考點(diǎn)24  直線與圓的基本量  1. 掌握直線方程的五種形式的特點(diǎn)與適用范圍,能根據(jù)問題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程;了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 .2. 理解兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式,并能進(jìn)行簡單應(yīng)用;會求兩條平行直線間的距離3. 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程,能根據(jù)問題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程;理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系,會進(jìn)行互化   圓的方程在高考題中屬于必考問題,主要是考查根據(jù)所給條件來求圓的方程 . 這類問題在高考中,既可以以小題的形式進(jìn)行考查,又可以在解答題中進(jìn)行考查,大多以中檔題為主     近五年的高考題中都有涉及,主要是解析幾何綜合問題中的直線方程的求解、直線與圓的位置關(guān)系的研究,在今后的高考中,這些依然是考查的重點(diǎn) .1. 直線方程的基本量:斜率和截距,在解決與它們有關(guān)系的問題時,要注意對斜率不存在的特殊情況的討論 . 當(dāng)直線不垂直于 y 軸但可垂直 x 軸時,我們又可以將直線方程設(shè)為 x =my+ a 的形式,這樣可以避免對斜率 k 進(jìn)行討論 .2. 直線的五種方程各有其特點(diǎn),在選用時要根據(jù)所給條件靈活使用,一般情況下,我們會選用直線的斜截式、點(diǎn)斜式方程 .3. 判定直線與直線的位置關(guān)系時,要注意所用判斷條件是否是充要條件,否則容易出現(xiàn)漏解的情況 .4. 對于光線反射問題,我們可以根據(jù)光的反射定理,將它轉(zhuǎn)化為對稱問題來加以解決5·由于直線方程和圓的方程的考查要求都是 C 級,所以近五年中有關(guān)這兩者的綜合問題是解析幾何的重點(diǎn) . 在填空題中多在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處命題,考查對動態(tài)圖形分析的能力,在解答題中則是以多個幾何圖形交匯、以位置關(guān)系為切入點(diǎn)考查直線方程和圓的方程求解,這類問題中還涉及方程思想的運(yùn)用,難度較大 .      1、【2020年天津卷】知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為_________．【答案】5【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．2、【2020年浙江卷】.設(shè)直線，圓，，若直線與，都相切，則_______；b=______．【答案】    (1).     (2). 【解析】由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：3、【2020年北京卷】.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（    ）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A【解析】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A.4、【2020年全國2卷】.若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.5、【2020年全國3卷】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（    ）A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y=x+1 D. y=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.6、【2018年高考北京卷理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos θ，sin θ）到直線的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為A．1             B．2C．3             D．4【答案】C【解析】P為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)A（2，0），所以d的最大值為OA+1=2+1=3,故選C.7、【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A．        B．C．       D．【答案】A【解析】直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，,則.點(diǎn)P在圓上，圓心為（2，0），則圓心到直線的距離.故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為，則.故答案為A.8、【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長是.若直線與圓C相切于點(diǎn)，則=___________，=___________．【答案】，【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時.    題型一   圓的方程1、(2019蘇州期末） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A(1，3)，B(4，6)，且圓心在直線x－2y－1＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【答案】 (x－5)2＋(y－2)2＝17　   由圓心既的線段AB的垂直平分線上，又在直線x－2y－1＝0上，先求出圓心的坐標(biāo)．線段AB的中點(diǎn)為M，斜率kAB＝1，所以線段AB的垂直平分線方程為y－＝－，即x＋y＝7.由得圓心C(5，2)，半徑r＝CA＝，圓C的方程為(x－5)2＋(y－2)2＝17.所以圓的方程為(x－5)2＋(y－2)2＝17.2、(2019鎮(zhèn)江期末）已知圓C與圓x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原點(diǎn)，且過點(diǎn)A(0，－6)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【答案】 (x＋3)2＋(y＋3)2＝18　【解析】由幾何知識可知，圓心C在圓 x2＋y2＋10x＋10y＝0的圓心與原點(diǎn)的連線y＝x上，又在OA的垂直平分線y＝－3上，所以C(－3，－3)，易得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.3、（2020屆山東省濱州市高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上在第三象限內(nèi)的點(diǎn)，，以線段為直徑的圓（為圓心）與直線相交于另一個點(diǎn)，，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【解析】由題意，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>，則的中點(diǎn)為，以線段為直徑的圓的方程為：；由，解得：，即；又，所以；因?yàn)?/span>，所以，整理得：，解得或，因?yàn)?/span>，所以，所以圓的方程為：，整理得：.故答案為：.4、(2019南京、鹽城一模）設(shè)A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，點(diǎn)P∈A，過點(diǎn)P引圓(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的兩條切線PA，PB，若∠APB的最大值為，則r的值為________．【答案】 1　解法1 設(shè)圓心為C.因?yàn)?/span>∠APB＝2∠APC，所以∠APC的最大值為，所以PC的最小值為2r，則＝2＝2r，即r＝1.解法2 如圖，求出滿足使∠APB最大值的點(diǎn)P軌跡，連接P點(diǎn)和圓心，由解法1可知點(diǎn)P到圓心的距離為2r.點(diǎn)P滿足軌跡(x＋1)2＋y2＝4r2，因?yàn)榇嬖谖ㄒ蛔畲笾担栽搱A和直線3x＋4y－7＝0 相切，此時滿足圓心到直線的距離d＝2r，又因?yàn)?/span>d＝2，解得r＝1.5、（2020屆北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)、距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)、的距離為3，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（   ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)，依題意有，，化簡整理得，，即，則圓的面積為．故選D．6、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知點(diǎn)在圓上，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，，，，.故選：A7、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，點(diǎn)、是圓上的動點(diǎn)，若的最大值為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】如下圖所示：原點(diǎn)到直線的距離為，則直線與圓相切，由圖可知，當(dāng)、均為圓的切線時，取得最大值，連接、，由于的最大值為，且，，則四邊形為正方形，所以，由兩點(diǎn)間的距離公式得，整理得，解得或，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.題型二、直線與圓的位置關(guān)系1、（2020屆清華大學(xué)附屬中學(xué)高三第一學(xué)期12月月考）已知直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則實(shí)數(shù)的值為（   ）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】 由題意得，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.因?yàn)?/span>為正三角形，則圓心到直線的距離為， 即，解得或，故選D.2、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知直線與直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，消去參數(shù)得，所以在以為圓心，為半徑的圓上，又點(diǎn)B是圓上的動點(diǎn)，此圓圓心為，半徑為，，∴的最大值為．故選：C.3、（2020屆北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高三第一學(xué)期（12月)月考數(shù)學(xué)試題）直線被圓截得的弦長為________.【答案】【解析】直線方程一般式為，圓心為，它到已知直線的距離為，圓半徑為，所以弦長為．故答案為：4、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線的距離，所以弦長：.故答案為：5、（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知直線過圓心，即 當(dāng)且僅當(dāng)時，又 即時等號成立，故的最小值為9.故答案為：96、（2020屆北京市順義區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）直線與圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積達(dá)到最大時,________.【答案】【解析】由圓,得到圓心坐標(biāo)為 ,半徑,把直線的方程為,整理為一般式方程得：,.圓心到直線的距離 弦的長度, ,又因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,取得最大值,最大值為.解得故答案為：7、（江蘇省南通市如皋市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期期初考）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓在軸上方交于，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為__________．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為，代入，得，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，由，得，，，，整理得：，由題可知，，則，得，聯(lián)立，解得，則，即直線的斜率為，故答案為：．8、（江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓的弦，且，若存在線段的中點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為弦的中點(diǎn),所以,在中,,,所以,所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心,為半徑的圓,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以直線與圓:有交點(diǎn),所以,即,解得,故答案為:

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