2022-2023學(xué)年遼寧省第三十一中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)y＝x2cos 2x的導(dǎo)數(shù)為（    ）A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2xB．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2xsin 2xD．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x【答案】B【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則計算即可．【詳解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x故選：B2．已知數(shù)列滿足，，其前n項和為，則(    )A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)首項和遞推公式求出數(shù)列前五項，判斷出數(shù)列為周期數(shù)列，根據(jù)周期性即可求．【詳解】數(shù)列滿足，，，，，，…數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，，∴．故選：B．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明，當時，等式左邊應(yīng)在時的基礎(chǔ)上加的項是（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】分別令，，然后作差求解.【詳解】等號左邊加的項是,,故選：C4．將一個底面半徑為1，高為2的圓雉形工件切割成一個圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用三角形相似求得與的關(guān)系式，寫出圓柱的體積，利用不等式，即可求解.【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，體積為，由與相似，可得，則，所以圓柱的體積為，所以圓柱的最大體積為，此時.故選：C.5．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)列于表中：已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)為，則該數(shù)據(jù)的殘差為（    ）色差x21232527色度y15181920 A． B． C．0.8 D．0.96【答案】C【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出，，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心，即可求出，從而得到回歸直線方程，再將代入回歸方程，求出預(yù)測值，從而求出殘差.【詳解】由題意可知，，，將代入，即，解得，所以，當時，，所以該數(shù)據(jù)的殘差為.故選：C.6．九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列滿足，且當時，則解開5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（    ）A．10 B．16 C．21 D．22【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得.故選：D.7．已知數(shù)列的前項和滿足(）且，則A． B． C． D．【答案】C【分析】數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，可得Sn+1=Sn+S1，可得an+1=5．即可得出．【詳解】數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，則Sn+1=Sn+S1=Sn+5．可得an+1=5．則a8=5．故選C．【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)底數(shù)）在處取得極小值，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，得到，若，滿足在處取得極小值，若，令，得=1或，只需就滿足在處取得極小值，求解即可．【詳解】由，得．當時，，由，得，由，得．∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在=1取得極小值；當時，令，得=1或，為使在=1取得極小值，則有，∴．綜上可得：【點睛】本題考查了函數(shù)的極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題． 二、多選題9．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（    ）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為D．若，則函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點【答案】ABD【分析】求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出AB錯誤；C選項，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而寫出切線方程；D選項，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值情況，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論.【詳解】，定義域為R，，當或時，，當時，，所以函數(shù)在上不單調(diào)，AB錯誤；時，，，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，C正確；時，，，由A選項所求可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，且，，畫出的圖象如圖所示，顯然函數(shù)的圖象與直線有3個公共點，D錯誤.故選：ABD10．數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（    ）A．已知，則使得成等比數(shù)列的充要條件為B．若為等差數(shù)列，且，則當時，的最大值為2022C．若，則數(shù)列前5項的和最大D．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則【答案】CD【分析】對于A：利用等比中項求出，即可判斷；對于B：由等差數(shù)列的性質(zhì)求出即可判斷；對于C：先判斷出為等差數(shù)列，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出時，取得最大值；對于D：利用等差數(shù)列的分段和性質(zhì)直接求解.【詳解】對于A：因為，所以使得成等比數(shù)列等價于，即，解得：.故A錯誤；對于B：因為為等差數(shù)列，且，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以.故B錯誤；對于C：因為，所以，，所以為等差數(shù)列.所以的前項和為.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當時，取得最大值.故C正確；對于D：在等差數(shù)列中，設(shè).因為，所以，且.由等差數(shù)列的分段和性質(zhì)可知：也構(gòu)成等差數(shù)列，所以，解得：，所以.故D正確.故選：CD11．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的極小值為2B．函數(shù)有且只有1個零點C．當時，恒成立D．對任意兩個正實數(shù)，且，若，則【答案】BC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極小值，判斷A，C，D，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點個數(shù)，判斷B即可．【詳解】解：對于A：函數(shù)的定義域是，，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增，（2），故A錯誤；對于B：令，則，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，又（1），（2），故函數(shù)有且只有1個零點，故B正確；對于C：令，因為，由A選項可知，所以當時，恒成立，故C正確；對于D：設(shè)，，結(jié)合A選項可知，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故在遞減，，，則，故（2），即，在遞增，，可證，故D錯誤.故選：BC.12．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)了這樣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，并將數(shù)列中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由列舉法分析可得數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，由此分析可得A正確，C錯誤，根據(jù)數(shù)列的遞推公式分析可得B、D正確，綜合可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，，，，，，，，，，，，，故數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，依次分析選項：對于A，，，故A正確；對于B，，，故，B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，，則，，，，故，故D正確；故選：ABD． 三、填空題13．已知函數(shù)的解析式唯一，且滿足.則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】先求得的解析式，然后利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】由，可得，設(shè)，又由，有，得，可得，故所求切線方程為，整理為.故答案為：14．購買一件某家用電器需要10000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一月，購買后一個月開始付款，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率，按復(fù)利計算，那么每期應(yīng)付款為__________元.（）【答案】880【分析】這是一個分期付款問題，關(guān)鍵是計算各期付款到最后一次付款時所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，應(yīng)等于所購物品的現(xiàn)價及這個現(xiàn)價到最后一次付款所生利息之和【詳解】設(shè)每期應(yīng)還款元，則第1期還款后，還欠款 第2期還款后，還欠款 ……………第12期還款后，還欠款第12期還款后，還欠款應(yīng)為0所以即所以故答案為：880【點睛】本題考查數(shù)列的實際問題，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．15．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則______________．【答案】【分析】由，推得，得到數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列，求得和 ，進而得到，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的前項和，且滿足，當時，，兩式相減，可得，即，令，可得，解得，所以數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：由，利用，推得從而證得數(shù)列為等比數(shù)列是解答本題的關(guān)鍵.16．已知函數(shù)，，若圖象向下平移個單位后與的圖象有交點，則的最小值為______．【答案】【分析】分析可知在上有解，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得解.【詳解】由題意可得，即在上有解，設(shè)，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，即，令，其中，則，故在上遞增，因為，則，，由可得，所以，，則，且當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故，所以，.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題. 四、解答題17．已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，，成等比數(shù)列可得，與進行聯(lián)立即可求解；（2）由（1）得，利用裂項相消法即可.【詳解】（1）設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為，首項為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即①，又，所以②，聯(lián)立①②解得，故.（2）由（1）可知，，所以數(shù)列的前n項和.18．為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)隨機抽取了800名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下列聯(lián)表：性別?煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生200200400女生240160400合計440360800(1)依據(jù)列聯(lián)表中的所有樣本觀測數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認為性別因素會影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)若從學(xué)校所有女生中隨機抽取3人，用表示這3人中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，用樣本頻率估計概率，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①，其中.②臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)可以認為性別因素會影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)題意，計算的值，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由條件可得服從二項分布，然后結(jié)合二項分布的概率計算公式以及期望公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，因此有95%的把握認為性別因素會影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性.（2）由頻率估計概率得，在學(xué)校女生中隨機抽取1個經(jīng)常運動的女生的概率為，由題得，則，，，，所以的分布列為：0123所以的期望.19．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟及對進行分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意時，函數(shù)，所以，令得或，，當或時，；當時，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在時取得極大值，且；在時取得極小值．且，又，，所以函數(shù)在區(qū)間上取得最大值為，最小值為；（2），且，當時，，此時在單調(diào)遞增；當時，時，，此時單調(diào)遞增；時，，此時單調(diào)遞減；當時，時，，此時單調(diào)遞增；時，，此時單調(diào)遞減；綜上所述：當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．20．某商店為了更好地規(guī)劃某種產(chǎn)品的進貨量，該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機抽取了組數(shù)據(jù)作為研究對象，如表（噸）為該商品的進貨量，（天）為銷售天數(shù)：/噸/天(1)根據(jù)上述提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測進貨量為時的銷售天數(shù)；（結(jié)果四舍五入）；(2)在該商品進貨量不超過噸的前提下任取個值，求該商品進貨量恰好有個值不超過噸的概率.參考數(shù)據(jù)和公式：，，，.【答案】(1)回歸直線方程為，預(yù)測進貨量為時的銷售天數(shù)約為天(2) 【分析】（1）計算出、，利用最小二乘法求出、的值，可得出回歸直線方程，將代入回歸直線方程，可得出結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）解：，，所以，，所以，，所以回歸直線方程為，當時，，預(yù)測進貨量為時的銷售天數(shù)為天.（2）解：進貨量不超過噸有、、、、，共個，任取個的基本事件有：、、、、、、、、、，共種結(jié)果，恰好有次不超過噸的基本事件有：、、、、、，共種結(jié)果，所以所求的概率為.21．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用退一相減法可得數(shù)列為等差數(shù)列，進而可得其通項公式；（2）利用錯位相減法可得，再根據(jù)的單調(diào)性可得取值范圍.【詳解】（1）由，得①，所以當時，②.由①減②，得.因為數(shù)列為各項均為正數(shù)的數(shù)列，所以，又由，，得所以，所以故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以；（2）由（1），得，所以數(shù)列的前項和.所以，兩式作差可得：，所以由于，，則數(shù)列在上單調(diào)遞增，于是.22．設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明:當時，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得答案.(Ⅱ) ，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.【詳解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ) ，即，存在唯一零點，設(shè)零點為，故，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，，故恒成立，故單調(diào)遞減.，故當時，.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵. 

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