第二章　2.4　2.4.2A　組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．若點(diǎn)A(1,2)，圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，則點(diǎn)A與圓的位置關(guān)系為( C )A．圓外　　　　　  B．圓內(nèi)且不是圓心C．圓上　　　　　  D．圓心[解析]　根據(jù)題意，圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，將點(diǎn)A(1,2)代入，可得1＋4＋2－8＋1＝0，則點(diǎn)A在圓上．2．圓心是C(2，－3)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為( D )A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0C．x2＋y2＋4x－6y＝0D．x2＋y2－4x＋6y＝0[解析]　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以F＝0，又圓心為(2，－3)，所以D＝－4，E＝6.因此，所求圓的方程是x2＋y2－4x＋6y＝0.3．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a的值為( C )A．1或－2　  B．2或－1C．－1　  D．2[解析]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，原方程可變?yōu)?x2＋2y2＋2x＋1＝0，配方，得22＋2y2＝－，不表示圓；當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程可變?yōu)?/span>x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1,0)為圓心，為半徑的圓．4．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝( A )A．－  B．－ C．  D．2[解析]　由題可知，圓心為(1,4)，結(jié)合題意得＝1，解得a＝－.5．已知圓的圓心為(－2,1)，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是( C )A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0C．x2＋y2＋4x－2y＝0D．x2＋y2－4x＋2y＝0[解析]　設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(a,0)，B(0，b)，圓心為點(diǎn)(－2,1)，由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半徑r＝＝，所以圓的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.二、填空題6．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_(kāi)x2＋y2－2x＝0__.[解析]　設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以解得D＝－2，E＝0，F＝0，所以圓的方程為x2＋y2－2x＝0.7．過(guò)圓x2＋y2＝4上一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為 x2＋4y2＝4　.[解析]　設(shè)M(x，y)，則P(x,2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P(x,2y)在圓x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4.8．(2023·山東省濰坊市期中)若點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－ax－2y＋2＝0外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(－∞，－2)∪(2,3)__.[解析]　若x2＋y2－ax－2y＋2＝0表示圓，則(－a)2＋(－2)2－4×2＞0，解得a＜－2或a＞2.若點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－ax－2y＋2＝0外，則12＋22－a－2×2＋2＞0，解得a＜3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2,3)．三、解答題9．已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求：(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑．[解析]　(1)由題意，得D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，故m的取值范圍為.(2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圓心坐標(biāo)為(－m,1)，半徑r＝.10．求經(jīng)過(guò)A(4,2)，B(－1,3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2的圓的方程．[解析]　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.所以圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E.由題知x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圓上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.B　組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( B )A．5  B．10 C．15  D．20[解析]　圓x2＋y2－2x－6y＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10，則圓心坐標(biāo)為M(1,3)，半徑長(zhǎng)為.由圓的幾何性質(zhì)可知：過(guò)點(diǎn)E的最長(zhǎng)弦AC為點(diǎn)E所在的直徑，則|AC|＝2.BD是過(guò)點(diǎn)E的最短弦，則點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥BD，E為AC與BD的交點(diǎn)，則由垂徑定理可得|BD|＝2＝2＝2.從而四邊形ABCD的面積為|AC||BD|＝×2×2＝10.2．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長(zhǎng)，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為( B )A.  B．5 C．2  D．10[解析]　由題意，得直線l過(guò)圓心M(－2，－1)，則－2a－b＋1＝0，則b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5.3．(多選)若點(diǎn)(1，－1)在圓x2＋y2－x＋y＋m＝0外，則下列可能為m值的有( AB )A.  B． C．  D．1[解析]　x2＋y2－x＋y＋m＝0可化為2＋2＝－m，則－m>0，解得m<.因?yàn)辄c(diǎn)(1，－1)在圓外，所以1＋1－1－1＋m>0，即m>0，所以0<m<.對(duì)照選項(xiàng)，知AB可能．4．(多選)若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為，則a的值為( CD )A．－2  B． C．2  D．0[解析]　化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－1)2＋(y－2)2＝5，則由圓心(1,2)到直線x－y＋a＝0距離為，得＝，∴a＝2或0.故選CD.二、填空題5．若曲線C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍是_(－∞，－4)__.[解析]　曲線C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0，即(x－a)2＋(y＋2a)2＝16表示圓，圓心為(a，－2a)，半徑為r＝4，故圓上任意一點(diǎn)(x，y)滿足a－4≤x≤a＋4，－2a－4≤y≤－2a＋4，又因?yàn)槿我稽c(diǎn)(x，y)在第二象限內(nèi)，所以a＋4<0且－2a－4>0，解得a<－4.6．如圖，已知圓O：x2＋y2＝16，A，B是圓O上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P(2,0)，則矩形PACB的頂點(diǎn)C的軌跡方程是 x2＋y2＝28　.[解析]　設(shè)點(diǎn)C( x，y)，點(diǎn)P(2,0)，則AB和CP的交點(diǎn)為M為矩形PACB的中心且OM⊥AB，所以OB2＝OM2＋MB2＝OM2＋MP2，即16＝＋，即64＝[x2＋4x＋4＋y2]＋[x2－4x＋4＋y2]，即x2＋y2＝28.7．(2023·黑龍江省大慶一中模擬)已知圓C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0.當(dāng)C的面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)－1__；若此時(shí)圓C的一條對(duì)稱軸為直線l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，則的最大值為 　.[解析]　圓C的方程可化為[x＋(a－1)]2＋(y－6)2＝－a2－2a＋37.當(dāng)a＝－1時(shí)，－a2－2a＋37＝－(a＋1)2＋38取得最大值38，此時(shí)圓C的半徑最大，面積也最大，此時(shí)圓心坐標(biāo)為(2,6)，且圓C的一條對(duì)稱軸為直線l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，故點(diǎn)(2,6)在直線l上，所以2m＋6n－6＝0，即m＋3n＝3，又＝，＋＝(m＋3n)·＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝n＝時(shí)取等號(hào)，所以＝≤，故的最大值為.三、解答題8．已知△ABC的邊AB長(zhǎng)為4，若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．[解析]　以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖)，則A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)C(x，y)，BC中點(diǎn)D(x0，y0)所以①因?yàn)閨AD|＝3所以(x0＋2)2＋y＝9.　②將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.因?yàn)辄c(diǎn)C不能在x軸上，所以y≠0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(－6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12,0)和(0,0)兩點(diǎn)．軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一個(gè)圓．(1)求t的取值范圍．(2)求這個(gè)圓的圓心和半徑．(3)求該圓半徑r的最大值及此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解析]　(1)已知方程表示一個(gè)圓，所以D2＋E2－4F>0，即4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，整理得7t2－6t－1<0，解得－<t<1，所以t的取值范圍是.(2)圓的方程可化為[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2，所以圓的圓心坐標(biāo)為(t＋3,4t2－1)，半徑為.(3)由(2)知，r＝＝≤，所以r的最大值為，此時(shí)t＝∈，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋2＝. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.4 圓的方程

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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