考點26  橢圓的基本量  1. 掌握橢圓定義和幾何圖形 .2. 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .3. 掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),能運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題 . 了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)的思想方法 .4. 會運用統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化到橢圓上的點到焦點距離和到相應(yīng)準(zhǔn)線距離 .   高考在橢圓部分的考查主要體現(xiàn)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，主要考點橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何意義，特別是離心率的問題，考查的形式有填空題、選擇題和解答題的第一問。    橢圓的試題,在填空題中主要考查橢圓的離心率、橢圓的定義及統(tǒng)一定義的應(yīng)用,在解答題中,主要考查直線與橢圓的綜合問題,這類問題的解法是:由直線方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組,求出交點后,再來進一步地研究問題,這類問題主要圍繞著橢圓的方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓相交時產(chǎn)生的弦長等研究來展開,一般來說,難度都不大,屬于中檔題 .在復(fù)習(xí)中也要提別注意求橢圓的離心率等性質(zhì)。    1、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A．a2=2b2  B．3a2=4b2C．a=2b  D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B.2、【2017年高考浙江卷】橢圓的離心率是A． B．C． D．【答案】B【解析】橢圓的離心率，故選B．3、【2018年高考全國Ⅱ理數(shù)】已知，是橢圓的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【解析】因為為等腰三角形，，所以，由的斜率為可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故選D．4、【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為A．  B．C．  D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．5、【2020年山東卷】.已知曲線.（    ）A. 若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B. 若m=n>0，則C是圓，其半徑為C. 若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D. 若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.6、【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點.由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)，可得，與方程聯(lián)立，可解得（舍），又點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：（焦半徑公式應(yīng)用）由題意可知，由中位線定理可得，即，從而可求得，所以.7、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．設(shè)點的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．8、【2020年全國3卷】.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點為，可得點縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當(dāng)點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.    題型一  橢圓的方程與離心率1、（北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)2019-2020學(xué)年高三第一學(xué)期12月月考）△ABC的兩個頂點坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是 (     )A． B．（y≠0）C． D．（y≠0）【答案】D【解析】 所以定點的軌跡為以A,B為焦點的橢圓，去掉A,B,C共線的情況，即 ，選D.2、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知橢圓的左、右焦點分別是，，點是橢圓上位于軸上方的一點，若直線的斜率為，且，則橢圓的離心率為________．【答案】．【解析】設(shè)，由直線的斜率為，知，且，即得，由及橢圓定義知，由余弦定理即可得，，即，化簡得，故或3（舍）即．故答案為：3、（2020·浙江高三）如圖，過橢圓的左、右焦點F1，F2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_____．【答案】【解析】作點B關(guān)于原點的對稱點B1，可得S，則有，所以．將直線AB1方程，代入橢圓方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韋達定理解得，，三式聯(lián)立，可解得離心率．故答案為：．.4、（江蘇省南通市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高三第一次調(diào)研抽測）設(shè)A，B分別為橢圓C：(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，已知橢圓C過點P(2，1)，當(dāng)線段AB長最小時橢圓C的離心率為_______.【答案】【解析】因為A，B分別為橢圓C：(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，所以，，又橢圓C過點，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，此時，所以離心率為.故答案為5、（2020年 1月北京中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試）已知F是橢圓的一個焦點，P是C上的任意一點，則稱為橢圓C的焦半徑.設(shè)C的左頂點與上頂點分別為A，B，若存在以A為圓心，為半徑長的圓經(jīng)過點B，則橢圓C的離心率的最小值為________.【答案】【解析】根據(jù)題意，存在以A為圓心，為半徑長的圓經(jīng)過點B，即的最大值應(yīng)該不小于線段的長，可得，化簡得，即，且，解得，所以橢圓C的離心率的最小值為．6、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）已知橢圓的內(nèi)接的頂點為短軸的一個端點，右焦點，線段中點為，且，則橢圓離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可設(shè)，，線段中點為，且，可得為的重心，設(shè)，，由重心坐標(biāo)公式可得，，，即有的中點，可得，，由題意可得點在橢圓內(nèi)，可得，由，可得，即有.故答案為：.7、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知方程，若該方程表示橢圓方程，則的取值范圍是_______；【答案】或【解析】因為方程，所以，所以有即或故答案為：或 8、（2020·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知直線與橢圓恰有一個公共點，與圓相交于兩點. （I）求與的關(guān)系式；（II）點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.若當(dāng)時，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.【答案】（Ⅰ）（II）【解析】（I）由，得，則 化簡整理，得； （Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時，的面積取到最大值，此時，從而原點到直線的距離， 又，故. 再由（I），得，則.  又，故，即， 從而，即.題型二、橢圓中的點坐標(biāo)1、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是C上一點，且滿足的面積為則的取值范圍是____.【答案】【解析】依題意，，所以，則，而，所以.由于，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：，所以，所以，解得.故答案為：2、(2019泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點B是橢圓C上異于左、右頂點的任一點，P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線OP交于點Q.已知橢圓C的離心率為，點A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍．    (1)根據(jù)題意，建立關(guān)于a，c的方程組，求出a，c的值，進而確定b的值，得到橢圓的s標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)出點B的坐標(biāo)為(m，n)，用m，n表示x0，然后再減元轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元函數(shù)求求其值域．也可以設(shè)出直線AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到點B和P的坐標(biāo)，進而求得直線BQ和PQ的方程，由兩直線方程聯(lián)立求得交點Q的橫坐標(biāo)x0，根據(jù)函數(shù)的值域求得x0的取值范圍．規(guī)范解答 (1) 由題意得＝，＋a＝6，解得a＝2，c＝1，所以b＝＝，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(4分)(2) 解法1設(shè)B(m，n)，則＋＝1.因為A(－2，0)，AB⊥BQ，所以直線BQ的方程為y＝－(x－m)＋n，因為P是AB的中點，所以P(，)，所以直線OP的方程為y＝x，聯(lián)立直線BQ，OP的方程得－(x－m)＋n＝x，(8分)解得x0＝，由＋＝1得n2＝－(m2－4)，代入上式化簡得x0＝m＋6，(14分)因為－2<m<2，所以4<x0<8.(16分)解法2　 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋2)，k≠0.將y＝k(x＋2)代入橢圓方程＋＝1得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，解得xB＝，所以yB＝k＝，則直線BQ的方程為y－＝－(x－)，因為P是AB的中點，則xP＝＝＝，yP＝yB＝，所以直線OP的斜率為＝－，則直線OP的方程為y＝－x，(8分)聯(lián)立直OP，BQ的方程得x0＝＝4＋，(14分)因為4k2＋3>3，所以0<<4，4<4＋<8，即4<x0<8.(16分) 直線和橢圓相交求范圍(最值)問題，第(2)問解法1設(shè)出關(guān)鍵點B的坐標(biāo)(m，n)，建立關(guān)于點中參數(shù)m，n的目標(biāo)函數(shù)，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)法或不等式法來解決；解法2通常設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，進而轉(zhuǎn)化關(guān)于x或y的一元二次方程，通過根與系數(shù)關(guān)系，運用設(shè)而不求的思想，得到點的坐標(biāo)，建立關(guān)于線中參數(shù)m的目標(biāo)函數(shù)，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)法或不等式法來解決. 這兩種解法都較常見. 解法1參量多一點，但運用得當(dāng)，也很方便，這里解法1在建立目標(biāo)函數(shù)后就顯得很簡單，解法2參量少目標(biāo)集中．3、(2019蘇州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓E的左頂點為A，點A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1) 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 過點A且斜率為的直線與橢圓E交于點B，過點B與右焦點F的直線交橢圓E于M點，求M點的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，半焦距為c，因為橢圓的離心率為，所以＝，即a＝2c，又因為A到右準(zhǔn)線的距離為6，所以a＋＝3a＝6，(2分)解得a＝2，c＝1，(4分)所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(6分)(2) 直線AB的方程為y＝(x＋2)，由得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1.則B點的坐標(biāo)為.(9分)由題意，右焦點F(1，0)，所以直線BF方程為y＝－(x－1)，(11分)由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝，(13分)所以，點M坐標(biāo)為.(14分)4、(2016徐州、連云港、宿遷三檢）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，P到橢圓C的兩個焦點的距離之和為4.(1) 求橢圓C的方程；(2) 若點M，N是橢圓C上的兩點，且四邊形POMN是平行四邊形，求點M，N的坐標(biāo)．. 規(guī)范解答 (1)由題意知，＋＝1,2a＝4. (2分)解得a2＝4，b2＝3，所以橢圓的方程為＋＝1. (4分)(2) 解法1 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則ON的中點坐標(biāo)為，PM的中點坐標(biāo)為.因為四邊形POMN是平行四邊形，所以即(6分)由點M，N是橢圓C上的兩點，所以(8分)解得或 (12分)由得由得所以點M，點N(2,0)；或點M(－2,0)，點N.(14分)解法2 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為四邊形POMN是平行四邊形，所以＝＋，所以(x2，y2)＝＋(x1，y1)，即(6分)由點M，N是橢圓C上的兩點，    所以(8分)用②－①得x1＋2y1＋2＝0，即x1＝－2－2y1，代入(1)中得3(－2－2y1)2＋4y＝12，整理得2y＋3y1＝0，所以y1＝0或y1＝－，于是或(12分)由得由得所以點M，點N(2,0)；或點M(－2,0)，點N.(14分)解法3 因為四邊形POMN是平行四邊形，所以＝，因為點P，所以|MN|＝|OP|＝＝，且kMN＝kOP＝，(6分)設(shè)直線MN方程為y＝x＋m(m≠0)，聯(lián)立得3x2＋3mx＋m2－3＝0，(*)所以Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)>0，即m2－12<0，從而m∈(－2，0)∪(0,2)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－m，x1x2＝，(8分)且|MN|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，又知|MN|＝，所以·＝，整理得m2－9＝0，所以m＝3或m＝－3.(12分)當(dāng)m＝3時，(*)可化為3x2＋9x＋6＝0，即x2＋3x＋2＝0，故x＝－1或x＝－2，代入直線MN：y＝x＋3得兩交點M(－2,0)，N；當(dāng)m＝－3時，(*)可化為3x2－9x＋6＝0，即x2－3x＋2＝0，故x＝1或x＝2，代入直線MN：y＝x－3得兩交點M，N(2,0)，所以點M，點N(2,0)；或點M(－2,0)，點N.(14分)

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