第三章　3.1　3.1.2　第2課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是( B )A．(－∞，0)∪(1，＋∞)  B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0)  D．(1,3)[解析]　由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直線與橢圓有兩個公共點，則解得由＋＝1表示橢圓，知m>0且m≠3.綜上可知，m>1且m≠3，故選B.2．我們把由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如圖所示，其中點F0，F1，F2是相應(yīng)橢圓的焦點．若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為( A )A.，1  B．，1 C．5,3  D．5,4[解析]　∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.故選A.3．過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點作傾斜角為的弦AB，則弦AB的長為( B )A.　　  B．　　 C．　　  D．[解析]　易求得直線AB的方程為y＝(x＋)．由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦長公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.4．(2023·福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測)過點M(m,0)的直線交橢圓＋＝1于P，Q兩點，且PQ的中點坐標為(2,1)，則m＝( C )A．1  B． C．3  D．4[解析]　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓上，PQ的中點H為(2,1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，又因為，兩式相減得＝－＝－1，即kPQ＝－1，又因為kPQ＝kMH＝＝－1，故m＝3.5．已知橢圓C：＋＝1內(nèi)一點M(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是( BCD )A．橢圓的焦點坐標為(2,0)，(－2,0)B．橢圓C的長軸長為4C．直線l的方程為x＋y－3＝0D．|AB|＝[解析]　選項A：由橢圓方程知：其焦點坐標為(0，±2)，錯誤；選項B：a2＝8，即橢圓C的長軸長為2a＝4，正確；選項C：由題意，可設(shè)直線l為x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4，聯(lián)立橢圓方程并整理得：(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M為橢圓內(nèi)一點，則Δ>0，所以y1＋y2＝＝4，可得k＝－1，即直線l為x＋y－3＝0，正確；選項D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝，則|AB|＝·＝，正確．二、填空題6．設(shè)橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過焦點F1的直線交橢圓于M，N兩點，若△MNF2的內(nèi)切圓的面積為π，則△MNF2的面積為 4　.[解析]　如圖，已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，a＝2，過焦點F1的直線交橢圓于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點，△MNF2的內(nèi)切圓的面積為π，所以△MNF2的內(nèi)切圓半徑r＝1.所以△MNF2的面積S＝×1×(|MN|＋|MF2|＋|NF2|)＝2a＝4.7．直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓＋＝1恒有公共點，則m的取值范圍為_[1,5)∪(5，＋∞)__.[解析]　將y＝kx＋1代入橢圓方程，消去y并整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.由m>0,5k2≥0，知m＋5k2>0，故Δ＝100k2－4(m＋5k2)(5－5m)≥0對k∈R恒成立．即5k2≥1－m對k∈R恒成立，故1－m≤0，∴m≥1.又∵m≠5，∴m的取值范圍是m≥1且m≠5.8．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e＝，則橢圓方程為 ＋＝1　，若直線l交橢圓于M，N兩點，且△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則直線l方程為 6x－5y－28＝0　.[解析]　由題意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20.所以橢圓的方程為＋＝1.所以橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知＝2，從而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，解得x0＝3，y0＝－2，所以點Q的坐標為(3，－2)．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1，以上兩式相減得＋＝0，所以kMN＝＝－·＝－×＝，故直線l的方程為y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.三、解答題9．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．[解析]　(1)將點(0,4)代入橢圓C的方程，得＝1，∴b＝4，又e＝＝，則＝，∴1－＝，∴a＝5，∴橢圓C的方程為＋＝1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)，設(shè)直線與橢圓C的交點為A(x1，y1)、B(x2，y2)，將直線方程y＝(x－3)代入橢圓方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韋達定理得x1＋x2＝3，所以線段AB中點的橫坐標為＝，縱坐標為＝－，即所截線段的中點坐標為.10．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為M，且△MF1F2為面積是1的等腰直角三角形．(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓E交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸相切，求m的值．[解析]　(1)由題意可得M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c，0)，由△MF1F2為面積是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，則橢圓E的方程為＋y2＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立?3x2－4mx＋2m2－2＝0，有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，即－<m<，x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中點橫坐標為，|AB|＝·＝·＝，以AB為直徑的圓與y軸相切，可得半徑r＝|AB|＝，即＝，解得m＝±∈(－，)，則m的值為±.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足·＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是( C )A．(0,1)  B．C.  D．[解析]　依題意得，c<b，即c2<b2，∴c2<a2－c2,2c2<a2，故離心率e＝<，又0<e<1，∴0<e<，故選C.2．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為( C )A．2  B．3C．6  D．8[解析]　由題意可知O(0,0)，F(－1,0)，設(shè)點P為(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵x∈[－2,2]，∴當x＝2時，·取最大值．(·)max＝(2＋2)2＋2＝6，故選C.3．以F1(－1,0)，F2(1,0)為焦點且與直線x－y＋3＝0有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是( C )A.＋＝1  B．＋＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1，得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值為4，由e＝＝，則b2＝4時，e取最大值，故選C.4．(多選)設(shè)橢圓的方程為＋＝1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是( BD )A．直線AB與OM垂直B．若點M(1,1)，則直線方程為2x＋y－3＝0C．若直線方程為y＝x＋1，則點MD．若直線方程為y＝x＋2，則|AB|＝[解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)，由題意得＋＝1，＋＝1，兩式相減可得＋＝0，所以kAB＝.因為m＝，n＝，kOM＝，所以kABkOM＝－2，故A錯誤．對于B項，因為kABkOM＝－2，kOM＝1，所以kAB＝－2，則直線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故B正確．由可得3x2＋2x－3＝0，所以x1＋x2＝－，則中點M，故C錯誤．由可得3x2＋4x＝0，解得或則|AB|＝×＝，故D正確．故選BD.二、填空題5.某隧道的拱線設(shè)計為半個橢圓的形狀，最大拱高h為6米(如圖所示)，路面設(shè)計是雙向車道，車道總寬為8米，如果限制通行車輛的高度不超過4.5米，那么隧道設(shè)計的拱寬d至少應(yīng)是_32__米．[解析]　設(shè)橢圓方程為＋＝1，當點(4，4.5)在橢圓上時，＋＝1，解得a＝16，∵車輛高度不超過4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱寬至少為32米．6.如圖所示，把橢圓＋＝1的長軸(線段AB)分成8等份，過每個分點作x軸的垂線，分別交橢圓于P1，P2，P3，…，P7七個點，F是橢圓的左焦點，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝_35__.[解析]　由橢圓的對稱性及定義，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝7a，因為a＝5，所以所求式子的值為35.7．在直線l：x－y＋9＝0上取一點M，過M作以F1(－3，0)，F2(3,0)為焦點的橢圓，則當|MF1|＋|MF2|最小時，橢圓的標準方程為 ＋＝1　.[解析]　設(shè)F1(－3,0)關(guān)于l：x－y＋9＝0的對稱點為F(x，y)，則?即F(－9,6)，連接F2F交l于M，點M即為所求．lF2Fy＝－(x－3)，即x＋2y－3＝0，解方程組?即M(－5,4)．當點M′取異于M點時，|FM′|＋|M′F2|>|FF2|.滿足題意的橢圓的長軸長2a＝|FF2|＝＝6，所以a＝3，b2＝a2－c2＝45－9＝36，所以橢圓的方程為＋＝1.三、解答題8．(2023·北京市昌平區(qū)期末)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，且過點A.(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓C上找一點P，使它到直線l：x＋y＋4＝0的距離最短，并求出最短距離．[解析]　(1)由題意可知2c＝2，∴c＝，a2＝b2＋c2＝b2＋2，將點A的坐標代入＋＝1，解得b2＝1，則a2＝3，故橢圓方程為＋y2＝1.(2)設(shè)與直線l：x＋y＋4＝0平行的直線x＋y＋m＝0與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程得消去y并整理，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，由其根的判別式Δ＝(6m)2－16(3m2－3)＝0，解得m＝±2.當m＝2時，直線l與直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝；當m＝－2時，直線l與直線x＋y－2＝0的距離d＝＝3.由<3可知，m＝2符合題意．將m＝2代入4x2＋6mx＋3m2－3＝0可解得x＝－，將x＝－代入x＋y＋2＝0可得y＝－，則點P的坐標為.此時距離的最小值為.9．設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點為A，下頂點為B，過A，O，B(O為坐標原點)三點的圓的圓心坐標為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點M在x軸正半軸上，過點B作BM的垂線與橢圓交于另一點N，若∠BMN＝60°，求點M的坐標．[解析]　(1)依題意知A(a,0)，B(0，－b)，因為△AOB為直角三角形，所以過A，O，B三點的圓的圓心為斜邊AB的中點，所以＝，－＝－，即a＝，b＝1，所以橢圓的方程為＋y2＝1.(2)由(1)知B(0，－1)，依題意知直線BN的斜率存在且小于0，設(shè)直線BN的方程為y＝kx－1(k＜0)，則直線BM的方程為：y＝－x－1，由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得：xN＝，yN＝kxN－1，所以|BN|＝＝＝|xN|，所以|BN|＝·，在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)，所以|BM|＝，在Rt△MBN中，因為∠BMN＝60°，所以|BN|＝|BM|，即·＝·，整理得3k2－2|k|＋1＝0，解得|k|＝， 因為k＜0，所以k＝－，所以點M的坐標為.

相關(guān)試卷

高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時達標測試：

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時達標測試，共7頁。試卷主要包含了已知過原點的直線l與曲線C，已知F1,F2分別為橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時精練：

這是一份數(shù)學選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時精練，共5頁。試卷主要包含了若直線mx+ny=4與圓O，橢圓C，已知橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中人教A版 (2019)3.1 橢圓第1課時習題：

這是一份高中人教A版 (2019)3.1 橢圓第1課時習題，共4頁。試卷主要包含了已知橢圓+=1的離心率為,則，已知F1,F2是橢圓C， 故選C，已知F1,F2分別是橢圓C，設(shè)P,則=,=，已知橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

人教A版 (2019)3.1 橢圓第1課時課后測評

人教A版 (2019)3.1 橢圓第1課時課后測評
高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓課后測評

高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓課后測評
數(shù)學選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時綜合訓練題

數(shù)學選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時綜合訓練題
人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第1課時課時練習

人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第1課時課時練習
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部