第二章　2.3　2.3.3　2.3.4A　組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．已知點(diǎn)M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離等于1，則實(shí)數(shù)m等于( C )A.  B．－ C．－  D．[解析]　由題意得＝1，解得m＝－.2．已知點(diǎn)(a,1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為( D )A．1  B．－1 C．  D．±[解析]　由題意，得＝1，即|a|＝，∴a＝±.3．原點(diǎn)到直線y＝－x＋的距離為( B )A．1  B． C．2  D．3[解析]　直線y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原點(diǎn)到直線y＝－x＋的距離為＝.4．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( C )A.  B． C．  D．[解析]　因?yàn)?/span>＝≠－，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為.5．兩條平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是( C )A．(0，＋∞)　　  B．[0,5]C．(0,5]　　  D．[0，][解析]　當(dāng)兩條平行直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大，最大距離為|PQ|＝＝5，所以l1，l2之間的距離的取值范圍是(0,5]．二、填空題6．分別過點(diǎn)A(－2,1)和點(diǎn)B(3，－5)的兩條直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離d是_5__.[解析]　兩條直線的方程分別為x＝－2，x＝3，所以這兩條直線間的距離d＝|3－(－2)|＝5.7．過點(diǎn)A(－3,1)的所有直線中，與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程是 3x－y＋10＝0　.[解析]　當(dāng)原點(diǎn)與點(diǎn)A的連線與過點(diǎn)A的直線垂直時(shí)，距離最大．∵kOA＝－，∴所求直線的方程為y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.8．若A(1,4)、B(－3,1)，過點(diǎn)B的直線l與點(diǎn)A的距離為d.(1)d的取值范圍為_[0,5]__；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，直線l的方程為_4x＋3y＋9＝0__；(3)當(dāng)d＝4時(shí)，直線l的方程為_7x＋24y－3＝0或x＝－3__.[解析]　(1)用數(shù)形結(jié)合法容易得到，當(dāng)直線l⊥AB時(shí)，d取最大值，當(dāng)l經(jīng)過A、B時(shí)，d取最小值，∴0≤d≤5.(2)當(dāng)d＝5時(shí)，kl＝－，kAB＝＝，∴直線l的方程y－1＝－(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.(3)設(shè)l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，由A(1,4)到l距離為4知＝4，∴k＝－，當(dāng)斜率k不存在時(shí)，x＝－3也滿足題意．故所求直線方程為：7x＋24y－3＝0或x＝－3.三、解答題9．求過點(diǎn)P(0,2)且與點(diǎn)A(1,1)，B(－3,1)等距離的直線l的方程．[解析]　方法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，不合題意，因此直線l的斜率存在，設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由點(diǎn)A(1,1)與B(－3,1)到直線l的距離相等，得＝，解得k＝0或k＝1.∴直線l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.方法二：當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵AB的中點(diǎn)是(－1,1)，又直線l過點(diǎn)P(0,2)，∴直線l的方程是x－y＋2＝0；當(dāng)直線l∥AB時(shí)，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵直線AB的斜率為0，∴直線l的斜率為0，∴直線l的方程為y＝2.綜上所述，滿足條件的直線l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.10．已知正方形的中心為直線x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交點(diǎn)，正方形一邊所在直線方程為x＋3y－2＝0，求其他三邊所在直線的方程．[解析]　由解得所以中心坐標(biāo)為(－1,0)．所以中心到已知邊的距離為＝.設(shè)正方形相鄰兩邊方程為x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.因?yàn)檎叫沃行牡礁鬟吘嚯x相等，所以＝和＝.所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.所以其他三邊所在直線的方程為x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.B　組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知點(diǎn)A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，則△ABC的面積等于( C )A．3  B．4 C．5  D．6[解析]　設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB邊上的高h就是點(diǎn)C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為＝，即x＋y－4＝0.點(diǎn)C到直線x＋y－4＝0的距離為＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.2．(多選)與直線l：3x－4y－1＝0平行且到直線l的距離為2的直線方程是( AB )A．3x－4y－11＝0  B．3x－4y＋9＝0C．3x－4y＋11＝0  D．3x－4y－9＝0[解析]　設(shè)所求直線方程為3x－4y＋m＝0，由題意得＝2，解得m＝9或－11.3．到兩條直線l1：3x－4y＋5＝0與l2：5x－12y＋13＝0的距離相等的點(diǎn)P(x，y)必定滿足方程( D )A．x－4y＋4＝0B．7x＋4y＝0C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0[解析]　結(jié)合圖形可知，這樣的直線應(yīng)該有兩條，恰好是兩條相交直線所成角的平分線．由公式可得＝，即＝±，化簡(jiǎn)得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.4．已知直線l：kx－y＋2＝0過定點(diǎn)M，點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是( B )A.  B．C.　　  D．3[解析]　直線l：kx－y＋2＝0恒過點(diǎn)(0,2)，∴M(0,2)．∵點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值為點(diǎn)M到直線2x＋y－1＝0的距離，∴d＝＝＝.故選B.二、填空題5．已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)P(1,3)到直線l的距離為，則直線l的方程為_x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0__.[解析]　由題意知，若截距為0，則設(shè)所求直線l的方程為y＝kx(k≠0)．由題意知＝，解得k＝1或－7，此時(shí)直線l的方程為x－y＝0或7x＋y＝0.若截距不為0，則設(shè)所求直線l的方程為x＋y－a＝0(a≠0)．由題意知＝，解得a＝2或a＝6，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.綜上，所求直線l的方程為x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.6．已知∠BAC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，－1)，AD為其角平分線，點(diǎn)P(3,1)在邊AB上，P關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q在AD上，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,0)　，AC所在直線的方程為 2x－y＋1＝0　.[解析]　因?yàn)辄c(diǎn)P(3,1)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，所以Q的坐標(biāo)為，即(0,0)，又點(diǎn)A(－1，－1)，所以直線AD的方程為y＝x，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為P′，則P′(1,3)，因?yàn)?/span>AD是∠BAC的角平分線，所以點(diǎn)P′(1,3)在直線AC上，所以kAC＝＝2，直線AC的方程為y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.7．已知a＋b＝3，則的最小值為 3　.[解析]　由題意易得點(diǎn)P(a，b)在直線x＋y－3＝0上，而＝，因此原問題可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)A(－5,2)的距離的最小值，又點(diǎn)A(－5,2)到直線x＋y－3＝0的距離d＝＝3，故的最小值為3.三、解答題8．已知△ABC三邊所在直線方程：lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30)．(1)判斷△ABC的形狀；(2)當(dāng)BC邊上的高為1時(shí)，求m的值．[解析]　(1)直線AB的斜率為kAB＝，直線AC的斜率為kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直線AB與AC互相垂直，因此，△ABC為直角三角形．(2)解方程組，得，即A(2,6)．由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝＝，當(dāng)d＝1時(shí)，＝1，即|30－m|＝5，解得m＝25或m＝35.9．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)，且被平行直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y－1＝0所截得的線段的中點(diǎn)M在直線x＋y－3＝0上．求直線l的方程．[解析]　方法一：∵點(diǎn)M在直線x＋y－3＝0上，∴設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(t,3－t)，則點(diǎn)M到l1、l2的距離相等，即＝，解得t＝，∴M.又l過點(diǎn)A(2,4)，由兩點(diǎn)式得＝，即5x－y－6＝0，故直線l的方程為5x－y－6＝0.方法二：設(shè)與l1、l2平行且距離相等的直線l3：x－y＋c＝0，由兩平行直線間的距離公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由題意得中點(diǎn)M在l3上，又點(diǎn)M在x＋y－3＝0上．解方程組，得.∴M.又l過點(diǎn)A(2,4)，故由兩點(diǎn)式得直線l的方程為5x－y－6＝0.方法三：由題意知直線l的斜率必存在，設(shè)l：y－4＝k(x－2)，由，得，由，得.∴直線l與l1、l2的交點(diǎn)分別為，.∵M為中點(diǎn)，∴M.又點(diǎn)M在直線x＋y－3＝0上，∴＋－3＝0，解得k＝5.故所求直線l的方程為y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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