2022-2023學(xué)年遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．學(xué)校要從5名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值是（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用超幾何分布的均值公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題知服從的超幾何分布，所以，故選：C.2．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（    ）A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C3．現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車(chē)”，但也有很多市民并不認(rèn)可.為了調(diào)查人們對(duì)這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到如下列聯(lián)表： A總計(jì)認(rèn)可13518不認(rèn)可71522總計(jì)202040附：.P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．沒(méi)有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”【答案】D【分析】計(jì)算出，比較所給數(shù)據(jù)，可得結(jié)論．【詳解】由題意，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，又，所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”.故選：D.4．已知數(shù)列{}滿(mǎn)足（n∈N*），則=（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，應(yīng)用作差法可得，進(jìn)而求得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證是否滿(mǎn)足通項(xiàng)公式.【詳解】由題設(shè)，①，則②，①-②得：，所以，由①知也滿(mǎn)足上式，故（n∈N*）.故選：C.5．設(shè)函數(shù)，已知，，，，則（    ）A．－2 B．－1 C． D．3【答案】B【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入已知條件計(jì)算即可.【詳解】由已知，.故選：B.6．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B【詳解】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．7．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（    ）A． B．C． D．3【答案】B【分析】先由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)出，，再按照直接計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式滿(mǎn)足形式，設(shè)，則，故.故選：B.8．設(shè)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)和，畫(huà)出函數(shù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，進(jìn)而可得切線斜率，結(jié)合圖像關(guān)系即可求解．【詳解】如圖，由有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖像，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)的直線與的切點(diǎn)為，由，得，所以，故切線方程為，把定點(diǎn)代入得：，即，所以，即直線的斜率為，由圖知，當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，所以使有三個(gè)不同的零點(diǎn)的的取值范圍是.故選：C. 二、多選題9．袋內(nèi)有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球，從中不放回地每次任取1個(gè)小球，直至取到白球后停止取球，則（    ）A．抽取2次后停止取球的概率為 B．停止取球時(shí)，取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為C．取球次數(shù)ξ的期望為2 D．取球3次的概率為【答案】BD【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列,求出隨機(jī)變量的所有可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率,即可求解.【詳解】設(shè) 為取球的次數(shù),則可取1,2,3,故可知，，，對(duì)于A，抽取2次后停止取球的概率為：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，停止取球時(shí)，取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為：故B正確；，故C錯(cuò)誤；取球三次的概率為，故D正確.故選:BD10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】BC【分析】對(duì)選項(xiàng)A，利用特值法判斷即可得到A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，利用與的關(guān)系判斷即可得到B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)等差數(shù)列公式即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，利用特值法判斷即可判斷D.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，，，，不滿(mǎn)足是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)：時(shí)，，所以，即是等比數(shù)列，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，，，，不滿(mǎn)足，，成等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則下列選項(xiàng)正確的有（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式判斷選項(xiàng)A，B，C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，令，，因?yàn)?/span>，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，故D不正確.故選：AC.12．骰子通常作為桌上游戲的小道具.最常見(jiàn)的骰子是六面骰，它是一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3、4、5、6.現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有關(guān)，規(guī)則如下：在第關(guān)要拋擲六面骰次，每次觀察向上面的點(diǎn)數(shù)并做記錄，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算闖過(guò)第關(guān)，.假定每次闖關(guān)互不影響，則(    )A．直接挑戰(zhàn)第關(guān)并過(guò)關(guān)的概率為B．連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)，至多過(guò)一關(guān)的概率為C．若直接挑戰(zhàn)第關(guān)，設(shè)“三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于”，至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則D．若直接挑戰(zhàn)第關(guān)，則過(guò)關(guān)的概率是【答案】ACD【分析】選項(xiàng)AD：由題意利用分類(lèi)討論的方法，求出滿(mǎn)足題意的基本事件數(shù)以及基本事件總數(shù)即可求解；選項(xiàng)B：首先求出和時(shí)過(guò)關(guān)的概率，并結(jié)合對(duì)立事件性質(zhì)即可求解；選項(xiàng)C：首先求出事件和事件的概率，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閽仈S2次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于6的情況有21種，從而直接挑戰(zhàn)第關(guān)并過(guò)關(guān)的概率為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，拋擲1次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于3的情況有3種，從而直接挑戰(zhàn)第1關(guān)并過(guò)關(guān)的概率為，故連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)，至多過(guò)一關(guān)的概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知，拋擲3次共有個(gè)基本事件，故事件共有個(gè)基本事件，所以，又因?yàn)槭录?/span>共有7個(gè)基本事件：拋擲3次，點(diǎn)數(shù)都為5的共1種；拋擲3次中，僅有1次點(diǎn)數(shù)為5的共6種，所以，故，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，基本事件總數(shù)共個(gè)，而“點(diǎn)數(shù)之和大于20”等價(jià)于拋擲4次中，至少有1次點(diǎn)數(shù)為6，即包含以下35種基本事件：拋擲4次，有1次點(diǎn)數(shù)為6的，共有4種；拋擲4次，有2次點(diǎn)數(shù)為6的，共有18種；拋擲4次，有3次點(diǎn)數(shù)為6的，共有12種；拋擲4次，有4次點(diǎn)數(shù)都為6的，共有1種，所以，故D正確.故選：ACD. 三、雙空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”的第二步是：設(shè)，則假設(shè)＝______時(shí)正確，再推＝______時(shí)正確． 【答案】          【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除，第一步，當(dāng)時(shí)，能被整除；第二步，假設(shè)，時(shí)，命題正確，再證明，時(shí)，命題正確． 故答案為：， 四、填空題14．為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響.若產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元.已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則P(X≥－80)＝________.【答案】【解析】首先求某產(chǎn)品兩輪檢測(cè)合格的概率，X的所有可能取值為－320，－200，－80,40,160，然后根據(jù)二項(xiàng)分布求其概率，并計(jì)算.【詳解】由題意得該產(chǎn)品能銷(xiāo)售的概率為,易知X的所有可能取值為－320，－200，－80,40,160，設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷(xiāo)售的件數(shù)，則ξ～B，所以，所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝ ，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝,故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和二項(xiàng)分布，意在考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)于此類(lèi)考題，要注意認(rèn)真審題，從數(shù)學(xué)與實(shí)際生活兩個(gè)角度來(lái)理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì),將問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化為古典概型，獨(dú)立事件、互斥事件等概率模型求解，因此對(duì)概率型應(yīng)用性問(wèn)題，理解是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.15．若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線也與函數(shù)的圖象相切，則實(shí)數(shù)k的值為_______（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【答案】/【分析】先求導(dǎo)求出點(diǎn)處的切線斜率，寫(xiě)出切線方程，再設(shè)出函數(shù)上的切點(diǎn)，表示出切線方程，由兩條切線對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，解方程即可.【詳解】由得，則點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，即；由函數(shù)得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，故切線方程為，即，則，解得，故.故答案為：.16．已知各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列中，，且對(duì)于任意的，滿(mǎn)足，，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式可得，兩式相加可得，結(jié)合條件求得，利用累加法即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，兩式相加得，又，且數(shù)列各項(xiàng)都為整數(shù)，所以，又，從而,故答案為: . 五、解答題17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用，整理可得數(shù)列是等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式即可；（2）求出，然后分組求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，整理得，又，得則數(shù)列是以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.則，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則18．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．【答案】(1) f(x)＝x＋；(2)證明見(jiàn)解析【詳解】(1)解　f′(x)＝a－，解得或因?yàn)?/span>a，b∈Z，故f(x)＝x＋.(2)在曲線上任取一點(diǎn)，由f′(x0)＝1－知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為y－＝[1－] (x－x0)．令x＝1，得y＝， 切線與直線x＝1的交點(diǎn)為 (1,)；令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)；直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)，從而所圍三角形的面積為|2x0－1－1|＝2.所以，所圍三角形的面積為定值2.19．新高考方案的考試科目簡(jiǎn)稱(chēng)“”，“3”是指統(tǒng)考科目語(yǔ)數(shù)外，“1”指在首選科目“物理、歷史”中任選1門(mén)，“2”指在再選科目“化學(xué)、生物、政治和地理”中任選2門(mén)組成每位同學(xué)的6門(mén)高考科目.假設(shè)學(xué)生在選科中，選修每門(mén)首選科目的機(jī)會(huì)均等，選擇每門(mén)再選科目的機(jī)會(huì)相等.（Ⅰ）求某同學(xué)選修“物理、化學(xué)和生物”的概率；（Ⅱ）若選科完畢后的某次“會(huì)考”中，甲同學(xué)通過(guò)首選科目的概率是，通過(guò)每門(mén)再選科目的概率都是，且各門(mén)課程通過(guò)與否相互獨(dú)立.用表示該同學(xué)所選的3門(mén)課程在這次“會(huì)考”中通過(guò)的門(mén)數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）顯然各類(lèi)別中，一共有種組合，而選修物理、化學(xué)和生物只有一種可能，于是通過(guò)古典概率公式即可得到答案；（Ⅱ）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，從而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（Ⅰ）記“某同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物”為事件，因?yàn)楦黝?lèi)別中，學(xué)生選修每門(mén)課程的機(jī)會(huì)均等則，答：該同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物的概率為.（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3.因?yàn)?/span>，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列和數(shù)學(xué)期望的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力要求較高.20．已知兩曲線和都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)P處有公切線．(1)求a，b，c的值；(2)求公切線所在的直線方程；(3)若拋物線上的點(diǎn)M到直線的距離最短，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和最短距離．【答案】(1)，，(2)(3)， 【分析】（1）對(duì)已知兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，由公切線得斜率相等，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)式，可解得；（2）由（2）得切線斜率，從而得公切線方程；（3）由拋物線的導(dǎo)數(shù)值等于4可得點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式可得結(jié)論．【詳解】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)定義可知，兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是．．將分別代入兩曲線方程得到，．又，，則，解得，，．（2）由（1）知，；當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，即．由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，即．綜上所述，公切線所在的直線方程為．（3）要使拋物線上的點(diǎn)M到直線的距離最短，則拋物線在點(diǎn)M處的切線斜率應(yīng)該與直線相同，則，解得．又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，解得，所以最短距離即d為點(diǎn)M到直線的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式得．即最短距離為．21．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，給出以下三個(gè)條件：①，；②；③，.從這三個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)所選條件構(gòu)造數(shù)列或利用與關(guān)系求解（2）根據(jù)題意求和，使用裂項(xiàng)相消法【詳解】（1）若選①：由，得.令，，可得.當(dāng)時(shí)，，，…，，累加得.又，則，則.又也適合上式，所以.若選②：由，可得.又是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，則.當(dāng)時(shí)，.又也適合上式，所以.若選③：由得，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，整理得.由于，故，即是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得，，則，所以.22．如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開(kāi)始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為．（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)等可能性知每次贏、平、輸?shù)母怕式詾?/span>．再分兩種情況分別計(jì)數(shù)：一種是小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；另一種是小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，逆推確定事件數(shù)及對(duì)應(yīng)劃拳的次數(shù)，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先確定隨機(jī)變量取法,再分別利用組合求對(duì)應(yīng)概率,列表可得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：解：（1）易知對(duì)于每次劃拳比賽基本事件共有個(gè)，其中小華贏（或輸）包含三個(gè)基本事件上，他們平局也為三個(gè)基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第 次劃拳小華平”為；事件“第 次劃拳小華輸”為，所以．因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，其概率為所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為．（2）依題可知的可能取值為2、3、4、5，，，，所以的分布列為：2345所以的數(shù)學(xué)期望為：． 

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