考點(diǎn)10  基本不等式   1、掌握基本不等式。2、能用基本不等式證明簡單不等式。3、能用基本不等式求最值問題。   基本不等式是江蘇數(shù)學(xué)考綱要求的c級要求，是江蘇高考試卷重點(diǎn)考查的模塊之一，在全國各地也經(jīng)?？疾榈??；静坏仁绞乔蠛瘮?shù)最值得一種重要的方式，縱觀近五年江蘇高考不難發(fā)現(xiàn)基本不等式經(jīng)常與三角函數(shù)、直線和圓等結(jié)合求函數(shù)的最值。在高考中屬于中檔題或者難題·因此在復(fù)習(xí)中要引起學(xué)生的重視。    在學(xué)習(xí)中，要掌握運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值，要注意以下幾點(diǎn)：①掌握基本不等式滿足的條件：一正、二定、三相等。②掌握基本不等式的一些常見變形，最終都要化成 的形式。③掌握基本不等式的一些常見題型和方法技巧，如三元變二元，二元變一元。以及雙換元等。在多次運(yùn)用基本不等式的時(shí)一定要保證等號成立的條件。    1、【2020年山東卷】.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確；故選：ABD2、【2020年江蘇卷】已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.∴的最小值為.故答案為：.3、【2020年天津卷】.已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號成立.故答案為：4、【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________．【答案】【解析】方法一：.因?yàn)?/span>，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號成立.[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]又因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，結(jié)合可知，可以取到3，故的最小值為.方法二：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為.5、【2018年高考天津卷理數(shù)】已知，且，則的最小值為             . 【答案】【解析】由可知，且，因?yàn)閷τ谌我?/span>x，恒成立，結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.綜上可得的最小值為.6、【2018年高考江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為___________．【答案】9【解析】由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則的最小值為.7、【2017年高考天津卷理數(shù)】若，，則的最小值為___________．【答案】【解析】，（前一個等號成立的條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．【名師點(diǎn)睛】利用均值不等式求最值時(shí)要靈活運(yùn)用以下兩個公式：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；②，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．解題時(shí)要注意公式的適用條件、等號成立的條件，同時(shí)求最值時(shí)注意“1的妙用”．8、【2017年高考江蘇卷】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則的值是___________．【答案】30【解析】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．    題型一 運(yùn)用基本不等式求函數(shù)最值1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）若，則的最小值為（    ）A．6 B． C．3 D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號成立；故選：C．2、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實(shí)數(shù)滿足則的最小值是(    )A．1 B． C．9 D．18【答案】A【解析】奇函數(shù)在R上單調(diào)，則故即 當(dāng)即時(shí)等號成立故選：3、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）如圖，在△中，點(diǎn)是線段上兩個動點(diǎn)，且 ，則的最小值為（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖可知x，y均為正，設(shè)，共線， ，，則，，則的最小值為，故選D.4、（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）設(shè)，則“”是“”的(   )A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由得，，所以是充分條件；由可得，所以是必要條件，故“”是“”的充要條件．答案選C．5、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，且.則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號，綜上可得，的最小值.故選：C.6、（2020屆浙江省寧波市余姚中學(xué)高考模擬）若正實(shí)數(shù)，滿足，則取最小值時(shí)，（    ）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵；∴，且，；∴；∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：B.7、（2020屆北京市中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中模擬統(tǒng)練（七)數(shù)學(xué)試題）已知，，且，則的最小值為_____.【答案】【解析】，，由得，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.8、（2020屆北京市陳經(jīng)綸學(xué)校高三上學(xué)期數(shù)學(xué)10月份月考試卷）已知，且.則的最大值是_________.【答案】10【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立則，即的最大值是故答案為：9、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）當(dāng)取得最小值時(shí)，______.【答案】4【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：10、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為.故填：.11、（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知直線過圓心，即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，又 即時(shí)等號成立，故的最小值為9.故答案為：912、（2020屆江蘇省七市第二次調(diào)研考試）若，則的最小值是______.【答案】8【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號成立.時(shí)，取得最小值.故答案為：13、（2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為______.【答案】.【解析】解：令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故答案為：.14、(2019常州期末） 已知正數(shù)x，y滿足x＋＝1，則＋的最小值為________．【答案】4解法1(直接消元) 由x＋＝1得y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝時(shí)取“＝”．故＋的最小值為4.解法2(直接消元) 由x＋＝1得＝1－x，故＋＝＋，以下同解法1.解法3(消元，分離常數(shù)湊定值) 同解法1，2得＋＝＋＝＋＝2＋＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時(shí)取“＝”．故＋的最小值為4.解法4(“1”的代換) 因?yàn)閤＋＝1，所以＋＝＝2＋＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即時(shí)取“＝”．故＋的最小值為4.15、(2019鎮(zhèn)江期末）已知x＞0，y＞0，x＋y＝＋，則x＋y的最小值為________．【答案】3   本題既可用權(quán)方和不等式也可運(yùn)用“1”的代換求解．解法1 因?yàn)閤>0，y>0，所以x＋y＝＋≥，得x＋y≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)取等號．解法2 x＋y＝＝＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝2時(shí)取等號．16、(2019蘇北三市期末） 已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，則b的最大值為________．【答案】. 　【解析】由a＋3b＝－，得－3b＝a＋.又a>0，所以－3b＝a＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)取等號)，即－3b≥2，又b>0，解得0<b≤，所以b的最大值為.    題型二   運(yùn)用基本不等式處理多元問題1、（江蘇省南通市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期初）已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為_______．【答案】8【解析】，2、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）已知正實(shí)數(shù)，則的最小值為______；的最小值為______.【答案】        【解析】（1）若時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)可取等號，若時(shí)，即時(shí)，，若時(shí)，即時(shí)，由知，所以，綜上可知A的最小值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)可取等號；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)可取等號；綜上所述，，時(shí)可取等號；故答案為：，．3、(2019南京、鹽城一模）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，則c的最大值為________．【答案】 　   注意到求c的最大值，所以將參數(shù)c進(jìn)行分離，為此，可以利用abc＝a＋2b＋c進(jìn)行分離得c＝＝＝1＋，從而將問題轉(zhuǎn)化為求a＋2b的最小值； 結(jié)合abc＝a＋2b＋c與ab＝a＋2b化簡得abc＝ab＋c來進(jìn)行分離得c＝＝1＋，進(jìn)而求ab的最小值． 由于所求解的c與a，b有關(guān)，而a，b不對稱，因此，將2b看作一個整體，則它與a就是對稱的，根據(jù)對稱原理可以猜想得到問題的答案．解法1 由abc＝a＋2b＋c得，c＝＝＝1＋，由ab＝a＋2b得，＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，故c≤.解法2 因?yàn)閍bc＝a＋2b＋c，ab＝a＋2b，所以abc＝ab＋c，故c＝＝1＋，由ab＝a＋2b利用基本不等式得ab≥2，故ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)等號成立，故c＝1＋≤1＋＝.解法3(對等性猜測) 因?yàn)橐阎獥l件可以改寫為“·a·2b＝a＋2b，·a·2b·c＝a＋2b＋c”，故a與2b對等，不妨設(shè)a＝2b，解得a＝2b＝4，c＝，故c的最大值為.4、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集為{x|3<x<4}，則的最小值為________．【答案】. 4　【解析】 先根據(jù)一元二次不等式的解集，確定a<0，以及a，b，c的關(guān)系，再將所求運(yùn)用消元法，統(tǒng)一成單變量a的函數(shù)問題，運(yùn)用基本不等式求最值．依題意得a<0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，即則所以＝＝＝(－24a)＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)144a2＝5，即a＝－時(shí)取等號，所以所求最小值為4.題型三  運(yùn)用基本不等式求函數(shù)含參的問題1、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（    ）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，
，所以．
故選：D．2、(2019揚(yáng)州期末） 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________．【答案】. (－∞，9]　 m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.解法1(消元法)　由x＋4y－xy＝0，得y＝，因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，所以y>0，x>4，則x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時(shí)，等號成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法2(“1”的代換)　因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6，y＝3時(shí)，等號成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法3(函數(shù)法)　令t＝x＋y，則y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，則x>4，故t>4，從而t≥9.所以m≤9.3、(2018南京、鹽城一模）若不等式ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC對任意△ABC都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為________．【答案】100　本題首先用正弦定理將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊，然后再利用三角形中的邊的不等關(guān)系，消元后轉(zhuǎn)化為二元問題研究．二元問題的最值問題，可以用基本不等式來處理．解法1(函數(shù)的最值) 因?yàn)閗sin2B＋sinAsinC>19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2＋ac>19bc，即k>.因?yàn)?/span>△ABC為任意三角形，所以a>|b－c|，即<＝當(dāng)0<≤1時(shí)，＋18≤19；當(dāng)>1時(shí)，－＋20≤100，即的最大值為100，所以k≥100，即實(shí)數(shù)k的最小值為100.解法2(基本不等式) 因?yàn)閗sin2B＋sinAsinC>19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2＋ac>19bc，即k>.又＝.因?yàn)閏<a＋b，所以<1＋，即<≤＝100(要求最大值，19－至少大于0)．當(dāng)且僅當(dāng)1＋＝19－，即＝9時(shí)取等號．    

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