(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)過關(guān)練考點(diǎn)21 空間幾何體的面積與體積（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)21 空間幾何體的面積與體積     1. 直觀了解柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的概念的理解不作過高要求,復(fù)習(xí)時(shí)不要過分挖深 .2. 多面體與旋轉(zhuǎn)體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題,要適當(dāng)強(qiáng)化,體現(xiàn)了空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化 .3. 柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積的計(jì)算可能會(huì)在高考填空題中出現(xiàn),注意體現(xiàn)不同幾何體之間的聯(lián)系,同時(shí)注意與平面幾何中的面積等進(jìn)行類比   立體幾何中的計(jì)算作為江蘇考綱必考知識(shí)點(diǎn)，每年都會(huì)考查，但是江蘇高考對(duì)立體幾何中的運(yùn)算要求比較簡(jiǎn)單，近要求計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的體積與表面積等簡(jiǎn)單的運(yùn)算。在全國(guó)其他地區(qū)還考查給出三視圖求幾何體的面積與體積的問題。從近幾年各地高考試題可以發(fā)現(xiàn)幾何體主要考查柱、錐、球的表面積與體積，因此，在復(fù)習(xí)中要注意把握深度。    把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是認(rèn)識(shí)幾何體的一個(gè)重要方面,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ) . 在學(xué)習(xí)過程中,要通過互相對(duì)比的方式來(lái)把握它們的實(shí)質(zhì)與不同,既要看到它們之間的不同,也要理解它們之間的聯(lián)系,這樣才能理解它們之間的共性和個(gè)性,做到心中有數(shù),心中有圖 . 近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題,也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題 . 即使考查空間線面的位置關(guān)系問題,也常以幾何體為依托,因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式 . 同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,會(huì)把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題,會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問題,會(huì)把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解 .     1、【2020年江蘇卷】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半輕為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為： 2、【2020年全國(guó)1卷】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（    ）
  A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C. 3、【2020年全國(guó)1卷】已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（    ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A  4、【2020年全國(guó)2卷】.已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（    ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.5、【2020年全國(guó)3卷】已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.6、【2020年天津卷】若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（    ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C.7、【2020年山東卷】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（    ） A. 20° B. 40°C. 50° D. 90°【答案】B【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B8、【2020年浙江卷】已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得.故答案為：9、【2020年山東卷】.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．【答案】.【解析】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>60°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?/span>，所以側(cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?/span>，，所以，所以側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?/span>，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?/span>，所以，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：.10、【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A．  B．C．  D．【答案】D【解析】解法一：為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法二：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，為的中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.11、【2019年高考浙江卷】祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是A．158 B．162   C．182 D．324【答案】B【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為.故選B. 12、【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A．    B．C．    D．【答案】A【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理，平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.13、【2018年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A．        B．C．        D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，，,點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，，故選B.    題型一柱的表面積與體積1、（2020屆北京市西城區(qū)師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三摸底數(shù)學(xué)試題）正四棱柱中，，，則以、、、為頂點(diǎn)的四面體的體積為___________.【答案】【解析】如圖所示：四面體的體積等于正四棱柱的體積減去四個(gè)三棱錐的體積，即故答案為： 2、（2020屆清華大學(xué)附屬中學(xué)高三第一學(xué)期10月月考）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面內(nèi)，點(diǎn)在線段上，若，則長(zhǎng)度的最小值為_____.【答案】【解析】過點(diǎn)作平面，垂足為，則點(diǎn)在線段上，連接, 在中，，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，則，即到直線的最短距離為，又，當(dāng)時(shí)，此時(shí), 所以.3、（2020屆江蘇省七市第二次調(diào)研考試）如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn)，上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為，，則的值是______.【答案】【解析】由題得，，得.故答案為：4、（2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)有一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，將其高溫融化后鑄成一個(gè)底面圓半徑為的圓柱狀實(shí)心鐵器（不計(jì)損耗），則該圓柱鐵器的高為____.【答案】4.【解析】根據(jù)題意球圓錐，設(shè)圓柱鐵器的高為
整理得，
解得.
故答案為：4.  5、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為__________；若該六面體內(nèi)有一小球，則小球的最大體積為___________．【答案】        【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以該六面體的表面積為.（2）由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，每個(gè)三角形面積是，六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是.由于圖像的對(duì)稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐，設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.5、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）已知正四棱柱的底面長(zhǎng)是3 cm，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3 cm，則這個(gè)正四棱柱的體積為________cm3.【答案】54【解析】由題意知，正四棱柱的高為＝6，所以它的體積V＝32×6＝54，故答案為54.6、(2019常州期末）已知圓錐SO，過SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為________．【答案】　【解析】設(shè)圓錐底面半徑為2r，高為2h，則圓柱底面圓半徑為r，高為h，所以＝＝.7、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一））已知圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為________．【答案】 2π　【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則l＝，0<r<1.圓柱的側(cè)面積為S＝2πrl＝2πr＝4π≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝1－r2，即r＝時(shí)取“＝”，所以這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為2π.8、(2019南京三模）有一個(gè)體積為2的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)?寬?高依次為a，b，1．現(xiàn)將它的長(zhǎng)增加1，寬增加2，且體積不變，則所得新長(zhǎng)方體高的最大值為   ▲   ．【答案】【解析】依題意有：a×b×1＝2，所以，ab＝2，設(shè)新長(zhǎng)方體高為h，則（a＋1）（b＋2）h＝2，化簡(jiǎn)為：h＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即時(shí)，h有最大值為.題型二錐的表面積與體積 1、（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】因?yàn)榫€面平行，所求求線面距可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離，選用等體積法．平面，到平面的距離等于到平面的距離，由題計(jì)算得，在中，，邊上的高，所以，所以，利用等體積法，得:,解得:2、（江蘇省南通市、泰州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末）在正三棱柱ABC ? A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，則三枝錐A1 ? BB1C1 的體積為______.【答案】【解析】因?yàn)檎庵?/span>,則底面,是等邊三角形又因?yàn)?/span>,則三棱柱各棱長(zhǎng)均為2,則,故答案為：3、（2020屆江蘇省南通市、泰州市高三上學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研）在正三棱柱ABC ? A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，則三枝錐A1 ? BB1C1 的體積為______.【答案】【解析】因?yàn)檎庵?/span>,則底面,是等邊三角形又因?yàn)?/span>,則三棱柱各棱長(zhǎng)均為2,則,故答案為：4、（江蘇省南通市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期初）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積是______.【答案】【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為，故.故圓錐的高，圓錐體積為.故答案為：.5、（2020屆江蘇省如皋中學(xué)、徐州一中、宿遷中學(xué)三校高三聯(lián)合考試）如圖，在正三棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，若的面積為，則三棱錐的體積為______.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)槿忮F是正三棱錐，且所以和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，所以所以，解得因?yàn)?/span>所以平面所以故答案為：6、（2019年11月北京中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試測(cè)試文科數(shù)學(xué)試題（一卷)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是、的中點(diǎn)，過點(diǎn)、、的截面將正方體分割成兩部分，則較小部分幾何體的體積為__________.【答案】【解析】如下圖所示，延長(zhǎng)分別交、的延長(zhǎng)線于、，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，再連接、，則該截面截正方形的截面為五邊形.，則，則，，為的中點(diǎn)，則，，，同理，，，，，在中，，則，，，，所以，正方體位于截面下方的幾何體體積為.因此，較小部分幾何體的體積為.故答案為：.7、（2020·蒙陰縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，，.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的為（    ）A．平面B．面C．四棱錐外接球的表面積為D．四棱錐的體積為6【答案】BC【解析】作圖在四棱錐中：由題：側(cè)面平面，交線為，底面為矩形，，則平面，過點(diǎn)B只能作一條直線與已知平面垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；連接交于，連接，中，∥，面，面，所以面，所以選項(xiàng)B正確；四棱錐的體積是四棱錐的體積的一半，取中點(diǎn)，連接，，則平面，，四棱錐的體積所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.矩形中，易得，中求得：在中即：，所以O為四棱錐外接球的球心，半徑為，所以其體積為，所以選項(xiàng)C正確故選：BC8、(2019揚(yáng)州期末）底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3的圓錐的體積是________．【答案】【解析】圓錐的高為h＝＝2，圓錐的體積V＝×π×12×2＝. 9、(2019鎮(zhèn)江期末）已知一個(gè)圓錐的底面積為π，側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為________．【答案】　【解析】先求出圓錐的底面半徑和高．設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長(zhǎng)分別為r，h，l，則解得所以h＝.圓錐的體積V＝Sh＝.10、(2019泰州期末）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)M為棱AA1的中點(diǎn)，記三棱錐A1MBC的體積V1，四棱錐A1BB1C1C的體積為V2，則的值是________．【答案】　【解析】解法1(割補(bǔ)法)　設(shè)△ABC的面積為S，三棱柱的高為h，則V1＝VA1ABC－VMABC＝Sh－S×h＝Sh，V2＝VABCA1B1C1－VA1ABC＝Sh－Sh＝Sh，所以＝·＝.解法2(等積轉(zhuǎn)換)　V1＝VBA1MC＝VBA1AC＝VA1ABC，V2＝2VA1BC1B1＝2VBA1B1C1＝2VA1ABC，所以＝. 計(jì)算幾何體的體積一般可以選用等積轉(zhuǎn)換和割補(bǔ)法這兩種方法，要注意多觀察，將所求的體積合理地轉(zhuǎn)化. 11、(2019蘇北三市期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則該正四棱錐的側(cè)面積為________．【答案】 . 8　【解析】：如圖，在正四棱錐中，BC＝2，SO＝1，取BC的中點(diǎn)E，連續(xù)OE，SE，則OE＝BC＝，側(cè)面是四個(gè)全等的等腰三角形，設(shè)側(cè)面積為S，則S＝4S△SBC＝4··SE·BC＝2··2＝2··2＝8.所以正四棱錐的側(cè)面積為8. 這個(gè)題首先要弄清楚正四棱錐的定義(底面是正方形的四棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)，弄清楚四棱錐的高SO和斜高SE，以及高和斜高之間的勾股關(guān)系(SE2＝SO2＋OE2)．12、（北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校2019--2020學(xué)年高三上學(xué)期期末）在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，平面平面，為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】（1）連接．∵平面平面，平面平面，且，平面，∴平面，                            而平面，∴，又，則有，∵四邊形是菱形，，∴為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，                        ∵為的中點(diǎn)，∴，即，又，∴平面.（2）由（1）得，又，∵平面，而平面，∴，又，則有，所以的面積為．    由（1）可知平面，三棱錐的體積．    題型三球的表面積與體積1、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（     ）A．            B．              C．             D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B.2、（2020·河南高三期末（文））張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，底面，，且，，利用張衡的結(jié)論可得球的表面積為（    ）A．30 B． C．33 D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，所以，又底面，所以球的球心為側(cè)棱的中點(diǎn)，從而球的直徑為.利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球的表面積為.故選：B3、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造以其為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線即為球的直徑，三條棱長(zhǎng)分別為1,1，，所以，球面積，故選C.4、（江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期階段考試）現(xiàn)有一個(gè)橡皮泥制作的圓錐，底面半徑為1，高為4.若將它制作成一個(gè)總體積不變的球，則該球的表面積為_______.【答案】【解析】由題意知,圓錐的體積為.設(shè)球的半徑為則,解得.所以表面積為.故答案為:.5、(2019蘇州期末）如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為________．【答案】 2【解析】正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為a＝2，面積S＝a2＝3，高h(yuǎn)＝2.所以正三椎錐的體積V＝Sh＝2.6、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）設(shè)P，A，B，C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，則球O的表面積為________m2.【答案】 29π　解析：根據(jù)題意，可知三棱錐PABC是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，如圖所示，該長(zhǎng)方體的外接球就是經(jīng)過P，A，B，C四點(diǎn)的球，因?yàn)镻A＝2，PB＝3，PC＝4，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為＝，即外接球的直徑2R＝，可得R＝，因此外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×＝29π，幾何體的外接球問題，關(guān)鍵要找到球心所在的位置，進(jìn)而確定半徑的值，本題抓住PA，PB，PC兩兩垂直，將其補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球的問題，這一類題在各類考題中常有出現(xiàn)，同學(xué)們一定要掌握其方法．

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