第四講　空間直線、平面的垂直
知識(shí)梳理 · 雙基自測(cè)
知識(shí)點(diǎn)一　直線與平面垂直(1)直線與平面垂直①定義：若直線l與平面α內(nèi)的_________一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線_____________________.過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，_____________________叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上____________________________，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．
(2)直線與平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的_________，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角．若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為_(kāi)_____，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為_(kāi)________.
知識(shí)點(diǎn)二　平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的__________________所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱_________的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．
(2)平面與平面垂直①定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是____________，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．②判定與性質(zhì)
1．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．2．若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．
題組一　走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.( 　　)(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．( 　　)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.( 　　)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.( 　　)(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．( 　　)(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.( 　　)
題組二　走進(jìn)教材2．(必修2P164T15)(2022·廣州中學(xué)教學(xué)研究會(huì)調(diào)研)如圖1，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，如圖2，沿SE、SF、EF將正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S－EGF中( 　　)A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
[解析]　由題意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故選A.
題組三　走向高考4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：__________________________________________________.
若l⊥α，l⊥m，則m∥α.(或若l⊥α，m∥α，則l⊥m)
[解析]　由l，m是平面α外的兩條不同直線，及線面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，若l⊥α，m∥α，則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，則l⊥m，故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α.(或若l⊥α，m∥α，則l⊥m)．
5．(2021·全國(guó)高考節(jié)選)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，BF⊥A1B1，D為棱A1B1上的點(diǎn)，證明：BF⊥DE.
[證明]　證法一：取BC的中點(diǎn)H，連EH、B1H，∵E為AC的中點(diǎn)，∴EH∥AB，又AB∥A1B1，∴EH∥A1B1，即E、H、B1、D共面，又A1B1⊥BF，∴EH⊥BF.又AB＝BC，由題意易知四邊形BCC1B1為正方形，又F為CC1的中點(diǎn)，
∴BF⊥HB1，又HB1∩EH＝H，∴BF⊥平面EHB1D，又ED?平面EHB1D，∴BF⊥ED.證法二：由題意知AB⊥BB1.又BF⊥A1B1，AB∥A1B1，∴AB⊥BF，∴AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BC.又AB＝BC＝2，E、F分別為AC、CC1的中點(diǎn)，
證法三：同證法二可知AB、BC、BB1兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，∴E(1,1,0)，B(0,0,0)，F(xiàn)(0,2,1)，D(a,0,2)(0≤a≤2)，
考點(diǎn)突破 · 互動(dòng)探究
(1)(多選題)(2022·湖南名校聯(lián)考)對(duì)于不同直線m，n和不同平面α，β，有如下四個(gè)命題，其中正確的是( )A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥βB．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，則n∥α
(2)(2022·廣東珠海模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列條件中，可以得到l⊥α的是( 　　)A．l⊥m，l⊥n，m?α，n?αB．l⊥m，m∥αC．α⊥β，l∥βD．l∥m，m⊥α
[解析]　(1)選項(xiàng)A，若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能相交可能平行，故A不正確；選項(xiàng)B，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n?β，所以α⊥β，故B正確；選項(xiàng)C，若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正確；選項(xiàng)D，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故D不正確．故選BC.
(2)由α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，知：對(duì)于A，l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l與α相交、平行或l?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，l⊥m，m∥α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，α⊥β，l∥β，則l與α相交、平行或l?α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，l∥m，m⊥α，則由線面垂直的判定定理得l⊥α，故D正確．故選D.
解決這類線、面位置關(guān)系判定的問(wèn)題一般是利用正方體模型或畫(huà)圖分析解決，其實(shí)最好的辦法是筆當(dāng)線，紙、手掌當(dāng)面動(dòng)態(tài)演示．如知a∥α，可將筆看成a，桌面看成α，讓筆平移、旋轉(zhuǎn)，如知a⊥α，將筆看成a，讓筆平移，很容易做出正確判定，事半功倍．
〔變式訓(xùn)練1〕(1)(多選題)(2022·江蘇泰州調(diào)研)已知直線l與平面α相交于點(diǎn)P，則( )A．α內(nèi)不存在直線與l平行B．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與l垂直C．α內(nèi)所有直線與l是異面直線D．至少存在一個(gè)過(guò)l且與α垂直的平面
(2)(2022·安徽馬鞍山質(zhì)檢)設(shè)α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下面四個(gè)命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m∥α，n⊥α，則m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β.其中所有正確命題的序號(hào)是( 　　)A．①② B．② C．④ D．②③
[解析]　(1)α內(nèi)的直線與l相交或異面，A對(duì)，C錯(cuò)；直線l與它在平面α內(nèi)的射影m所確定的平面β與平面α垂直，D對(duì)；平面α內(nèi)與射影m垂直的直線也與l垂直，顯然這樣的直線有無(wú)數(shù)條，B對(duì)．故選ABD.(2)對(duì)①，若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α與β相交，故①錯(cuò)；對(duì)②，若m⊥α，m⊥β，則α∥β，②對(duì)；對(duì)③，若m∥α，n⊥α，則m⊥n，③錯(cuò)；對(duì)④，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n不一定垂直β，④錯(cuò)，故選B.
角度1　線、面垂直的判定
證明：PA⊥平面PBC.
證法二：因?yàn)椤鰽BC是底面圓O的內(nèi)接正三角形，且AE為底面直徑，所以AE⊥BC.因?yàn)镈O(即PO)垂直于底面，BC在底面內(nèi)，所以PO⊥BC.又因?yàn)镻O?平面PAE，AE?平面PAE，PO∩AE＝O，所以BC⊥平面PAE.又因?yàn)镻A?平面PAE，所以PA⊥BC.設(shè)AE∩BC＝F，則F為BC的中點(diǎn)，連接PF.
角度2　線、面垂直的性質(zhì) (2022·山東菏澤一模(節(jié)選))如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)為垂足．求證：AF⊥DB.
[證明]　由題意可知DA⊥底面ABE，BE?底面ABE，故BE⊥DA，由AB為直徑知BE⊥AE，又AE∩DA＝A，DA?平面AED，AE?平面AED，故BE⊥平面AED，由AF?平面AED得AF⊥BE，又AF⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BED，故AF⊥平面BED，又DB?平面BED，∴AF⊥DB.
角度3　直線與平面所成的角 (2022·江蘇無(wú)錫高三期末)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，則直線B1M與平面A1C1B所成角的正弦值為( 　　)
[解析]　解法一：連B1D1交A1C1于H，連BD，DB1，DB1∩BH＝O，BH∩B1M＝N，易證B1D⊥平面A1C1B.∴∠B1NO即為B1M與平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.
∴∠B1NO即為B1M與平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
1．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．如：直徑所對(duì)圓周角是直角；菱形對(duì)角線互相垂直；等腰三角形底邊上的中線、頂角平分線垂直底邊．等等．(2)若知某些線段長(zhǎng)度，常利用勾股定理的逆定理．(3)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．(4)向量法：a⊥b?a·b＝0.
2．證明線面垂直的常用方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.
3．求直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角；③求，通過(guò)解三角形，求角．
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA.
(2)解法一：連PE，又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.∴AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.∴∠DPE為PD與平面PAB所成的角．
(2022·黑龍江大慶市質(zhì)檢)在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中點(diǎn)．(1)求證：BE⊥平面PAD；(2)求點(diǎn)E到平面PAB的距離．
[解析]　(1)證明：連接BD，在△PAD中，PA＝PD＝2，E是AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，
又∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BE⊥AD，又∵PE∩AD＝E，PE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.
(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(一般在一個(gè)平面內(nèi)找交線的垂線，證此線與另一面垂直．)(2)在已知面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
(3) (4)求點(diǎn)到平面距離的方法①定義法——作出點(diǎn)到平面的垂線段(借助過(guò)點(diǎn)與已知平面垂直的平面)，求其長(zhǎng)度即可．②體積法．
(2)(2022·山東濟(jì)寧模擬節(jié)選)如圖，四邊形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D為BC中點(diǎn)，AB＝AC.證明：平面ADF⊥平面BCF.
[解析]　(1)取AD的中點(diǎn)O，連接OC交BD于F點(diǎn)，連接EF，∵△PAD是等邊三角形，∴PO⊥AD，　　 ∵OD∥BC，BC＝2OD，∴FC＝2OF.又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，
(2)證明：因?yàn)锳B＝AC，D為BC中點(diǎn)，所以AD⊥BC，因?yàn)樗倪呅蜛BEF是矩形，所以FA⊥AB，因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，AF?平面ABEF，所以AF⊥平面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以AF⊥BC，又AF，AD?平面ADF，AF∩AD＝A，所以BC⊥平面ADF，又BC?平面BCF，所以平面ADF⊥平面BCF.
名師講壇 · 素養(yǎng)提升
(1)(多選題)(2022·四省八校下學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是( )
(2)(多選題)(2021·山東日照模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是( )
對(duì)于C，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，所以點(diǎn)N到直線BB1的距離為NB，即點(diǎn)N到點(diǎn)B的距離與到直線DC的距離相等，又B不在直線DC上，所以點(diǎn)N的軌跡為以B為焦點(diǎn)，直線DC為準(zhǔn)線的拋物線，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
1．立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，準(zhǔn)確抓住“動(dòng)”與“定”的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．立體幾何中軌跡問(wèn)題的解法：(1)利用平行、垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為面面交線，或把空間數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為某平面內(nèi)的數(shù)量關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡；(2)若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線與定直線所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)形成圓錐側(cè)面，可通過(guò)分析平面與圓錐母線及軸的位置關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)在該平面內(nèi)的軌跡．(3)建立直角坐標(biāo)系，求得軌跡方程進(jìn)行判斷．
〔變式訓(xùn)練4〕(1)(2022·安徽蚌埠質(zhì)檢)平面α的一條斜線AP交平面α于P點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)A的直線l與AP垂直，且交平面α于M點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是( 　　)A．一條直線 B．一個(gè)圓C．兩條平行直線 D．兩個(gè)同心圓
[解析]　(1)由題意知M在過(guò)A且與PA垂直的平面β內(nèi)，∴點(diǎn)M的軌跡為平面α與β的交線，故選A.

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