§2.2 基本不等式知  識題  型重 要 度難  度不等式利用不等式求最值★★★★★★★☆恒成立問題★★★★★★★不等式的實際應(yīng)用★★★☆★★★☆柯西不等式柯西不等式的應(yīng)用★★☆★★★一．不等式 不等式條件取等號的條件重要不等式當(dāng)且僅當(dāng)時取等號基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時取等號使用基本不等式需注意：1.均大于0；2.①若，則當(dāng)時，則有最小值；②若，則當(dāng)時，則有最大值；3.注意等號成立的條件是否滿足.二．常用結(jié)論（1）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；（2）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；（3）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；（4）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）；（5）若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）.三．柯西不等式（補充）1.二維柯西不等式   若，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）.2.二維形式的柯西不等式的變式（1）（，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；（2），（，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；  （3）（，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）.下列推導(dǎo)過程，正確的為（    ）A．因為為正實數(shù)，所以B．因為，所以C．，所以D．因為，，所以【答案】D下列不等式恒成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】B  （多選）已知是實數(shù)，則下列一定正確的有（    ）A．B．C．若，則D．若，，則【答案】AD下列不等式一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】C若，且，則下列不等式中，恒成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D 若正實數(shù)x，y滿足2x+y=1.則xy的最大值為（    ）A．B．C．D．【答案】B已知，且，則的最大值為（    ）A．B．C．D．【答案】D已知，且滿足，則下列說法正確的是（    ）A．有最小值B．有最大值C．有最小值D．有最大值【答案】C已知，，求的最小值.【答案】64  若正實數(shù)滿足，則的最大值為______．【答案】已知正數(shù)滿足，則的最大值為______．【答案】已知為正實數(shù)，且，則的最小值是______．【答案】8若，，則的最小值為______．【答案】2若都是正數(shù)，且，則的最大值是______．【答案】 若，則取最大值時的值是______，最大值為______．【答案】已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為______，最大值為______．【答案】若，求的最大值.【答案】  若，求的最大值.【答案】   已知，求函數(shù)的最小值是       .【答案】1 已知，函數(shù)的最小值為（    ）A．4B．7C．2D．8【答案】B取得最小值時，______.【答案】4若，則函數(shù)的最小值為（    ）A．B．C．4D．5【答案】B    已知，，，則的最小值是（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】B已知，，，則的最小值為（    ）A．B．C．D．【答案】B已知，且，求的最小值.【答案】   已知正數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值為（　?。?/span>A．B．C．D．【答案】B已知，則的最小值為（　?。?/span>A．B．C．D．【答案】B若a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝2，則＋的最小值是______.【答案】3設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（　　）A．B．C．D．【答案】A已知0＜a＜1，則的最小值是（　?。?/span>A．4B．8C．9D．10【答案】C已知，，，則的最小值為______.【答案】B已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．B．C．D．【答案】C已知正數(shù)滿足，則的最大值是（    ）A．B．C．D．【答案】C已知，，且，則的最小值為（　?。?/span>A．B．C．D．【答案】C若正實數(shù)，滿足，則的最小值為（　?。?/span>A．2B．4C．8D．16【答案】C若正實數(shù)，滿足，則的最小值為（　?。?/span>A．4B．6C．18D．36【答案】B若正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】已知，，且，則的最小值是（    ）A．4B．5C．6D．9【答案】B若正數(shù)，滿足，則的最小值是______.【答案】3若，，且，則的最小值為（    ）A．25B．5C．26D．13【答案】25若正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】已知，，且，則的最小值為（    ）A．4B．8C．7D．6【答案】D已知，則的最小值是______.【答案】已知，則的最小值是______.【答案】若，則有（    ）A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2【答案】C已知，則函數(shù)的最小值是______.【答案】5   函數(shù)的最小值為（    ）A．2B．C．1D．不存在【答案】B函數(shù)的最小值為（    ）A．B．C．D．【答案】B函數(shù)的最小值是______.【答案】已知，則的最大值為______.【答案】若，則的最大值為______.【答案】 已知，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（    ）A．10B．9C．8D．7【答案】C若不等式對恒成立，則實數(shù)m的最大值為______.【答案】9對于正數(shù)，，且，若恒成立，則可以為（    ）A．3B．C．2D．1【答案】A已知不等式對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（    ）A．2B．4C．6D．8【答案】B已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．或B．或C．D．【答案】C   已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．B．C．D．【答案】A 數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofs without words，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a，BD=b，則該圖形可以完成的無字證明為（　?。?/span>    A．B．C．D．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．下圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)作的弦圖，弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若直角三角形的直角邊長分別為a和b，則該圖形可以完成的無字證明為（　?。?/span>    A．B．C．D．今有一臺壞天平，兩臂長不等，其余均精確，有人要用它稱物體的重量，他將物體放在左右托盤各稱一次，取兩次稱量結(jié)果分別為a，b，設(shè)物體的真實重量為G，則（　?。?/span>A．B．C．D．某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是P1，第三年比第二年的增長率是P2，而這兩年的平均增長率為P，在P1+P2為定值的情況下，P的最大值為（　?。?/span>A．B．C．D．建造一個容積是8m3，深2m的無蓋長方體水池，如果池底的造價為每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元，則這個水池的最低造價為（　?。?/span>A．1760元B．1860元C．1960元D．1260元如圖，在半徑為4（單位：cm）的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為______.（單位：cm2）．    如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且對角線MN過C點，已知AB=4米，AD=3米，設(shè)AN的長為x米（x＞3）．  （1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？  （2）求當(dāng)AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．         某中學(xué)德育處為了更好的開展高一社團活動，現(xiàn)要設(shè)計如圖的一張矩形宣傳海報，該海報含有大小相等的左中右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm．（1）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，并求最小值；（2）如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的2倍，那么怎樣確定海報矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，并求最小值．        如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為xm，寬為ym．（1）若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？（2）若使用的籬笆總長度為30m，求的最小值．     1.已知，則的（　?。?/span>A．最大值為2B．最小值為2C．最大值為4D．最小值為4【答案】D2.已知，那么的最大值為（　　）A．1B．C．2D．【答案】C3.已知，，若，則的最小值為（　?。?/span>A．4B．C．2D．【答案】A4.已知，，則的最大值為______．【答案】25.已知點在直線上，當(dāng)，，時，的最小值為______．【答案】166.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】97.正實數(shù)，滿足：，則當(dāng)取最小值時需滿足的條件是______；最小值為______．【答案】x=y=；98.設(shè)，均為正實數(shù)，且，則的最小值為（    ）A．8B．16C．9D．6【答案】A 9.若正數(shù)，滿足，當(dāng)取得最小值時，的值為（    ）A．2B．3C．44D．5【答案】B10.已知，為正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】211.已知，，，則的最小值為______．【答案】12.已知，，，則的最小值為______．【答案】13.已知，則的最小值是（　?。?/span>A．6B．4C．D．【答案】C14.若正數(shù)滿足，則的最小值是______． 【答案】1.對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．B．C．D．【答案】C2.已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍______．【答案】[-4，2]3.已知，，若不等式恒成立，則的最大值為______．【答案】164.已知、為兩個正實數(shù)，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】45.若對任意，恒成立，則的取值范圍是______．【答案】6.已知對任意，且，恒成立，則的取值范圍______．【答案】7.對任意滿足的正數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】1.南京第二十七高級中學(xué)為了宣傳秦淮特色和風(fēng)土人情，由同學(xué)設(shè)計一幅秦淮特色矩形宣傳畫，要求畫面面積為4000cm2，畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．如何設(shè)計畫面的高與寬的尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？        2.若某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為1200m2的矩形停車場，停車場的四周留有人行通道，設(shè)計要求停車場外側(cè)南北的人行通道寬3m，東西的人行通道寬4m，如圖所示（圖中單位：m），問如何設(shè)計停車場的邊長，才能使人行通道占地面積最??？最小面積是多少？   

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