shù)；
(2)若從獲得的“一級(jí)”和“五級(jí)（B）”的數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)查，求“一級(jí)”和“五級(jí)（B）”數(shù)據(jù)恰均被選中的概率；
(3)假如企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與AQI（記為）的關(guān)系式為．若將頻率視為概率，在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)這天的經(jīng)濟(jì)損失S不超過(guò)600元的概率．
【答案】(1)150；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)給定條件，利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計(jì)算作答；
（2）對(duì)一級(jí)和五級(jí)（B）的5個(gè)數(shù)據(jù)編號(hào)，利用列舉法結(jié)合古典概率計(jì)算作答；
（3）求出經(jīng)濟(jì)損失S不超過(guò)600元對(duì)應(yīng)值出現(xiàn)的天數(shù)即可求解作答.
(1)
依題意，該城市這30天AQI的平均數(shù)為：
．
(2)
一級(jí)有2個(gè)數(shù)據(jù)，記為P、Q，五級(jí)（B）有3個(gè)數(shù)據(jù)，記為C、D、E，
從中選取兩個(gè)有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE，共10種可能，
一級(jí)和五級(jí)（B）數(shù)據(jù)恰均被選中有PC、PD、PE、QC、QD、QE，共6種可能．
記“一級(jí)和五級(jí)（B）數(shù)據(jù)恰均被選中”為事件M，則．
(3)
設(shè)“在本月30天中隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失不超出600元”為事件N，分兩種情況：
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)概率為；
當(dāng)時(shí)，由，得，
此時(shí)概率為．
綜上，由互斥事件的概率公式可得．
所以估計(jì)這天的經(jīng)濟(jì)損失S不超過(guò)600元的概率為．

題型三：事件的獨(dú)立性
例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（???????）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大
【答案】D
【解析】
【分析】
該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán).分別求得該棋手在第二盤(pán)與甲比賽且連勝兩盤(pán)的概率；該棋手在第二盤(pán)與乙比賽且連勝兩盤(pán)的概率；該棋手在第二盤(pán)與丙比賽且連勝兩盤(pán)的概率.并對(duì)三者進(jìn)行比較即可解決
【詳解】
該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，
記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋?br /> 則此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為
則
；
記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，
則
記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為
則
則

即，，
則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.
故選：D
?????????????
例2．（2022·福建三明·高二期中）甲?乙兩人獨(dú)立地去譯一個(gè)密碼，譯出的概率分別、，現(xiàn)兩人同時(shí)去譯此密碼，則該密碼能被譯出的概率是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)事件的相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及計(jì)算公式，再利用對(duì)立事件即可求解.
【詳解】
用事件分別表示甲?乙兩人能破譯出密碼，則，，
因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以與也都相互獨(dú)立，
所以
∴此密碼能被譯出的概率為．
故選：D.
例3．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二期中（理））甲乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則甲最終獲勝的概率為（???????）
A．0.368 B．0.468 C．0.648 D．0.848
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可得甲最終獲勝有兩種情況：一是前兩局甲獲勝，二是前兩局甲勝一局，第三局甲獲勝，然后由獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【詳解】
由題意可得甲最終獲勝有兩種情況：一是前兩局甲獲勝，則獲勝的概率為
二是前兩局甲勝一局，第三局甲獲勝，則獲勝的概率為，
而這兩種情況是互斥的，所以甲最終獲勝的概率為，
故選：C
例4．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．事件與事件是對(duì)立事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)對(duì)立事件，獨(dú)立事件的概念及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】
對(duì)于A，事件與事件是相互獨(dú)立事件，但不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，對(duì)于事件與事件，,事件與事件是相互獨(dú)立事件,故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有種，
其中，事件發(fā)生，則兩次朝下的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，有種，所以，
因?yàn)閽仈S正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以，，
所以，故C正確；
對(duì)于D，事件表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D錯(cuò)誤.
故選：C．
例5．（2022·黑龍江·海倫市第一中學(xué)高二期中）某學(xué)校餐廳就餐刷卡器是由三個(gè)電子元件按如圖所示的方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則刷卡器能正常工作.如果各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，元件1、元件2正常工作的概率都是，元件3正常工作的概率是，那么該刷卡器能正常工作的概率為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用對(duì)立事件的概率求出元器件1和2至少一個(gè)正常工作的概率，再由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.
【詳解】
該刷卡器能正常工作需要元器件1和2至少有一個(gè)正常工作，同時(shí)元器件3正常工作，
所以刷卡器能正常工作的概率.
故選：B
例6．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件A＝“兩個(gè)球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個(gè)球顏色不同”．則下列說(shuō)法正確的是（?????????????）
A．A與B相互獨(dú)立 B．A與D互為對(duì)立 C．B與C互斥 D．B與D相互獨(dú)立
【答案】ABD
【解析】
【分析】
設(shè)2個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)白球?yàn)?，，運(yùn)用列舉法得出樣本空間，及事件A、B、C、D，根據(jù)事件相互獨(dú)立、互斥、對(duì)立的概念，逐一判斷可得選項(xiàng).
【詳解】
解：設(shè)2個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)白球?yàn)?，，則樣本空間為
，
共12個(gè)基本事件，
事件，共4個(gè)基本事件；
事件，共6個(gè)基本事件；
事件，共6個(gè)基本事件；
事件，共8個(gè)基本事件；
A．由于，，，故成立，所以A與B相互獨(dú)立，故A正確；
B．由于，，故A與D是對(duì)立事件，故B正確；
C．由于，故B與C不互斥，故C不正確；
D．由于，，，故成立，所以B與D相互獨(dú)立，故D正確.
故選：ABD.
例7．（2022·北京育才學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬(wàn)人，其中約3.4萬(wàn)人患有某種職業(yè)病.為了解這種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測(cè)值為不超過(guò)6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們?cè)擁?xiàng)身體指標(biāo)的檢測(cè)值，整理得到如下統(tǒng)計(jì)圖：


(1)求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；
(2)在該指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；
(3)某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測(cè)值大于，則判斷其患有這種職業(yè)??；若檢測(cè)值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫(xiě)出使得判斷錯(cuò)誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫(xiě)出結(jié)論）.
【答案】(1)樣本患病人數(shù)為人，，；
(2)；
(3)，誤判概率為.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等比例原則求患者人數(shù)，由頻率和為1，列方程求a、b的值；
（2）分別求出樣本中指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者、患病者人數(shù)，應(yīng)用對(duì)立事件概率求法求概率；
（3）判斷且對(duì)應(yīng)的誤判率，即可得結(jié)果.
(1)
由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為，故患者人數(shù)為人；
由直方圖知：，可得，
，可得.
(2)
由題意，指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者有人，
指標(biāo)檢測(cè)值為4的患病者有人；
所以指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，這2人中有患病者的概率的概率.
(3)
若為未患病者，為患病者，為體指標(biāo)檢測(cè)值為者，
所以100名樣本中，，，







未患病者
6
21
15
9
6
3
患病者
0
0
4
8
12
16

當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54，誤判率為；
當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33，誤判率為；
當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為4、18，誤判率為；
當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9，誤判率為；
當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24，誤判率為；
綜上，當(dāng)時(shí)誤判概率最小為.
例8．（2022·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）某高校的人學(xué)面試中有4道題目，第1題2分，第2題2分，第3題3分，第4題3分，每道題目答對(duì)給滿(mǎn)分，答錯(cuò)不給分.小明同學(xué)答對(duì)第1，2，3，4題的概率分別為，，，，且每道題目答對(duì)與否相互獨(dú)立.
(1)求小明同學(xué)恰好答對(duì)1道題目的概率；
(2)若該高校規(guī)定學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)不低于6分則面試成功，求小明同學(xué)面試成功的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接計(jì)算小明答對(duì)第1題、第2題、第3題、第4題的概率相加即可；
（2）分小明答對(duì)2道題目、3道題目、4道題目面試成功，依次計(jì)算概率，再相加即可.
(1)
設(shè)事件“小明同學(xué)恰好答對(duì)1道題目”，
所以.
(2)
設(shè)事件“小明同學(xué)面試成功”.若小明同學(xué)恰好答對(duì)2道題目面試成功，則必定答對(duì)了第3題和第4題，
則小明同學(xué)恰好答對(duì)2道題目面試成功的概率；
若小明同學(xué)恰好答對(duì)3道題目，則必定面試成功，則小明同學(xué)恰好答對(duì)3道題目面試成功的概率；
若小明同學(xué)答對(duì)4道題目，則必定面試成功，則答對(duì)4道題目面試成功的概率.
所以.
例9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某市小型機(jī)動(dòng)車(chē)駕照“科二”考試中共有項(xiàng)考查項(xiàng)目，分別記作①、②、③、④、⑤.


(1)某教練將所帶名學(xué)員“科二”模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如表所示），并計(jì)算從恰有項(xiàng)成績(jī)不合格的學(xué)員中任意抽出人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)（只測(cè)不合格的項(xiàng)目），求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類(lèi)不超過(guò)項(xiàng)的概率.
(2)“科二”考試中，學(xué)員需繳納元的報(bào)名費(fèi)，并進(jìn)行輪測(cè)試（按①、②、③、④、⑤的順序進(jìn)行）；如果某項(xiàng)目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行輪補(bǔ)測(cè)；若第輪補(bǔ)測(cè)中仍有不合格的項(xiàng)目，可選擇“是否補(bǔ)考”；若補(bǔ)考則需繳納元補(bǔ)考費(fèi)，并獲得最多輪補(bǔ)測(cè)機(jī)會(huì)，否則考試結(jié)束；每輪補(bǔ)測(cè)都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行，學(xué)員在任何輪測(cè)試或補(bǔ)測(cè)中個(gè)項(xiàng)目均合格，方可通過(guò)“科二”考試，每人最多只能補(bǔ)考次，某學(xué)員每輪測(cè)試或補(bǔ)考通過(guò)①、②、③、④、⑤各項(xiàng)測(cè)試的概率依次為、、、、，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時(shí)會(huì)選擇補(bǔ)考.求該學(xué)員能通過(guò)“科二”考試的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用古典概型的概率求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類(lèi)不超過(guò)項(xiàng)的概率；
（2）先求出該學(xué)員無(wú)法通過(guò)“科二”考試的概率，再利用對(duì)立事件的概率求解.
(1)
根據(jù)題意，學(xué)員（1）、（2）、（4）、（6）、（9）恰有兩項(xiàng)不合格，
從中任意抽出人，所有可能的情況如下：
學(xué)員編號(hào)
補(bǔ)測(cè)編號(hào)
項(xiàng)數(shù)
（1）（2）
②③⑤
3
（1）（4）
②③④⑤
4
（1）（6）
③④⑤
3
（1）（9）
①③⑤
3
（2）（4）
②④⑤
3
（2）（6）
②③④⑤
4
（2）（9）
①②⑤
3
（4）（6）
②③④
3
（4）（9）
①②④⑤
4
（6）（9）
①③④⑤
4

由表可知，全部種可能的情況中，有種情況補(bǔ)測(cè)項(xiàng)數(shù)不超過(guò)，
故所求概率為；
(2)
由題意可知，該學(xué)員順利完成每輪測(cè)試（或補(bǔ)測(cè)）的概率為：
，
由題意，該學(xué)員無(wú)法通過(guò)“科二”考試，當(dāng)且僅當(dāng)其測(cè)試與次補(bǔ)測(cè)均未能完成項(xiàng)測(cè)試，
相應(yīng)概率為，故學(xué)員能通過(guò)“科二”考試的概率為
例10．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p．
(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；
(2)求系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)的概率．
【答案】(1)；
(2)0.972.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，根據(jù)對(duì)立事件的概率，進(jìn)而求得p的值；
（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可求得答案.
(1)
解：（1）設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么，解得．
(2)
解：設(shè)“系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)大于發(fā)生故障的次數(shù)”為事件D，
則．

題型四：隨機(jī)模擬
例1．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列命題正確的是
A．用事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率，重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)越大，估計(jì)的就越精確.
B．若事件與事件相互獨(dú)立，則事件與事件相互獨(dú)立.
C．事件與事件同時(shí)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小.
D．拋擲一枚均勻的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性就比反面大.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)概率的定義，事件的獨(dú)立性概念判斷各選項(xiàng)．
【詳解】
在相同的條件下做大量重復(fù)試驗(yàn),一個(gè)事件A出現(xiàn)的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)之比,稱(chēng)為事件在這次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),頻率將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近. 越大,頻率偏離這個(gè)常數(shù)較大的可能性越小.這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為這個(gè)事件的概率，并不是說(shuō)越大，估計(jì)的精度越精確，A錯(cuò)；
事件與事件相互獨(dú)立，即是否發(fā)生與是否發(fā)生無(wú)關(guān)，∴事件是否發(fā)生與事件是否發(fā)生也無(wú)關(guān)，它們相互獨(dú)立，B正確；
拋一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5記為事件，出現(xiàn)的點(diǎn)為不小于2記為事件，則事件與事件同時(shí)發(fā)生是指點(diǎn)數(shù)為2，3，4，5，概率為，而事件與中恰有一個(gè)發(fā)生是指點(diǎn)為1或6，概率為．C錯(cuò)；
拋擲一枚均勻的硬幣，如前兩次都是反面，那么第三次出現(xiàn)正面的可能性與出現(xiàn)反面的可能性還是一樣．D錯(cuò)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查概率的定義，考查事件的獨(dú)立性．掌握概念的定義是解題關(guān)鍵．
例2．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）擲兩枚骰子，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為9的概率時(shí)，產(chǎn)生的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)中，每幾個(gè)數(shù)字為一組（???????）
A．1 B．2 C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
由于是擲兩枚骰子，故根據(jù)兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為9，可得用隨機(jī)模擬方法產(chǎn)生的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)中，每2個(gè)數(shù)字為一組，可得答案.
【詳解】
擲兩枚骰子,設(shè)它們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,
則 ，由此可得用隨機(jī)模擬方法產(chǎn)生的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)中，每2個(gè)數(shù)字為一組，
故選：B
例3．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（???????）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【解析】
【分析】
由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有2組，即求.
【詳解】
解：由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有： 569, 989，故2個(gè)，
故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.
故選：A.
例4．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（???????）
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
【答案】B
【解析】
【分析】
由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.
【詳解】
由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8個(gè)，
故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.
故選：B.
例5．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的（???????）
A．概率為 B．頻率為
C．頻率為8 D．概率接近于8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)古典概型相關(guān)的概念和概率公式計(jì)算可得出答案.
【詳解】
做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的頻率為，如果多次進(jìn)行試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，那么這個(gè)常數(shù)才是事件A的概率．故為事件A的頻率．事件發(fā)生的頻數(shù)為8，所以CD都不對(duì).
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查古典概型頻率、概率、頻數(shù)的概念，考查古典概型頻率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
例6．（2022·山東濱州·高一期中）袋子中有四張卡片，分別寫(xiě)有“學(xué)、習(xí)、強(qiáng)、國(guó)”四個(gè)字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“學(xué)”“習(xí)”兩個(gè)字都取到記為事件A，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件A發(fā)生的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別代表“學(xué)、習(xí)、強(qiáng)、國(guó)”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取卡片三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：
232
321
210
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233

由此可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率為（???????）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
18組隨機(jī)數(shù)中，利用列舉法求出事件發(fā)生的隨機(jī)數(shù)有共6個(gè)，由此能估計(jì)事件發(fā)生的概率．
【詳解】
解：18組隨機(jī)數(shù)中，事件發(fā)生的隨機(jī)數(shù)有：
210，021，001，130，031，103，共6個(gè)，
估計(jì)事件發(fā)生的概率為．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考題考查概率的求法，考查列舉法、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
例7．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
907???966???191???925???271???932???812???458???569???683
431???257???393???027???556???488???730???113???537???989
據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（???????）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
【答案】B
【解析】
【分析】
已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解.
【詳解】
三次投籃共有20種，
恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種
∴該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
例8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某種樹(shù)苗的成活率為0.9，若種植這種樹(shù)苗5棵，求恰好成活4棵的概率.
問(wèn)題
（1）用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率時(shí)，如何用隨機(jī)數(shù)體現(xiàn)樹(shù)苗的成活率為0.9？
（2）用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率時(shí)，如何用隨機(jī)數(shù)體現(xiàn)種植這種樹(shù)苗5棵？
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.
【解析】
（1）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，我們用0代表不成活，1至9代表成活；
（2）因?yàn)榉N植5棵樹(shù)苗，所以5個(gè)數(shù)隨機(jī)作為一組.
【詳解】
（1）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0代表不成活，1至9代表成活，這樣可以體現(xiàn)成活率是0.9.
（2）因?yàn)槭欠N植樹(shù)苗5棵，所以每5個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.
【點(diǎn)睛】
本題考查隨機(jī)模擬的方法，和實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)概念題型.
例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4）完游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.
（1）設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫(xiě)出甲乙二人抽到的牌的所有情況；
（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？
（3）甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平，說(shuō)明你的理由.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）不公平
【解析】
【詳解】
（1）甲乙二人抽到的牌的所有情況（方片4用4’表示，紅桃2，紅桃3，紅桃4分別用2，3，4表示）為：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12種不同情況
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5種，
甲勝的概率，乙獲勝的概率為，∵
∴此游戲不公平．
考點(diǎn)：列舉法及古典概型的計(jì)算公式等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．

題型五：概率的綜合運(yùn)用
例1．（2022·山西·高一階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（???????）
A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對(duì)立
C．C與D互斥 D．A與C相互獨(dú)立
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.
【詳解】
由，，，即，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；
由，A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；
又，，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；
由，，，
所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.
故選：D
例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知數(shù)據(jù)1，2，3，4，的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大于5的概率為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
分析：由題意首先求得實(shí)數(shù)x的值，然后列出所有可能的結(jié)果，從中挑選滿(mǎn)足題意的結(jié)果結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得最終結(jié)果.
詳解：由數(shù)據(jù)1，2，3，4，x（0

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【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學(xué)高一（升高二）暑假-第05講《空間向量基本定理》講學(xué)案
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