1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的概念
(2)直線與平面垂直的判定定理
(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理
(4)點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線,則該點(diǎn)與垂足間的線段,叫作這個點(diǎn)到該平面的垂線段,該垂線段的長叫作這個點(diǎn)到該平面的距離.
2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的判定定理
(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理
3.空間中的角(1)異面直線所成的角①定義:已知兩條異面直線a,b經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線 a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)直線與平面所成的角①定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫作這條直線和這個平面的所成角.規(guī)定:若直線與平面垂直,則直線與平面所成的角是直角;若直線和平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是0.
(3)二面角①定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫作二面角的面.②二面角的平面角:如圖,若O∈l,OA?α,OB?β,且滿足OA⊥l,OB⊥l,則射線OA,OB所成的角∠AOB叫作二面角α-l-β的平面角.③二面角的平面角θ的取值范圍是[0,π].
空間中的垂直◆角度1.垂直的判斷例1(1)在空間中,設(shè)α,β表示平面,m,n表示直線.則下列命題正確的是(　　)A.若m∥n,n⊥α,則m⊥αB.若α⊥β,m?α,則m⊥βC.若m上有無數(shù)個點(diǎn)不在α內(nèi),則m∥αD.若m∥α,那么m與α內(nèi)的任何直線平行
(2)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,則直線SA與直線BC的位置關(guān)系是(　　)A.相交B.平行C.異面且垂直D.異面但不垂直
(3)(2021年7月浙江學(xué)考)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn),AE⊥平面B1D1C,則(　　)A.AB∶AD∶AA1=1∶1∶2B.AB∶AD∶AA1=1∶2∶2
答案 (1)A　(2)C　(3)C　
解析 (1)A正確;對于B,m不垂直α,β交線時,m不垂直β,故B不正確;對于C,m與α相交時,m上也有無數(shù)個點(diǎn)不在α內(nèi),故C不正確;對于D,m∥α?xí)r,m與α內(nèi)的直線可以平行或異面,故D不正確.故選A.(2)∵SA⊥AB,SA⊥AC,∴SA⊥平面ABC,∵BC?平面ABC,∴SA⊥BC,故選C.(3)∵AE⊥平面B1D1C,∴AE⊥B1D1,∴AE⊥BD,BD垂直AE在底面ABCD上的投影AC,∴AB∶AD=1∶1.同理可知,B1C垂直AE在平面BCC1B1上的投影BE,可得△BCE∽△B1BC,
判斷空間中的垂直關(guān)系時,通?？梢杂么怪钡呐卸ê托再|(zhì)定理來說明,或者通過舉反例的方法排除錯誤選項(xiàng),從而得到正確結(jié)論.
◆角度2.垂直的證明例2如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°,AB=AA1.求證:A1B⊥平面AB1C.
證明 ∵∠CAA1=∠BAC=90°,∴CA⊥AA1,CA⊥AB,又AA1,AB?平面ABB1A1,且AA1∩AB=A,∴CA⊥平面ABB1A1.∵A1B?平面ABB1A1,∴CA⊥A1B.∵∠A1AB=90°且AB=AA1,∴A1B⊥AB1.又CA,AB1?平面AB1C,且CA∩AB1=A,∴A1B⊥平面AB1C.
證明空間中的垂直關(guān)系時,首先要熟悉垂直的判定和性質(zhì)定理,在證明時,通常可以從結(jié)論出發(fā),通過分析法得到需要證明垂直關(guān)系,從而得到證明的思路.
空間中的角◆角度1.空間異面直線所成角例3(2021年1月浙江學(xué)考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱C1D1,A1D1的中點(diǎn),則異面直線DE與AF所成角的余弦值是(　　)
解析 取A1B1中點(diǎn)N,連接NE,NF,NA,∵E,N分別是C1D1,A1B1的中點(diǎn),∴EN∥A1D1,且EN=A1D1,∵在立方體中,AD∥A1D1,且AD=A1D1,∴EN∥AD,且EN=AD,∴四邊形ANED為平行四邊形,∴AN∥DE,∴∠FAN即為異面直線DE與AF所成角(或其補(bǔ)角).
平移線段法是求異面直線所成角的常用方法,其基本思路是通過平移直線,把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決.
◆角度2.空間中直線與平面所成角例4(1)(2020年7月浙江學(xué)考)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=BB1=1,則直線A1B與平面A1B1CD所成角的正弦值是　　　　　.?
(2)(2020年1月浙江學(xué)考)在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,鱉臑(biē nà)是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖,在直角三角形ABC中,AD為斜邊BC上的高,AB=3,AC=4,現(xiàn)將△ABD沿AD翻折得到△AB'D,使得四面體AB'CD為一個鱉臑,則直線B'D與平面ADC所成角的余弦值是　　　　　.?
解析 (1)如圖,連接BC1,交CB1于K,連接A1K,由題可知,A1B1⊥平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1,又四邊形BB1C1C是正方形,∴BC1⊥CB1,又A1B1∩CB1=B1,∴BC1⊥平面CB1A1D,∴∠BA1K即為直線A1B與平面A1B1CD所成的角,
(2)作B'M⊥CD交CD于M,∵AD⊥CD,AD⊥DB',且CD∩DB'=D,∴AD⊥平面DB'C,∵AD?平面ACD,∴平面ACD⊥平面DB'C.又平面ACD∩平面DB'C=DC,且B'M⊥CD,∴B'M⊥平面ACD,∴∠B'DM即為B'D與平面ADC所成的角,∵在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,
要使得四面體AB'CD為一個鱉臑,則需滿足DB'⊥B'C,在Rt△B'DC中,
求線面角的步驟:①作,作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影;②證,證明某平面角就是斜線與平面所成的角;③求,通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.
◆角度3.二面角例5如圖,設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑,PA為母線,點(diǎn)C在底面圓周上,若PA=AB=2,AC=BC,則二面角P-AC-B大小的正切值是(　　)
解析 過點(diǎn)O作OD⊥AC交AC于點(diǎn)D,連接PD,∵PO⊥平面ABC,可知PD⊥AC,∴∠PDO即為二面角P-AC-B的平面角.∵PA=AB=2,AC=BC,
尋找二面角的平面角的方法(1)定義法:在二面角的棱上任找一點(diǎn),以此點(diǎn)為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,兩射線所成的小于或等于180°的角.(2)垂線法:過一個平面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個平面的垂線,垂足為B,過垂足B作二面角的棱的垂線,垂足為O,連接AO,∠AOB即為二面角的平面角.(3)垂面法:過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面,該平面與二面角的兩個半平面相交,得到兩條交線,這兩條交線形成的角即為二面角的平面角.
解析 如圖,∠POQ為二面角α-l-β的平面角,故∠POQ=60°,由于l⊥平面POQ,所以平面POQ⊥平面α,過點(diǎn)Q作QH⊥PO于點(diǎn)H,則QH⊥α,所以Q到平面α的距離為QH,又因?yàn)镼H= ,故選B.

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