2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為，斜率為．若的取值范圍是，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的范圍，結(jié)合已知確定的范圍.【詳解】由題設(shè)且，故.故選：D2．直線與圓交于，兩點，則（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用幾何法求弦長.【詳解】因為圓心O到直線的距離為，由垂徑定理得：.故選：B3．橢圓的焦距等于（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】先將方程化為橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后求出，再由可求出，從而可求出焦距.【詳解】由，得，所以，所以，所以焦距為，故選：A.4．下列選項中，不正確的命題是（    ）A．若兩條不同直線，的方向向量為，，則B．若是空間向量的一組基底，且，則點在平面內(nèi)，且為的重心C．若是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底D．若空間向量，，共面，則存在不全為0的實數(shù)，，使【答案】C【分析】對于A，根據(jù)直線方向向量的定義分析判斷，對于B，由三角形重心的定義判斷，對于C，由空間向量的基底的定義分析判斷，對于D，由共面向量定理判斷.【詳解】對于A，由于兩條不同直線，的方向向量為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以A正確，對于B，因為，所以，所以，所以，所以,設(shè)為的中點，所以，所以，所以點在平面內(nèi)，且為的重心，所以B正確，對于C，因為，所以共面，所以不是空間向量的一組基底，所以C錯誤，對于D，由空間向量共面定理可知空間向量，，共面，則存在不全為0的實數(shù)，，使，所以D正確，故選：C.5．正方體的棱長為1，為棱的中點，則有（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空間向量數(shù)量積的運算律對選項逐一判斷，【詳解】對于A，，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，平面，則，故C錯誤，對于D，，，由垂直關(guān)系化簡得，故D錯誤，故選：B6．已知橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè).利用橢圓的定義和勾股定理整體代換，求出和，即可求解.【詳解】設(shè).因為橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點且，所以，所以，所以.故選：B7．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，，且曲線，在第一象限內(nèi)的公共點記為，若，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)焦點相同得到，，然后利用橢圓和雙曲線的定義得到，，即可得到，，再利用余弦定理列方程，解方程得到即可求雙曲線的離心率.【詳解】因為橢圓和雙曲線有共同的焦點，所以，，為兩曲線的公共點，所以，，聯(lián)立得，，因為，所以，解得，則雙曲線的離心率為.故選：A.8．長方體中，，為線段上的動點，則與平面所成角的余弦值的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)出點的坐標(biāo)，然后利用空間向量求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，所以（），設(shè)與平面所成角的為，則，令（），對稱軸為，所以的最小值為，所以的最大值為，因為，所以的最大值為，故選：D 二、多選題9．已知圓，點，下列說法正確的有（    ）A．若點在圓上，則圓在點處的切線方程為B．若點在圓外，則直線與圓相交C．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相交D．若點在圓外，則直線與圓位置關(guān)系不確定【答案】AB【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.【詳解】對A：點在圓上，則，因為點的坐標(biāo)滿足，故過點，又點到直線的距離，故與圓相切；綜上所述，若點在圓上，則圓在點處的切線方程為，A正確；對BD：點在圓外，則，又點到直線的距離，故直線與圓相交，B正確D錯誤；對C：點在圓內(nèi)，則，又點到直線的距離，故直線與圓相離，C錯誤；故選：AB.10．已知橢圓的焦點為，，為橢圓上一點．在中，下列說法正確的有（    ）A．的周長為B．若的中點在軸上，則C．若，則橢圓的離心率取值范圍為D．【答案】ABD【分析】對于A，利用橢圓的定義分析判斷，對于B，由條件可得軸，從而可求出，對于C，利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求解，對于D，設(shè)（），則，然后化簡計算可得結(jié)果.【詳解】對于A，因為為橢圓上一點，，為橢圓的焦點，的周長為，所以A正確，對于B，因為的中點在軸上，的中點，所以∥，所以軸，當(dāng)時，，得，得，所以，所以，所以B正確，對于C，設(shè)，由于，則，所以，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以，因為，所以，所以橢圓的離心率取值范圍為，所以C錯誤，對于D，設(shè)（），則，所以，因為，所以，所以，所以D正確，故選：ABD.11．雙曲線的左右焦點為，，若點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線的離心率可能為（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)雙曲線的定義及其有界性可得，結(jié)合離心率性質(zhì)求范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由雙曲線定義知：，則，所以，故、、滿足范圍要求，不滿足.故選：ABC12．如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，則下列說法正確的是（    ）A． B．直線與平面所成的角為C．二面角的余弦值為 D．若，則到平面的距離為【答案】ACD【分析】A：若為中點，連接，易證△△，則△、△都為等腰三角形，有，再應(yīng)用線面垂直的判定、性質(zhì)證結(jié)論；B：由面面垂直的性質(zhì)知在面上的射影在直線上，找到線面角，再求其大小；C：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角運算求二面角余弦值；D：應(yīng)用等體積法求點面距離.【詳解】若為中點，連接，由，，易得△△，所以，故△、△都為等腰三角形，則，又，面，故面，面，所以，A正確；因為平面平面，且平面平面，所以在面上的射影在直線上，連接，，則面，故為直線與平面所成角的平面角，面，故，由題意，故，即，所以直線與平面所成角為，B錯誤；令，由上分析知：，故，，由上易知：△△，即，且面，故，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，若是面的一個法向量，則，令，則，而是面的一個法向量，所以，故鈍二面角的余弦值，C正確；若，則，，且，所以，，又，令到平面的距離為，所以，可得，D正確.故選：ACD 三、填空題13．若異面直線和的方向向量分別為，，則直線與直線所成角的余弦值為______．【答案】【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)運算求，結(jié)合線線角的范圍確定直線與直線所成角的余弦值.【詳解】由題設(shè)，又線線角的范圍為，所以直線與直線所成角的余弦值為.故答案為：14．若直線與直線平行，則______．【答案】【分析】根據(jù)直線與直線平行的充要條件，列出等量關(guān)系，求解即可.【詳解】因為平行，故可得，且，即，且，解得.故答案為：.15．雙曲線，寫出一個與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)有共同漸近線的雙曲線方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，當(dāng)時，得到雙曲線方程為，顯然該雙曲線與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同，故答案為：16．已知橢圓的左焦點為，過斜率為的直線與橢圓相交于、兩點，若，則橢圓的離心率______．【答案】##0.4【分析】設(shè)，將直線和橢圓聯(lián)立消元得，由可得，這幾個式子再結(jié)合化簡可得.【詳解】因為直線過且斜率為，所以直線為：，與橢圓：聯(lián)立消去，得，設(shè)，則因為，可得，代入上式得消去并化簡整理得：，將代入化簡得：，解得，因此，該雙曲線的離心率.故答案為：. 四、解答題17．已知直線和圓(1)求直線經(jīng)過的定點的坐標(biāo)(2)當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時，求直線的方程【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合斜率公式以及直線的點斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），因為，所以有，即；（2）因為，所以在圓內(nèi)，所以當(dāng)時，直線被圓截得的弦長最短，因為，所以，由，即，即直線的方程為.18．如圖，平行六面體中，，，，點滿足(1)求的長度(2)求【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由線段的空間位置關(guān)系可得，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求即可；（2）由，結(jié)合（1）并應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求值.【詳解】（1）如下圖，，又，所以，故.（2）如下圖，，所以.19．雙曲線的一條漸近線方程為且焦距為，點，過的直線與雙曲線交于，兩點(1)求雙曲線的方程(2)若，兩點均在軸左側(cè)，求直線的斜率的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根據(jù)漸近線方程為，焦距為，可得，再由即可求出的值，從而可得雙曲線方程；(2) 直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程可得，由可得，設(shè)，由題意可得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解出的取值范圍．【詳解】（1）解：因為雙曲線的一條漸近線方程為且焦距為，所以，解得，所以雙曲線方程為：；（2）解：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，可得，，所以，即，設(shè)，因為，兩點均在軸左側(cè)，所以，所以，可得，解得，又因為，所以，所以.20．已知橢圓經(jīng)過點且離心率為(1)求橢圓的方程(2)過點的直線與橢圓相交于、兩點，為橢圓的左焦點，記的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)離心率得到，代入點解得，得到橢圓方程.（2）易知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算得到，設(shè)，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到范圍.【詳解】（1）橢圓的離心率，即，故，橢圓過點，故，，橢圓為.（2）易知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，得到，，，，設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故.21．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，且，，，，為上一點．(1)若為中點，求證：平面(2)若點不與和重合，且二面角的余弦值為，求與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析；(2)1. 【分析】（1）若為中點，連接，易得為平行四邊形，有，根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；（2）先證，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求得，再求、面的法向量，即可求線面角余弦值，進(jìn)而得正切值.【詳解】（1）若為中點，連接，又為中點，故且，而，，，故且，所以為平行四邊形，故，又面，面，所以平面.（2）由平面，平面，則，又，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，令且，故，若為面一個法向量，則，令，則，，若為面一個法向量，則，令，則，所以，可得.故，則，而面的法向量為，所以，故其正切值為1.22．已知橢圓與軸正半軸交于點，直線與橢圓交于、兩點，直線與直線的斜率分別記為，，(1)求的值(2)若直線與橢圓相交于、兩點，直線、的斜率分別記作、，若，且在以為直徑的圓內(nèi)，求直線的斜率的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可求出兩點的坐標(biāo)，從而可求出，，進(jìn)而可求出的值；（2）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線為，設(shè)，將直方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，可得，由于在以為直徑的圓內(nèi)，所以，化簡可求得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，，因為，所以，所以；（2）若直線的斜率不存在，則垂直于軸，則點不在以為直徑的圓內(nèi)，不合題意，若直線的斜率存在，設(shè)直線為，設(shè)，由，得，由，得，則，因為，所以，所以，所以，所以，，由題意可知，所以解得，所以，即，解得或，因為在以為直徑的圓內(nèi)，所以，所以，化簡得，解得，綜上，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，化簡后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再將在以為直徑的圓內(nèi)，轉(zhuǎn)化為，考查計算能力，屬于較難題. 

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