?1.2 集合間的基本關系

一、單選題
1．已知集合，則（　?。?br /> A． B． C． D．ü
【答案】C
【分析】由，知集合與集合都是奇數集，利用集合與集合間的關系，即可求出結果.
【詳解】因為集合，集合，
所以集合與集合都是奇數集，所以，
故選：C.
2．下列與集合表示同一集合的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據集合的定義及表示方法求解即可.
【詳解】由解得或，
所以，C正確；
選項A不是集合，選項D是兩條直線構成的集合，選項B表示點集，
故選：C
3．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中錯誤的個數是（????）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】由元素與集合的關系，集合與集合的關系考查所給式子是否正確即可．
【詳解】由元素與集合的關系可知，故①錯誤；
由集合與集合的關系可知，故②錯誤；
任何集合都是自身的子集，故③正確；
空集是任何非空集合的子集，故④正確；
集合中的元素具有互異性和無序性，故⑤正確；
綜上可得，只有①②錯誤．
故選B．
4．給出下列關系式:①；②?；③；④，其中錯誤的個數是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據元素與集合的關系的定義，可知①正確；根據空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判斷②正確；集合與集合間的關系：與，而不是與，可判斷③錯誤；根據集合中元素滿足：互異性，無序性，確定性，可判斷④正確.
【詳解】對于①，根據元素與集合的關系知，，所以①正確；
對于②，因為空集是任何集合的子集，所以②正確；
對于③，集合與集合間的關系是包含與不包含的關系，所以是錯誤的，故③錯誤；
對于④，根據集合中元素的無序性和集合相等的定義知，，所以④正確.
故選：A.
5．有下列四個命題：①；②③若，則；④集合有兩個元素；⑤集合是有限集.；其中正確命題的個數是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據空集的概念和性質得到①正確，根據元素和集合的關系得到②正確；舉出反例得到③錯誤；求出，得到④錯誤；求出，判斷⑤正確.
【詳解】①因為是任何集合的子集，所以，①正確；
②是的一個元素，故，②正確；
③若，滿足，，故③錯誤；
④，集合有1個元素，故④錯誤；
⑤集合，故是有限集，⑤正確.
故選：C
6．若集合,則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據集合,判斷元素是否在集合內即可選出結果.
【詳解】解:因為,
所以.
故選：D
7．已知非空集合滿足:對任意，總有，且.若，則滿足條件的的個數是（????）
A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】由題意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時出現的集合，即可求解.
【詳解】當中有元素時，，
當中有元素時，，
所以，
所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時出現的集合，
故滿足題意的集合有，共11個.
故選：A.
8．若一個集合含有n個元素，則稱該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個數為（????）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根據子集的定義即可求解.
【詳解】集合的所有“2元子集”為，，，，，共6個.
故選：A.
9．設集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個數為（????）
A．4 B．6 C．7 D．15
【答案】B
【分析】求得集合，即可求得結果.
【詳解】根據題意知，集合且，其非空真子集的個數為.
故選：B
10．已知非空集合M?{1，2，3，4，5}，若a∈M，則6-a∈M，那么集合M的個數為（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由條件知集合M的元素性質,分類討論驗證即可.
【詳解】∵a∈M，6-a∈M，M?{1，2，3，4，5}，∴3在M中可單獨出現，1和5，2和4必須成對出現，逐個分析集合M元素個數：
一個元素時，為{3}；
兩個元素時，為{1，5}，{2，4}；
三個元素時，為{3，1，5}，{3，2，4}；
四個元素時，為{1，5，2，4}；
五個元素時，為{1，5，3，2，4}，共7個.
故選：C
11．已知集合，，若，則實數組成的集合為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據集合的包含關系得集合之間元素的關系，列方程求解即可.
【詳解】，，，
或，
解得或或，
故實數組成的集合為.
故選：C.
12．集合，則的子集的個數為（????）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】D
【分析】先求出，再找出中6的正約數，可確定集合，進而得到答案．
【詳解】集合，,
，
故有個子集.
故選：D．
13．已知集合，，且，則實數的取值構成的集合為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解出集合A，根據，分類討論求出實數.
【詳解】.
因為，所以，，.
當時，關于x的方程無解，所以；
當時，是關于x的方程的根，所以；
當時，是關于x的方程的根，所以.
故實數的取值構成的集合為.
故選：D
14．設集合，，，，其中a，，下列說法正確的是（????）
A．對任意a，是的子集，對任意的b，不是的子集
B．對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集
C．存在a，使得不是的真子集，對任意的b，是的子集
D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集
【答案】B
【分析】結合參數取值情況，根據集合間元素的關系確定子集關系是否成立，即可判斷.
【詳解】解：對于集合，
可得當，即，可得，即有，可得對任意a，是的子集；
當時，，，可得是的子集；
當時，，且，可得不是的子集；
綜上有，對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.
故選：B.
15．已知集合，對于它的任一非空子集A，可以將A中的每一個元素k都乘以再求和，例如，則可求得和為，對S的所有非空子集，這些和的總和為
A．508 B．512 C．1020 D．1024
【答案】B
【分析】由集合的子集個數的運算及簡單的合情推理可得；這些總和是.
【詳解】因為元素在集合S的所有非空子集中分別出現次，則對S的所有非空子集中元素k執(zhí)行乘以再求和操作,則這些和的總和是.
故選B
【點睛】本題主要考查了集合的子集及子集個數，簡單的合情推理，屬于中檔題.

二、多選題
16．下列關系式正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據元素與集合、集合與集合間的關系判斷.
【詳解】對于A.元素與集合間是屬于與不屬于的關系，故A錯誤；
對于B.含有一個元素0，不是空集，故B錯誤；
對于C.集合的元素具有無序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正確；
對于D.空集是任何集合的子集，故D正確.
故選：CD．
17．已知集合，則以下關系正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據元素與集合，集合與集合的關系逐項判斷即可.
【詳解】因為，
所以，，故A正確；，故B錯誤；ü，故C錯誤，D正確.
故選：AD.
18．下列說法正確的有（????）
A．集合有16個真子集 B．對于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若ü，則
【答案】BCD
【分析】根據集合的真子集個數公式判斷A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判斷B、C、D.
【詳解】集合有4個元素，故其有個真子集，故A錯誤；
空集是任何集合的子集，則，故B正確；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正確；
空集是任何非空集合的真子集，若ü，則，故D正確.
故選：BCD.
19．下列各組中表示相同集合的是（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根據相同集合的意義，逐項分析判斷作答.
【詳解】對于A，集合M，P含有的元素相同，只是順序不同，由于集合的元素具有無序性，因此它們是相同集合，A是；
對于B，因為，則，因此集合M，P都表示所有偶數組成的集合，B是；
對于C，，即，C是；
對于D，因為集合M的元素是實數，集合P中元素是有序實數對，因此集合M，P是不同集合，D不是.
故選：ABC
20．已知集合，，若，則實數的值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由集合與集合的關系，對選項依次辨析即可.
【詳解】對于A，時，，有，故選項A正確；
對于B，時，，有，故選項B正確；
對于C，時，，有，故選項C正確；
對于D，時，，集合不滿足集合元素的互異性，故選項D不正確.
故選：ABC.
21．給出下列四個結論，其中正確的結論有（????）
A．
B．若，則
C．集合是無限集
D．集合的子集共有4個
【答案】BCD
【分析】根據已知條件，結合空集、子集的定義，以及，的含義，即可求解．
【詳解】對于A：是指不含任何元素的集合，故A錯誤；
對于B：若，則，故B正確；
對于C：有理數有無數個，則集合是無限集，故C正確；
對于D：集合元素個數為2個，
故集合的子集共有個，故D正確．
故選：BCD．
22．已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（????）
A． B．
C． D．且
【答案】ACD
【分析】把三次方程因式分解求根，即可化簡集合B，然后利用集合關系即可判斷.
【詳解】對于選項A，方程，因式分解得，
解得，所以，滿足，所以選項A正確；
對于選項B，方程，因式分解得，
解得或，所以，不滿足，所以選項B錯誤；
對于選項C，方程，因式分解得，
解得，所以，滿足，所以選項C正確；
對于選項D，因為，所以是方程的解，
所以方程變形為，
因為，所以方程無解，
所以方程有唯一解，
所以，滿足，所以選項D正確；
故選：ACD.
23．設集合，則對任意的整數，形如的數中，是集合中的元素的有
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】將分別表示成兩個數的平方差，故都是集合中的元素，再用反證法證明.
【詳解】∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
若，則存在使得，
則和的奇偶性相同.
若和都是奇數，則為奇數，而是偶數，不成立；
若和都是偶數，則能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.
故選ABD.
【點睛】本題考查集合描述法的特點、代表元元素特征具有的性質，考查平方差公式及反證法的靈活運用，對邏輯思維能力要求較高.

三、填空題
24．滿足的集合M共有___________個.
【答案】7
【分析】根據集合的基本關系，可得集合M包含，且集合M是的真子集，即可得出集合M的個數.
【詳解】由題意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集，
所以或或或或或或,
即集合M共有個.
故答案為：
25．已知集合，且，則實數a的值是_________．
【答案】-3
【分析】根據得出是方程的解，將代入方程中進行計算，即可得出結果.
【詳解】因為，，，
所以是方程的解，
即，解得.
經檢驗，符合題意，所以.
故答案為：.
26．設，，，若，則______．
【答案】0或
【分析】由集合相等，建立方程組求解即可.
【詳解】當時，，滿足，則；
當時，，滿足，則；
故答案為：0或
27．已知，，且ü，則a的取值范圍為_________．
【答案】
【分析】求得集合，根據ü，分和兩種情況討論，即可求解.
【詳解】由題意，集合，
當時，即，解得，此時滿足ü，
當時，要使得ü，則或，
當時，可得，即，此時，滿足ü；
當時，可得，即，此時，不滿足ü，
綜上可知，實數的取值范圍為.
故答案為：.
28．給定集合，對于，如果，那么x是S的一個“好元素”，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個．
【答案】6
【分析】根據題意，要使S的三個元素構成的集合中不含好元素，只要這三個元素相連即可，所以找出相連的三個數構成的集合即可．
【詳解】若不含好元素，則集合S中的3個元素必須為連續(xù)的三個數，
故不含好元素的集合共有，
共有6個.
故答案為：6．

四、解答題
29．設集合，，且．
(1)求實數的取值范圍；
(2)當時，求集合A的子集的個數．
【答案】(1){或}
(2)

【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分類討論求解；
（2）確定集合中元素（個數），然后可得子集個數．
（1）
當即時，，符合題意；
當時，有，解得．
綜上實數的取值范圍是或；
（2）
當時，，所以集合的子集個數為個．
30．已知
(1)當時，寫出集合的所有子集，共有多少個？
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；
(2).

【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；
（2）由集合間的關系列出關于的不等式，求解即可.
（1）
當時，,
所以集合的子集有，
所以共有8個子集.
（2）
因為，所以，解得，
所以實數的取值范圍為．
31．設集合，.
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）當時，求的非空真子集個數；
（3）當時，不存在元素使與同時成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）（2）254 （3）
【分析】（1）對集合B分空集和非空集兩種情況討論得解；（2）當時，，再求的非空真子集個數；（3）分和兩種情況討論得解.
【詳解】（1）當，即時，，滿足.
當，即時，要使成立，
只需即.
綜上，當時，的取值范圍是.
（2）當時，，
∴集合的非空真子集個數為.
（3）∵，且，，
又不存在元素使與同時成立，
∴當，即，得時，符合題意；
當，即，得時，
或解得.
綜上，所求的取值范圍是.
【點睛】本題主要考查集合的關系和真子集的個數的計算，考查集合的元素和集合的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
32．已知，，，求的取值范圍.
【答案】
【解析】先求解出集合，然后根據分別考慮和的情況，由此求解出的取值范圍.
【詳解】因為，所以，所以，
當時，滿足，此時，所以；
當時，若，則有，所以，
綜上可知：，即.
【點睛】本題考查根據集合的包含關系求解參數范圍，其中涉及分類討論的思想，難度一般.根據集合的包含關系求解參數范圍時，一定要注意分析集合為空集的情況.
33．（1）已知集合，當，求的值；
（2）已知集合，，若，求實數的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）分，，三種情況，分別求得的值，再代入驗證集合中的元素是否滿足互異性可得答案；
（2）先求得集合，借助數軸可得的取值范圍．
【詳解】（1）若，則，，不合題意；
若，則或-2，當時，，當時，，不合題意；
若，則或-2，都不合題意；因此，所以．
（2），，∴借助數軸可得，

的取值范圍為．
【點睛】易錯點點睛：由已知集合間的關系，元素與集合間的關系求參數的值時，注意將求得的參數的值代入集合中驗證：集合中的元素是否滿足互異性.
34．已知集合，，
(1)若集合，求實數的值；
(2)若集合，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）先化簡集合，然后根據條件即可確定實數的值；
（2）由條件集合知，集合中至多有2個元素，對集合中的元素個數進行分類討論即可.
（1）
易知集合，由得： 或，解得：.
（2）
（1）當時滿足；
（2）當時
①當即時，滿足，.
②當即時，，不滿足.
③當即時，滿足，只能， 無解.
綜上所述：或.
35．已知集合為非空數集，定義：
(1)若集合，請直接寫出集合：
(2)若集合，且，求證：；
【答案】(1)
(2)見解析

【分析】（1）根據題目中的定義直接寫出兩個集合即可；
（2）由，可得，寫出的所有可能取值，再根據集合相等的定義即可得證.
（1）
解：因為，
，
所以；
（2）
證明：由，
得，
則可取，
又因為，
所以，
剩下的元素滿足，
所以.
36．已知集合.
(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；
(2)集合,證明：B是A的真子集.
【答案】(1)，，.
(2)證明見解析

【分析】（1）根據集合的定義即可判斷；
（2）由即可證明.
【詳解】（1）∵，，∴，，
假設，m，，
則，且，
∵，或，
顯然均無整數解，∴，
∴，，.
（2）∵集合，
則恒有，∴，
∴即一切奇數都屬于A，故B是A的子集.
又∵，，
所以B是A的真子集.
37．已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或或.

【分析】（1）先求出集合，再利用條件，根據集合與集合間的包含關系，即可求出值；
（2）對集合進行分類討論：和，再利用集合與集合間的包含關系，即可求出的范圍；
【詳解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的兩根為或，
利用韋達定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以時，則，即，解得或；
當時，
若B中僅有一個元素，則，即，解得，
當時，，滿足條件；當時，，不滿足條件；
若B中有兩個元素，則，利用韋達定理得到，，解得，滿足條件.
綜上，實數a的取值范圍是或或.
38．已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且與有包含關系，求的取值范圍.
【答案】(1)5
(2)

【分析】（1）利用集合相等的條件求的值；
（2）由與有包含關系得，再利用集合子集的元素關系分類討論求解即可.
【詳解】（1）因為，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因為A與C有包含關系，，至多只有兩個元素，
所以.
當時，，滿足題意；
當時，
當時，，解得，滿足題意；
當時，且，此時無解；
當時，且，此時無解；
當時，且，此時無解；
綜上，a的取值范圍為.


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