2022-2023學(xué)年遼寧省鐵嶺市昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，且?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合A，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得：，若?，則.故選：B.2．設(shè)為實(shí)數(shù)，則是 “”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由“x＜0”易得“”，反過來，由“”可得出“x＜0”，從而得出“x＜0”是“”的充分必要條件．【詳解】若x＜0，﹣x＞0，則：；∴“x＜0“是““的充分條件；若，則；解得x＜0；∴“x＜0“是““的必要條件；綜上得，“x＜0”是“”的充分必要條件．故選C．【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，作差可推得，開方即可得出.作差可得，開方即可得出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，所以，.因?yàn)?/span>，，所以.綜上所述，.故選：A.4．波恩哈德·黎曼是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，黎曼函數(shù)是他發(fā)現(xiàn)并提出的，其解析式為：，若函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x都有，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，結(jié)合奇偶性可得的值，進(jìn)而可得 的值，即可得答案．【詳解】若函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x都有， 可得，故偶函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由 ，當(dāng)時(shí)，，，由且為無理數(shù)，， ，所以故選：D．5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域?yàn)?/span>因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.6．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋?/span>對(duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，則（    ）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由題可得函數(shù)的周期為4，結(jié)合條件可得，進(jìn)而可求，即得.【詳解】∵定義在上的奇函數(shù)滿足，∴，∴，即函數(shù)的周期為4，又當(dāng)時(shí)，，，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴.故選：C.8．已知函數(shù)滿足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由已知可得，，恒成立，又，故選B.【解析】1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、函數(shù)與不等式，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 二、多選題9．下列不等式的解集為R的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)變形為即可判斷；B選項(xiàng)，變形為即可判斷；C選項(xiàng)，的解集為或即可判斷；D選項(xiàng)，變形為即可判斷.【詳解】即，不等式的解集為R，A正確；變形為，即，不等式的解集為R，B正確；的解集為或，解集不是R，C錯(cuò)誤；，因?yàn)?/span>，不等式兩邊同乘以，即，，故不等式的解集為R，D正確.故選：ABD10．下列說法正確的是（    ）A．命題“，都有”的否定是“，使得”B．當(dāng)時(shí)，的最小值是5C．若不等式的解集為，則D．“”是“”的充要條件【答案】BC【分析】對(duì)A，根據(jù)全稱命題的否定判斷即可對(duì)B，根據(jù)基本不等式求解即可；對(duì)C，根據(jù)二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；對(duì)D，根據(jù)分式不等式求解判斷即可【詳解】對(duì)A，命題“，都有”的否定是“，使得”，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)C，由不等式的解集為，可知，，∴，，，故C正確；對(duì)D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．已知函數(shù)，則（    ）A．是奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞增C．方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)的值域是【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的定義域，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可判斷A，分離常數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，解方程可判斷C，分離常數(shù)求解函數(shù)值域可判斷D.【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B．時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，B正確； C．由題可得是方程的一個(gè)根，時(shí)，(舍去)， 時(shí)，，故C正確；D．時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增B．函數(shù)在定義域上有極小值C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．不等式的解集為【答案】AC【分析】令，得到，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)得到，進(jìn)而得到，可判定A正確，B不正確；求得，進(jìn)而可判定C正確；設(shè)且，求得，可得，進(jìn)而可判定D錯(cuò)誤.【詳解】令，則，因?yàn)?/span>，可得，又由，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，所以單調(diào)遞增，所以A正確，B不正確；由函數(shù)，可得，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以C正確；設(shè)，則，則因?yàn)?/span>，所以，所以，令，則注意到時(shí)，，進(jìn)而單減，知時(shí)“，即.”時(shí)單減，而，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，極值，利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)不等式的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意合理構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)解決，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題 三、填空題13．若，且，則z的最小值是________.【答案】【分析】直接利用均值不等式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，即z的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14．已知命題，命題，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】[－2，5]【詳解】試題分析：，，因?yàn)?/span>是的必要不充分條件，所以是的真子集，即【解析】充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．2．等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．15．設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且對(duì)任意，都有．若當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為__________．【答案】【分析】由題知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，，，，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為解即可得答案.【詳解】解：設(shè)，且，則因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都有．所以，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椴坏仁?/span>等價(jià)于不等式，即，因?yàn)閷?duì)任意，都有，，所以，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得所以，所以，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，所以，的解集為，所以，不等式的解集為故答案為：16．設(shè)函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的值域，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】由題意知，存在，使得成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則的取值范圍是，故，則，則，故．故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn).(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)(2) 【分析】（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性即可求出結(jié)論，注意真數(shù)大于0的這一隱含條件．【詳解】（1）因?yàn)?/span>函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn).，所以，即；（2）因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以，即不等式的解集是．18．若不等式的解集為．（1）求的值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）a＝﹣1；（2）（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）.【解析】（1）由已知不等式的解集得到ax2+5x+14＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-2和7，利用韋達(dá)定理即可求出a的值；（2）將a＝﹣1代入不等式，求出對(duì)應(yīng)方程的根，求出不等式的解集即可．【詳解】（1）依題意可得：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-2和7，由韋達(dá)定理得：-2+7＝﹣，解得：a＝﹣1；（2）由（1）a＝﹣1，故，即2x2-3x﹣2＞0，解得：x或x，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一元二次不等式與二次函數(shù)，二次方程之間的關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意開口的方向.19．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)76 【分析】（1）求導(dǎo)后根據(jù)極值點(diǎn)的定義與滿足的關(guān)系式求解即可；（2）分析區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與左端點(diǎn)再判斷大小即可【詳解】（1），是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)    ，      ，， 令，解得或；令，解得.所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1），又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)在的極大值為，又，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.20．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是 【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得出切線斜率，再計(jì)算出，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，整理即得；（2）由得增區(qū)間，得減區(qū)間，即可．【詳解】（1）由題意得：，所以(1)，(1)，故曲線在點(diǎn)，(1)處的切線方程，即；（2），令，易得或，令，易得，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是.21．已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若，，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增；(2). 【分析】（1）需對(duì)原函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，再得到其二次求導(dǎo)后的函數(shù)最值，再得到一次求導(dǎo)后的函數(shù)大于等于0，最后得到原函數(shù)的單調(diào)性.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，得到符合題意的情況，再利用換元，隱零點(diǎn)等證明部分分類討論情況不合題意.【詳解】（1）解：若，，則，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故在上單調(diào)遞增.（2），由（1）得：當(dāng)，即，若，，在上單調(diào)遞減，由于，所以時(shí)，，不符合題意；若，令，則，由于，所以，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由于，若，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，，符合題意；若，，而，可得：；令，則，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，所以，即，因此，使得，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意；綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于有些函數(shù)一次求導(dǎo)后無法直接得到其單調(diào)性，我們需要二次求導(dǎo)再往前推出原函數(shù)單調(diào)性，分類討論的數(shù)學(xué)思想在導(dǎo)數(shù)題中經(jīng)常體現(xiàn)，同時(shí)換元法，設(shè)隱零點(diǎn)等都是常見的數(shù)學(xué)技巧，平時(shí)要多加積累.22．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將問題化為在上恒成立，令，只需即可，利用導(dǎo)數(shù)研究最值，即可得參數(shù)范圍；（2）將問題化為在上恒成立，討論、、，并利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)，()在上恒成立，所以在上恒成立，令，只需即可，由，故時(shí)，時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，則，綜上，.（2）由題設(shè)，()在上恒成立，所以在上恒成立，（i）當(dāng)時(shí)證恒成立即可，令，則，若且，則，在上，遞減，在上，遞增，所以，即在上恒成立，故恒成立，滿足；（ii）當(dāng)時(shí)，，又在上遞增，所以，由（i）知：，所以恒成立，滿足；（iii）當(dāng)時(shí)，由上知：成立，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，令，則，所以使成立，即成立，由，同（ii）分析可得：，故使成立，不合題意；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，轉(zhuǎn)化為研究在上恒成立，分類討論參數(shù)研究恒成立問題. 

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