第三章綜合測(cè)試題考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)x2－＝1的漸近線(xiàn)的距離是( B )A.　　　　  B． C．1　　　　  D．[解析]　拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，到雙曲線(xiàn)x2－＝1的一條漸近線(xiàn)x－y＝0的距離為＝，故選B.2．已知0<θ<，則雙曲線(xiàn)C1：－＝1與C2：－＝1的( D )A．實(shí)軸長(zhǎng)相等  B．虛軸長(zhǎng)相等C．離心率相等  D．焦距相等[解析]　雙曲線(xiàn)C1和C2的實(shí)半軸長(zhǎng)分別是sin θ和cos θ，虛半軸長(zhǎng)分別是cos θ和sin θ，半焦距都等于1，故選D.3．(2023·淮北高二檢測(cè))焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為8，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( C )A.＋＝1　　  B．＋＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　由題意知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，且2b＝8，所以b＝4，所以a2－c2＝b2＝16，又e＝＝，所以可得c＝3，a＝5，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.4．拋物線(xiàn)y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為( B )A.　　  B．C.  D．0[解析]　拋物線(xiàn)y＝4x2可化為x2＝y，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程l：y＝－，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y0，由拋物線(xiàn)定義知：y0＋＝1，解得y0＝.5．關(guān)于橢圓有下面四個(gè)命題：甲：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；乙：短軸長(zhǎng)為3；丙：離心率為；?。簷E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為3.若只有一個(gè)假命題，則該命題是( B )A．甲  B．乙 C．丙  D．丁[解析]　當(dāng)命題甲乙為真命題時(shí)，a＝2，b＝，則c＝，離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為2＋，不成立；當(dāng)命題甲丙為真命題時(shí)，a＝2，e＝，故c＝1，b＝，短軸長(zhǎng)為2，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為3，成立，故甲，丙，丁為真命題，乙為假命題；當(dāng)命題乙丙為真命題時(shí)，b＝，e＝，故a＝，c＝，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為；當(dāng)命題乙丁為真命題時(shí)，b＝，a＋c＝3，不存在；故選B.6．已知圓F1：(x＋2)2＋y2＝36，定點(diǎn)F2(2,0)，A是圓F1上的一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段F2A的垂直平分線(xiàn)交半徑F1A于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡C的方程是( B )A.＋＝1  B．＋＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　連接F2P，則|F2P|＝|PA|，∵|F2P|＋|F1P|＝|PA|＋|F1P|＝|F1A|＝6>|F1F2|＝4，∴由橢圓的定義可得點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)F1、F2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝9－4＝5，故點(diǎn)P的軌跡C的方程為＋＝1.7．設(shè)B是橢圓C：＋y2＝1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則|PB|的最大值為( A )A.  B． C．  D．2[解析]　由橢圓方程知上頂點(diǎn)B(0,1)，設(shè)P(x，y)，由P點(diǎn)在C上可得x2＝5－5y2，y∈[－1,1]，則|PB|＝＝＝，可得y＝－時(shí)，|PB|取得最大值，最大值為.8．過(guò)雙曲線(xiàn)－＝1的右焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F1是左焦點(diǎn)，若∠PF1Q＝90°，則雙曲線(xiàn)的離心率是( B )A.  B．1＋ C．2＋  D．3－[解析]　由PQ⊥x軸，且∠PF1Q＝90°所以|PF2|＝|F2F1|, P點(diǎn)滿(mǎn)足－＝1，∴y＝±＝±，∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，∴e2－2e－1＝0，又e>0，故e＝1＋.故選B.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．若方程＋＝1所表示的曲線(xiàn)為C，則下面四個(gè)命題中正確的是( BD )A．若1<t<5，則C為橢圓B．若t<1，則C為雙曲線(xiàn)C．若C為雙曲線(xiàn)，則焦距為4D．若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則3<t<5[解析]　若方程＋＝1表示橢圓，則滿(mǎn)足解得1<t<3或3<t<5.對(duì)于A(yíng)，當(dāng)t＝3時(shí)，此時(shí)方程為x2＋y2＝2表示圓，所以A不正確；對(duì)于B，當(dāng)t<1時(shí)，5－t>0，t－1<0，此時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)t＝0時(shí)，方程－＝1所表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，此時(shí)雙曲線(xiàn)的焦距為2，所以C不正確；若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則滿(mǎn)足解得3<t<5，所以D正確．故選BD.10．已知直線(xiàn)l：y＝2x＋3被橢圓C：＋＝1(a>b>0)截得的弦長(zhǎng)為7，則下列直線(xiàn)中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有( ACD )A．y＝2x－3　　  B．y＝2x＋1C．y＝－2x－3　　  D．y＝－2x＋3[解析]　由于橢圓C關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱(chēng)．對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝2x－3與直線(xiàn)l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)y＝2x－3截橢圓C所得弦長(zhǎng)為7，A選項(xiàng)合乎要求；對(duì)于B選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝2x＋1與直線(xiàn)l平行，直線(xiàn)y＝2x＋1截橢圓C所得弦長(zhǎng)大于7，B選項(xiàng)不合乎要求；對(duì)于C選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝－2x－3與直線(xiàn)l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)y＝－2x－3截橢圓C所得弦長(zhǎng)為7，C選項(xiàng)合乎要求；對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝－2x＋3與直線(xiàn)l關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)y＝－2x＋3截橢圓C所得弦長(zhǎng)為7，D選項(xiàng)合乎要求．11．拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線(xiàn)l1從點(diǎn)M(3,1)射入，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(x1，y1)反射后，再經(jīng)拋物線(xiàn)上另一點(diǎn)Q(x2，y2)反射后，沿直線(xiàn)l2射出，則下列結(jié)論中正確的是( ABC )A．x1x2＝1  B．kPQ＝－C．|PQ|＝  D．l1與l2之間的距離為4[解析]　如圖所示，由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，直線(xiàn)PQ過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)，所以x1x2＝＝1，即選項(xiàng)A正確；由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，－4)，所以kPQ＝＝－，即選項(xiàng)B正確；由拋物線(xiàn)的定義可知，|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，即選項(xiàng)C正確；因?yàn)?/span>l1與l2平行，所以l1與l2之間的距離d＝|y1－y2|＝5，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．12．如圖，兩個(gè)橢圓＋＝1，＋＝1，內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線(xiàn)C，P是曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)判斷中正確命題為( BC )A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定值 B．曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x，y＝－x均對(duì)稱(chēng) C．曲線(xiàn)C所圍區(qū)域面積必小于36 D．曲線(xiàn)C總長(zhǎng)度不大于6π[解析]　 考慮點(diǎn)P不是交點(diǎn)的情況，若點(diǎn)P在橢圓＋＝1上，P到F1(－4,0)，F2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故A錯(cuò)；兩個(gè)橢圓關(guān)于直線(xiàn)y＝x，y＝－x均對(duì)稱(chēng)，曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x，y＝－x均對(duì)稱(chēng)，故B正確；曲線(xiàn)C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故C正確；半徑為3的圓在曲線(xiàn)C所圍區(qū)域的內(nèi)部，所以曲線(xiàn)的總長(zhǎng)度大于圓的周長(zhǎng)6π，故D錯(cuò)誤．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2022·全國(guó)甲卷)若雙曲線(xiàn)y2－＝1(m>0)的漸近線(xiàn)與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝ 　.[解析]　雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x±my＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化為x2＋(y－2)2＝1，則圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r＝1.∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，∴圓心到漸近線(xiàn)的距離d＝＝1，得m＝.14．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線(xiàn)段AQ的垂直平分線(xiàn)與CQ的連線(xiàn)交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ＋＝1　.[解析]　M為AQ垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓，∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝，∴橢圓的方程為＋＝1.15．拋物線(xiàn)x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)－＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝_6__.[解析]　由于x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)為y＝－，由解得準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x2－y2＝3的交點(diǎn)為A，B，所以|AB|＝2.由△ABF為等邊三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.16．已知橢圓＋＝1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F1，F2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2＝120°，則△PF1F2的面積為 　.[解析]　由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4－4|PF1|×＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，②由①②聯(lián)立可得|PF1|＝.所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿(mǎn)分10分)(2023·安徽省安慶市高二調(diào)研)求焦點(diǎn)在直線(xiàn)x－y＋2＝0上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解析]　因?yàn)槭菢?biāo)準(zhǔn)方程，所以其焦點(diǎn)應(yīng)該在坐標(biāo)軸上，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)即為直線(xiàn)x－y＋2＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)和(0,2)當(dāng)焦點(diǎn)為(－2,0)時(shí)，可知其方程中的p＝4，所以其方程為y2＝－8x，當(dāng)焦點(diǎn)為(0,2)時(shí)，可知其方程中的p＝4，所以其方程為x2＝8y，故所求方程為y2＝－8x或x2＝8y.18．(本小題滿(mǎn)分12分)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為2.一雙曲線(xiàn)和該橢圓有公共焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)小4，雙曲線(xiàn)離心率與橢圓離心率之比為7∶3，求橢圓和雙曲線(xiàn)的方程．[解析]　①焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，且c＝.設(shè)雙曲線(xiàn)為－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因?yàn)?/span>＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.因?yàn)闄E圓和雙曲線(xiàn)的半焦距為，所以b2＝36，n2＝4.所以橢圓方程為＋＝1，雙曲線(xiàn)方程為－＝1.②焦點(diǎn)在y軸上，橢圓方程為＋＝1，雙曲線(xiàn)方程為－＝1.19．(本小題滿(mǎn)分12分)已知雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(2,0)，離心率e＝2.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若斜率為1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線(xiàn)l的方程．[解析]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝，所以所求雙曲線(xiàn)方程為x2－＝1.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝x＋m，點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)設(shè)MN的中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以線(xiàn)段MN垂直平分線(xiàn)的方程為y－＝－，即x＋y－2m＝0，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此時(shí)(*)的判別式Δ>0，故直線(xiàn)l的方程為y＝x±.20．(本小題滿(mǎn)分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F1，F2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，且|BF2|＝，點(diǎn)C是橢圓E上一點(diǎn)，直線(xiàn)CF2交橢圓于點(diǎn)A.(1)求橢圓E的方程；(2)求△ABC的面積．[解析]　(1)因?yàn)轫旤c(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，|BF2|＝，所以|BF2|＝＝a＝，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以＋＝1，解得b2＝1，故所求橢圓的方程為＋y2＝1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(1,0)，所以直線(xiàn)CF2的斜率k＝＝1，所以直線(xiàn)CF2的方程為y＝x－1，由得，3x2－4x＝0，所以或，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－1)，所以|AB|＝2，所以S△ABC＝×2×＝.21．(本小題滿(mǎn)分12分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>1)上，直線(xiàn)l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面積．[解析]　(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程得－＝1，化簡(jiǎn)得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，故雙曲線(xiàn)C的方程為－y2＝1.由題易知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，聯(lián)立直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kbx＋2b2＋2 ＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，化簡(jiǎn)得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4(b－1)＝0，故＋(b－1－2k)－4(b－1)＝0，整理得(k＋1)(b＋2k－1)＝0，又直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.(2)不妨設(shè)直線(xiàn)PA的傾斜角為θ，由題意知∠PAQ＝π－2θ，所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2，解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)，由，得x1＝，所以|AP|＝|x1－2|＝，同理得x2＝，所以|AQ|＝|x2－2|＝.因?yàn)閠an∠PAQ＝2，所以sin∠PAQ＝，故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝×××＝.22．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F2(1,0)，點(diǎn)A在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在斜率為2的直線(xiàn)l，使得當(dāng)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M，N時(shí)，能在直線(xiàn)y＝上找到一點(diǎn)P，在橢圓C上找到一點(diǎn)Q，滿(mǎn)足＝？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．[解析]　　(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，則c＝1，∵A在橢圓C上，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2，∴a＝，b2＝a2－c2＝1，故橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)假設(shè)這樣的直線(xiàn)存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝2x＋t，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中點(diǎn)為D(x0，y0)，由，消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，故y0＝＝且－3＜t＜3，由＝，知四邊形PMQN為平行四邊形，而D為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，因此D為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1，∴點(diǎn)Q不在橢圓上，故不存在滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l.

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