2022-2023學年遼寧省鞍山市第一中學高二下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列5，9，13，…，則下列哪個數(shù)是這個數(shù)列中的項（    ）A．19 B．21 C．30 D．31【答案】B【分析】根據(jù)前兩項求出通項公式，根據(jù)通項公式可得答案.【詳解】記等差數(shù)列為，則，，所以公差，所以，所以.故選：B.2．下列求導運算中，正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則即可求出結果.【詳解】對于選項A，，所以選項A錯誤；對于選項B，，所以選項B錯誤；對于選項C，，所以選項C錯誤；對于選項D，，所以選項D正確.故選：D.3．若隨機變量，且，那么（    ）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】A【分析】由題意可得，根據(jù)即可求得．【詳解】由，得，由題意，正態(tài)曲線關于對稱，所以，故選：A．4．若五個數(shù)、、、、成等比數(shù)列，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】設等比數(shù)列、、、、的公比為，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等比中項的性質(zhì)可得出結果.【詳解】設等比數(shù)列、、、、的公比為，則，由等比中項的性質(zhì)可得，所以，，.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列基本性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于基礎題.5．甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用獨立事件及互斥事件的概率求法求解該問題被解答的概率，再利用條件概率計算公式求解即可.【詳解】設事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則，，故，所以在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為：.故選：D6．等比數(shù)列的前n項積為，且滿足，，，則使得成立的最大自然數(shù)n的值為（    ）A．102 B．203C．204 D．205【答案】C【解析】由題意可得，，利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，即，則有，即。所以等比數(shù)列各項為正數(shù)，由，即，可得：，所以，，故使得成立的最大自然數(shù)n的值為204，故選：C【點睛】關鍵點點睛：在分析出，的前提下，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，即可求解，屬于難題.7．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用導數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.8．若函數(shù)在區(qū)間恰有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)有兩個極值點得到導函數(shù)有兩個零點，從而轉化為有兩個不等變號實根，構造函數(shù)，使和有兩個交點即可求解.【詳解】函數(shù)，求導得：，因為函數(shù)在區(qū)間恰有兩個極值點，所以在區(qū)間有兩個相異的變號實根，即方程在區(qū)間有兩個相異的變號實根，構造函數(shù)，則，，當或時，，當時，，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當時，取極大值，當時，取極小值，又當時，，又，所以，要使方程在區(qū)間有兩個相異的實根，則函數(shù)和函數(shù)有兩個交點，則，即，故實數(shù)的取值范圍是.故選：A 二、多選題9．已知數(shù)列，，下列說法正確的有（    ）A．若，則為遞減數(shù)列B．若，，則為等比數(shù)列C．若數(shù)列的公比，則為遞減數(shù)列D．若數(shù)列的前n項和，則為等差數(shù)列【答案】ABD【分析】對A計算可得答案；對B變形得可得答案；對C舉例求出可得答案；對D. 求出可得答案.【詳解】對A，當時，，即，A正確；對B，因為，，所以，由已知得，則是以3為公比的等比數(shù)列，B正確；對C，當時，，，則，故不是遞減數(shù)列，C錯誤；D.由得時，，，，檢驗得，時，滿足，所以，，則為等差數(shù)列，D正確.故選：ABD.10．以下命題正確的是（    ）A．關于正態(tài)分布，當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”B．設隨機變量，則的值等于2C．回歸直線一定過樣本的中心D．關于獨立性檢驗，越小，與有關系的把握程度就越大【答案】AC【分析】由正態(tài)分布曲線的特點和正態(tài)分布的方差即可判斷A和B,由線性回歸的特點可判斷C;由獨立性檢驗的相關指數(shù)的特點來判斷D.【詳解】由正態(tài)分布曲線的特點可得: 當一定時，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”,A正確; 由若X服從正態(tài)分布則D(X)=, D(X)=D(X)=,所以設隨機變量時D(X)=,則B不正確;由線性回歸的性質(zhì)可得回歸直線一定過樣本中心點,則C正確; 由獨立性檢驗的知識點可得當越大時, A與B有關系的把握程度就越大,則D不正確.故選:AC.【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點和正態(tài)分布中隨機變量的方差的求解,考查了線性回歸和獨立性檢驗的性質(zhì)特點,屬于基礎題.11．定義在上的函數(shù)，滿足，則下列說法正確的有（    ）A．若，則B．在處取得極小值C．有且只有一個零點的充要條件為D．若對任意的，恒成立，則【答案】AB【分析】對于對于，構建函數(shù)，求其最小值即可；對于，研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可；對于，利用特例即可作出判斷.【詳解】對于，，令，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，成立；對于，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在處取得極小值，，因此正確；對于，由可得：有且只有一個零點的充要條件為，因此不正確；對于，對任意的，恒成立∴時，即，因此不正確．故選：．12．已知數(shù)列中，，，下列說法正確的是（參考公式：）（    ）A．B．C．D．存在，使得【答案】ABC【分析】由題意可得到，再根據(jù)累乘法可求得，從而可求得，進而即可判斷A，B；將進行分組求和即可判斷C；先對分組求和，再進行放縮，再結合裂項相消即可判斷D．【詳解】由，則，所以，又，得，對于A，由，故A正確；對于B，由，故B正確；對于C，由，所以，故C正確；對于D，由，所以，故D錯誤．故選：ABC．【點睛】關鍵點睛：運用累乘法、分組求和、放縮、裂項相消法是解題的關鍵． 三、填空題13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為___________.【答案】【分析】求出導函數(shù)，計算出切線斜率，同時計算出函數(shù)值，然后可得切線方程．【詳解】由得，所以，所以的圖象在處的切線方程為，即.故答案為：．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題，函數(shù)圖象在點處的切線方程是．14．假設某市場供應的智能手機中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下：已知該市場智能手機的優(yōu)質(zhì)品率為，則乙品牌手機的優(yōu)質(zhì)品率P為______．品牌甲乙其他市場占有率優(yōu)質(zhì)率P 【答案】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)計算優(yōu)質(zhì)品率即可得解.【詳解】設市場供應的智能手機共有a，則其中優(yōu)質(zhì)品有：，故該市場智能手機的優(yōu)質(zhì)品率為，解得，故答案為：15．若數(shù)列對任意正整數(shù)，有（其中，為常數(shù)，且），則稱數(shù)列是以為周期，以為周期公比的類周期性等比數(shù)列．已知類周期性等比數(shù)列的前4項為1，1，2，3，周期為4，周期公比為3，則數(shù)列前25項的和為___________．【答案】3277【分析】利用分組求和和等比數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】由題意可知，，，且，所以，故答案為：327716．若函數(shù)與的圖像有兩個不同的公共點，則a的取值范圍為____________.【答案】【分析】令,根據(jù)題意在有兩個零點，求導借助導數(shù)研究單調(diào)性分析得，的極小值，其中，進而轉化為能成立問題，借助基本不等式求解即可.【詳解】令，函數(shù)與的圖像有兩個不同的公共點，等價于在有兩個零點，，令，則，令，，易得恒成立，故在單調(diào)遞增，易得，故存在，使得，即，即，當時，，等價于，則在上單調(diào)遞減，當時，，等價于，則在上單調(diào)遞減，故為極小值，因為在有兩個零點，則，即，因為，則，則，即，解得故答案為：. 四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關系式求出數(shù)列的通項公式. （2）利用錯位相減法求出數(shù)列的和，根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，兩式相減得；所以是，的等比數(shù)列，故．（2）證明：因為，所以①，②①-②得所以．因為，所以．18．設某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234567高度ycm0479111213作出這組數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)：y（cm）與x（天）之間近似滿足關系式.(1)試借助一元線性回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；(2)在作出的這組數(shù)據(jù)的散點圖中，甲同學隨機圈取了其中的3個點，記這3個點中幼苗的高度大于的點的個數(shù)為，其中為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù)，試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.附：回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式，分別為，【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望. 【分析】（1）由y關于x的回歸直線方程的計算公式求得結果；（2）利用超幾何分布概率公式計算，求得隨機變量的分布列，并根據(jù)分布列，利用數(shù)學期望計算求得期望值.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)，得，，則，所以，所以y關于x的線性回歸方程為.（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，從散點圖中任取3個點，即從這7天中任取3天，所以這3個點中幼苗的高度大于的點的個數(shù)的取值為0，1，2，3，；；；；所以隨機變量的分布列為：隨機變量的期望值.19．已知函數(shù)(1)當，且時，證明：；(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增?若存在，求出a的取值范圍；不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，. 【分析】（1）將代入，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，再借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推理作答.（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)在上不小于0恒成立求解作答.【詳解】（1）當時，，，求導得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）若存在實數(shù)，使在上是增函數(shù)，則，恒成立，即在上恒成立，而函數(shù)，在時取得最小值，因此，又當時，，當且僅當時，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當時，在上單調(diào)遞增.20．為加快推動旅游業(yè)復蘇，進一步增強居民旅游消費意愿，山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日在全省實施景區(qū)門票減免，全省國有A級旅游景區(qū)免首道門票，鼓勵非國有A級旅游景區(qū)首道門票至少半價優(yōu)惠．本次門票優(yōu)惠幾乎涵蓋了全省所有知名的重點景區(qū)，據(jù)統(tǒng)計，活動開展以來游客至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)占比約為90%．某市旅游局從游客中隨機抽取100人（其中年齡在50周歲及以下的有60人）了解他們對全省實施景區(qū)門票減免活動的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以上）分類統(tǒng)計得到如下不完整的列聯(lián)表： 不滿意滿意總計50周歲及以下 55 50周歲以上15  總計  100(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成以上列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對全省實施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關聯(lián)？(2)現(xiàn)從本市游客中隨機抽取3人了解他們的出游情況，設其中至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)為，若以本次活動中至少去過兩個及以上景區(qū)的人數(shù)的頻率為概率．①求的分布列和數(shù)學期望；②求．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)補全的列聯(lián)表見解析；有關；(2)①分布列見解析；；② 【分析】（1）由題意，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，即可補全列聯(lián)表，再根據(jù)公式計算，即可判斷；（2）①由題意可知，根據(jù)二項分布即可求解分布列及數(shù)學期望；②根據(jù)即可計算.【詳解】（1）由題意，抽取的100人年齡在50周歲及以下的有60人，則年齡在50周歲以上的有40人，補全的列聯(lián)表如下： 不滿意滿意總計50周歲及以下5556050周歲以上152540總計2080100則.所以在犯錯誤的概率不超過0.001的情況下認為對全省實施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關聯(lián).（2）①由題意可得，游客至少去過兩個及以上景區(qū)的概率為0.9，則，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列如下：0123因為，所以數(shù)學期望.②.21．己知數(shù)列的前n項和為，若，．(1)記判斷是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請說明理由．(2)記，的前n項和為，求．【答案】(1)不是等差數(shù)列，證明詳見解析；(2)當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，. 【分析】（1）取時可求，當時可根據(jù)與的關系求出，再驗證是否滿足即可判斷其是否為等差數(shù)列；（2）當時，由，得，兩式相減即可得，進而可以得出從第2項起的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，討論為奇數(shù)時和為偶數(shù)時分別解決.【詳解】（1）因為，當時，，又因為，所以當時，因為，由，得①，所以②，所以得：，經(jīng)驗證，當時不等于，所以不是等差數(shù)列.（2）由，得，兩式相減得：.所以當時：數(shù)列（）是首項為，公差為6的等差數(shù)列；數(shù)列（）是首項為，公差為6的等差數(shù)列.當為偶數(shù)時，不妨設，則，此時因為，所以此時.當為奇數(shù)時，不妨設，則，此時.因為，所以此時綜上所述，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，.22．已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)列滿足，證明：當時，.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）由題可得，然后分類討論根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即得；（2）根據(jù)條件及函數(shù)的單調(diào)性可得，進而可得，然后再結合函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，當時，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，由，可得，，（i）當，即時，在上單調(diào)遞減；（ii）當，即時，令，得，當變化時，，變化如下，+減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)綜上：當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）由題意知時，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，且，當時，，又，令，得，由可得，由可得，所以在上遞減，在遞增，因為，所以，，又當時，，所以，即，又因為函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，即，即，，即，所以.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù). 

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