第二章　2.5　2.5.2A　組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為( C )A.　　  B．C．2　　  D．3[解析]　圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的方程相減得x－y＋2＝0.∵圓心(0,0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝，r＝2.則公共弦長為2＝2.故選C.2．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交點為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為( A )A．x＋y－1＝0　  B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0  D．x－y＋1＝0[解析]　方法一：線段AB的中垂線即兩圓的連心線所在直線l，由圓心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程為x＋y－1＝0.方法二：直線AB的方程為：4x－4y＋1＝0，因此線段AB的垂直平分線斜率為－1，過圓心(1,0)，方程為y＝－(x－1)，故選A.3．圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圓C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切線有( B )A．2條  B．3條C．4條  D．1條[解析]　∵圓C1的圓心為C1(－2,2)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為C2(2,5)，半徑r2＝4，∴圓心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故兩圓外切，故公切線的條數(shù)為3.4．設(shè)a＞0，若圓M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0與圓N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，則實數(shù)a的取值范圍為( A )A.　  B．(3，＋∞)C.　  D．(0,3)[解析]　根據(jù)題意，圓M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，其圓心為M(3,1)，半徑R＝1.圓N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0，即(x－a)2＋(y＋1)2＝a2，其圓心為N(a，－1)，半徑r＝|a|＝a.若圓M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0與圓N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，則有|a－1|＜＜a＋1，解得＜a＜3，即a的取值范圍為.5．(多選)已知圓O：x2＋y2＝4和圓M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B兩點，下列說法正確的為( AD )A．兩圓有兩條公切線B．直線AB的方程為y＝2x＋2C．線段AB的長為D．圓O上點E，圓M上點F，|EF|的最大值為＋3[解析]　根據(jù)題意，圓O：x2＋y2＝4，圓心為(0,0)，半徑r＝2，圓M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，其圓心為(－2,1)，半徑R＝1，依次分析選項：對于A，圓O與圓M相交，有兩條公切線，A正確，對于B，聯(lián)立可得：2x－y＋4＝0，即y＝2x＋4，直線AB的方程為y＝2x＋4，B錯誤，對于C，由B的結(jié)論，直線AB的方程為y＝2x＋4，圓心O到AB的距離d＝＝，則|AB|＝2×＝，C錯誤，對于D，圓O上點E，圓M上點F，|EF|的最大值為|MO|＋r＋R＝＋1＋2＝＋3，D正確．二、填空題6．圓x2＋y2＋6x－7＝0和圓x2＋y2＋6y－27＝0的位置關(guān)系是_相交__.[解析]　圓x2＋y2＋6x－7＝0的圓心為O1(－3,0)，半徑r1＝4，圓x2＋y2＋6y－27＝0的圓心為O2(0，－3)，半徑r2＝6，∴|O1O2|＝＝3，∴r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故兩圓相交．7．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：x2＋y2＝1，則過圓C1與圓C2的兩個交點且過原點O的圓的方程為 x2＋y2－x－2y＝0　.[解析]　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原點代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得過圓C1與圓C2的兩個交點且過原點O的圓的方程為：x2＋y2－x－2y＝0.8．圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為_x－2y＋4＝0__，公共弦長為 2　.[解析]　方法一：設(shè)兩圓相交于A，B兩點，則A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組解得或所以|AB|＝＝2，即公共弦長為2.方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圓C1的圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑r＝5，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離d＝＝3.設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦長為2.三、解答題9．求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓C的方程．[解析]　方法一：聯(lián)立兩圓方程，相減得公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.再由，聯(lián)立得兩圓交點坐標(biāo)(－1,2)、(5，－6)．∵所求圓以公共弦為直徑，∴圓心C是公共弦的中點(2，－2)，半徑為＝5.∴圓C的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25.方法二：由方法一可知公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ為參數(shù))．可求得圓心C.∵圓心C在公共弦所在直線上，∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝.∴圓C的方程為x2＋y2－4x＋4y－17＝0.10．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，滿足以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．[解析]　設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，則消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.設(shè)此方程兩根為x1，x2，則A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.以AB為直徑的圓過原點O，∴kOA·kOB＝＝－1.∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1.又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，經(jīng)檢驗當(dāng)b＝－4或b＝1時滿足Δ>0.∴存在這樣的直線l為y＝x－4或y＝x＋1.B　組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．過點P(x，y)作圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切線，切點分別為A，B，若|PA|＝|PB|，則x2＋y2的最小值為( B )A.  B．2C．2  D．8[解析]　由(x2＋y2－1)－(x2＋y2－4x－4y＋7)＝0得x＋y－2＝0，則P點在直線l：x＋y－2＝0上，原點到直線l的距離d＝，所以(x2＋y2)min＝d2＝2，故選B.2．已知兩圓相交于A(－1,3)，B(－6，m)兩點，且這兩圓的圓心均在直線x－y＋c＝0上，則m＋2c的值為( B )A．－1  B．26 C．3  D．2[解析]　由圓的性質(zhì)可知，直線AB與直線x－y＋c＝0垂直，且線段AB被直線x－y＋c＝0平分，∴kAB＝＝－1，∴m＝8.∵線段AB的中點在直線x－y＋c＝0上，∴將線段AB的中點的坐標(biāo)代入上述直線方程得c＝9，∴m＋2c＝8＋18＝26.3．已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圓C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m＞0)，若圓C2平分圓C1的圓周，則正數(shù)m的值為( A )A．3　　  B．2C．4　　  D．1[解析]　圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準式為：(x－1)2＋(y＋2)2＝1；圓C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m＞0)，兩圓相減得：3x－5y－m2－4＝0，即相交弦方程，由于：圓C1的圓心(1，－2)滿足相交弦的方程，故3＋10－m2－4＝0，解得m＝3.4．(多選)若圓C1：x2＋y2＝1和圓C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0沒有公共點，則實數(shù)k的取值可能是( AD )A．－16  B．－9 C．11  D．12[解析]　化圓C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0為(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，則k>－25，圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑為；圓C1：x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為1.要使圓C1和圓C2沒有公共點，則|C1C2|>＋1或|C1C2|<－1，即5>＋1或5<－1，解得－25<k<－9或k>11.∴實數(shù)k的取值范圍是(－25，－9)∪(11，＋∞)．滿足這一范圍的有A和D.二、填空題5．若圓x2＋y2－2ax＋a2＝2和圓x2＋y2－2by＋b2＝1相外離，則a，b滿足的條件是 a2＋b2>3＋2　.[解析]　兩圓的連心線的長為d＝.∵兩圓相外離，∴d>＋1，∴a2＋b2>3＋2.6．已知圓(x－1)2＋y2＝1與圓(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)無公切線，則r的取值范圍為 (＋1，＋∞)　.[解析]　由題意，圓(x－1)2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為C1(1,0)，半徑為r1＝1，圓(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)的圓心坐標(biāo)為C2(2,1)，半徑為r，因為兩圓無公切線，則兩圓的位置關(guān)系為兩個圓內(nèi)含，則圓心距d＝＝，則d<r－1，即r>＋1，所以r的取值范圍是(＋1，＋∞)．7．已知圓C：x2＋y2＝1，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，切點為A，B，若點P的坐標(biāo)為(2,1)，則直線AB的方程為_2x＋y－1＝0__；若P為直線x＋2y－4＝0上一動點，則直線AB經(jīng)過定點 　.[解析]　圓C：x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為C(0,0)，則以C(0,0)和P(2,1)為直徑的圓的圓心為，半徑為r＝＝.可得以CP為直徑的圓的方程為(x－1)2＋2＝，即x2＋y2－2x－y＝0，兩圓的方程相減可得直線AB的方程：2x＋y－1＝0.因為點P為直線x＋2y－4＝0上一動點，設(shè)P(4－2m，m)，因為PA，PB是圓C的切線，所以CA⊥PA，CB⊥PB，所以AB是圓C與以PC為直徑的兩圓的公共弦，以PC為直徑的圓的方程為[x－(2－m)]2＋2＝(2－m)2＋，又由圓C的方程為x2＋y2＝1，兩圓的方程相減，則AB的方程為2(2－m)x＋my＝1，可得滿足上式，即AB過定點.三、解答題8．已知圓C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求過兩圓的交點的圓中面積最小的圓的方程．[解析]　由兩圓的方程相減，得公共弦所在直線的方程為x－y＝0.因為圓C1：(x＋2)2＋y2＝3，圓C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圓心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，所以兩圓連心線所在直線的方程為＝，即x＋y＋2＝0.過兩圓的交點的圓中面積最小的圓也就是以公共弦為直徑的圓．由得所求圓的圓心為(－1，－1)．又圓心C1(－2,0)到公共弦所在直線x－y＝0的距離d＝＝，所以所求圓的半徑r＝＝1，所以所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.9．已知兩個圓C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直線l：x＋2y＝0，求經(jīng)過C1和C2的交點且和l相切的圓的方程．[解析]　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋4－2x－4y＋λ(x2＋y2－4)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0.所以圓心為，半徑為，即＝.解得λ＝±1，舍去λ＝－1，圓x2＋y2＝4顯然不符合題意，故所求圓的方程為x2＋y2－x－2y＝0. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.4 圓的方程

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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